E657. Le rectangle interdit
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Sur un échiquier (8 x 8 cases), on marque cases, en évitant que les centres de 4 des cases marquées ne forment un rectangle à côtés parallèles aux côtés de l’échiquier. Quelle est la plus grande valeur possible de ? Même question pour un damier (10 x 10 cases)
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La figure suivante montre notre meilleur résultat: pour l’échiquier et pour le damier.
Dans les deux cas la symétrie des figures permet d’éviter quelques contrôles, en échangeant les rôles des lignes et des colonnes (et coloriant deux bandes verticales au lieu que horizontales). Il est évident que dans la zone coloriée (vert plus azur) il n’existe pas de rectangles; par ailleurs:
dans la zone coloriée en vert chaque colonne contient exactement une marque, donc les marques verticales qui sont à côté ne peuvent pas engendrer des rectangles;
le même raisonnement s’applique à la zone coloriée en azur;
pour ce qui concerne les marques horizontales dans la zone non-coloriée on raisonnera de façon analogue, grâce à la symétrie des figures.
