C
C
HAPITRE HAPITRE77 A
A
PPLICATIONS AFFINESPPLICATIONS AFFINESCOMPARER DEUX QUANTITÉS... 2
REPÈRES ET GRAPHIQUES... 4
EXEMPLES D'APPLICATIONS LINÉAIRES ... 7
TRANSLATION...10
APPLICATIONS AFFINES...14
ÉQUATIONS DE DROITES...16
DROITES PERPENDICULAIRES ...20
DROITES ET INÉQUATIONS ...21
LA LEÇON...23
EXERCICES...29
CORRIGÉS DES EXERCICES...40
C O M P A R E R D E U X Q U A N T I T E S
écart et rapport
Comparer deux nombres, c'est trouver le moyen de pouvoir dire quel est le plus grand des deux, et donc quel est le plus petit. Et, si possible, de donner plus de précision.
Comparer deux grandeurs, c'est trouver une comparaison qui convienne pour tous les cas.
Dans tous les cas, on dispose de deux moyens de comparaison : différence et quotient.
La différence permet de dire combien il y a en plus.
Le quotient (que l’on appelle aussi le rapport) permet de dire combien de fois plus.
Exemple 1 : écart constant
Comparons les âges pour une mère et son enfant au fil des années.
Quand l'enfant naît, la mère a 24 ans.
âge de la mère 24 25 26 28 32 40 60 80
âge de l'enfant
différence d'âge entre la mère et l'enfant
Age de la mère par rapport à celui de l'enfant
Que peut-on dire des différences d’âges ? Que peut-on dire des rapports des âges ? Exemple 2 : rapport constant
Les triangles ci-contre sont construits de manière que les côtés (BC), (DE), (FG), (HI) et (JK) soient tous parallèles.
Mesurer les longueurs des côtés de ces triangles et reporter ces mesures dans le tableau ci-dessous, afin de pouvoir ensuite compléter le second tableau.
Comparaison du triangle ABC avec le triangle …
ADE AFG AHI AJK
AD – AB = AF – AB = AH – AB = AJ – AB =
AE – AC = AG – AC = AI – AC = AK – AC =
DE – BC = FG – BC = HI – BC = JK – BC =
AD AB = AE
AC = DE
BC = AF
AB = AG AC = FG
BC = AH
AB = AI AC = HI
BC = AJ
AB = AK AC = JK
BC = Quelles conclusions peut-on en tirer quant aux écarts et aux rapports ?
A
B D
F H
J
K I
G E C
Exemple 3 : Température en degrés Fahrenheit
Dans des pays anglo-saxons, on utilise les degrés Fahrenheit pour mesurer la température.
Pour convertir les degrés centigrade en degrés Fahrenheit, on utilise le procédé suivant : Degrés centigrade ÷ 5 × 9 + 32 Degrés Fahrenheit
Degrés Fahrenheit - 32 ÷ 9 × 5 Degrés centigrade Compléter le tableau suivant de correspondance des températures :
C : Température en degrés centigrade 20°
F : Température en degrés Fahrenheit 0° 100°
Écart F – C Rapport F
C
1. Quelles conclusions peut-on en tirer quant aux écarts et aux rapports ? Existe-t-il un des deux modes de comparaison qui permette de comparer dans tous les cas ces deux systèmes de mesure ?
2. Si la température augmente de 18°C, de combien augmente-t-elle en degrés Fahrenheit ?
3. Si la température diminue de 30°F, de combien diminue-t-elle en degrés centigrade ?
¯¯¯¯¯
Exercice 1
Galilée a découvert en 1 610 les quatre plus gros satellites de Jupiter. C'est cette découverte, entre autres, qui le conforta dans l'idée que la Terre n'était pas au centre de l'Univers. Pour cette raison on les appelle les satellites galiléens. Ils ont pour nom : Io, Europe, Ganymède et Callisto.
Une sonde spatiale est envoyée en visite autour des satellites de Jupiter.
Elle se déplace en orbite à 100 km de la surface de ces satellites.
Satellite Io Europe Ganymède Callisto
Diamètre en km 3 642 3 130 5 260 4 800 Calculer pour chaque satellite la longueur de l'équateur.
Calculer la distance parcourue par la sonde en un tour autour de chaque satellite.
Comparer, pour chaque satellite les deux résultats obtenus. Y a – t il un écart ou un rapport constant?
Exercice 2
Montrer que tanα n'est pas proportionnel à α . Exercice 3
La forme est constituée d'un triangle équilatéral collé à un carré de côté x.
Exprimer, en fonction de x, le périmètre P et l'aire A de cette figure.
Y a – t il proportionnalité entre P et x?
Y a – t il proportionnalité entre A et x?
x
R E P E R E S E T G R A P H I Q U E S
Coordonnées des points
Un repère orthonormé est constitué de deux axes gradués perpendiculaires.
L’axe horizontal est l’axe des abscisses.
L’axe vertical est l’axes des ordonnées.
Chaque point M du plan est repéré par ses deux coordonnées, qui forment le couple de coordonnées de M : (x ; y)
x est l’abscisse de M; c’est la graduation correspondant au projeté orthogonal de M sur l’axe horizontal.
y est l’ordonnée de M; ; c’est la graduation correspondant au projeté orthogonal de M sur l’axe vertical.
Par exemple, dans le repère ci-dessous sont placés les points A de coordonnées (-6 ; +4) et B de coordonnées (+3 ; +3).
Le point C est à l’intersection des droites :
- verticale passant par l’abscisse + 6, donc l’abscisse de C est + 6.
- horizontale passant par l’ordonnée – 3, donc l’ordonnée de C est – 3.
C a donc pour coordonnées (+6 ; -3).
1. Déterminer, par lecture sur le repère ci-dessus, les coordonnées des points E : ( ; ) F : ( ; ) M : ( ; ) H : ( ; ) G : ( ; ) K : ( ; ) N : ( ; )
2. Tracer un repère et y placer les points :
A : ( +2 ; +6) B : (+1 ; -1) C : (-4 ; -2) D : (-3 ; +5) Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ?
y
x
O 1
1
A + 4
(D)
B
C + 3
+ 3 + 6
- 3 (D') - 6
E
K
G
M
F
H N
Représenter une relation
Une relation associe deux grandeurs par un modèle de calcul répétitif. Les valeurs qui se correspondent forment des couples qui peuvent devenir les coordonnées de points que l’on va placer dans un repère.
En prenant la valeur 3,14 pour π
R : rayon 3 15 6 30 4 7 20 12
P:Périmètre du cercle 18,84 94,2 37,68 188,4 25,12 43,96 125,6 75,36 A : Aire du disque 28,26 706,5 113,04 2826 50,24 153,86 1256 452,16
On obtient pour chaque relation 8 couples de valeurs associées qui vont devenir les coordonnées de 8 points dans un repère.
Pour le périmètre du cercle, on obtient les points : (on élimine les valeurs trop grandes pour la commodité du dessin).
(3 ; 18,84) (4 ; 25,12) (6 ; 37,68) (7 ; 43,96) (12 ; 75,36) (15 ; 94,2) On choisit des graduations correctes sur chacun des deux axes (afin de permettre une lecture facile des points.
y
10 20 30 40 50 60 70 80 90
1 3 4 6 7 12 15
Les points obtenus sont sur une droite issue de l’origine du repère.
Pour l’aire du disque, on obtient les points : (on élimine les valeurs trop grandes pour la commodité du dessin).
(3 ; 28,26) (4 ; 50,24) (6 ; 113,01) (7 ; 153,86) (12 ; 452,16) y
50 100 150 200 250 300 350 400 450
1 3 4 6 7 12
Les points obtenus ne sont pas sur une droite cette fois ; ils sont sur une courbe qui laisse apparaître que la relation n’est pas une application linéaire.
Relations avec les coordonnées : Milieu d'un segment :
I est le milieu de [AB] si ses coordonnées vérifient : xI = xA + xB
2 et yI = yA + yB
2 Application : le parallélogramme.
Pour que ABCD soit un parallélogramme, il suffit que [AC] et [BD] aient le même milieu.
Il suffit donc que xA + xC
2 = xB + xD
2 , d'où : xA + xC =xB + xD
De même pour les ordonnées : yA + yC =yB + yD
Longueur d'un segment :
En application de la relation de Pythagore : AB = (yA - yB)² + (xA - xB)²
E X E M P L E S D ' A P P L I C A T I O N S L I N E A I R E S
Pourcentages
Un pourcentage est un rapport exprimé d'une manière particulière; il s'agit de comparer une quantité à 100.
Calculer un pourcentage :
Pour exprimer simplement un pourcentage, il suffit de placer clairement le problème dans un tableau de proportionnalité à quatre nombres, dont l'un est 100.
Par exemple : Sur 835 visiteurs d'un château en une journée, 144 sont des étrangers; ce qui représente un pourcentage p que l'on cherche.
Nombre d'étrangers 144 p
Nombre total de visiteurs 835 100 Donc : p = 144
835 × 100 ≈ 17,25 % Appliquer un pourcentage
Appliquer un pourcentage p % à une quantité, c'est multiplier cette quantité par p et diviser par 100.
Expression décimale d'un pourcentage :
Un pourcentage est donc avant tout une écriture particulière d'un nombre qui peut être exprimé d'une autre manière; en particulier, on peut en donner une simple écriture décimale, ou encore une écriture fractionnaire.
Par exemple, 50 % = 0,5. Donc pour calculer 50 % d'une quantité, on peut la multiplier par 0,5. Mais 50 % = 1
2 (un demi, la moitié). On peut donc aussi diviser la quantité par 2.
Il est bon de connaître les équivalences suivantes : 1% = 1
100 = 0,01 10% = 10
100 = 0,1 20% = 20
100 = 0,2 = 1 5 25% = 25
100 = 1
4 = 0,25 75% = 75 100 = 3
4 = 0,75 33% ≈ 1
3 67% ≈ 2 3 Augmentation, diminution
Augmenter une quantité d'un certain pourcentage, c'est ajouter ce pourcentage aux 100%
initiaux. C'est donc calculer un pourcentage supérieur à 100% de la quantité initiale.
Exemple ajouter 10 %, c'est calculer (100 + 10), c'est à dire 110 % de la quantité initiale.
Au contraire, retirer 10 %, c'est calculer (100 - 10), soit 90 % de la quantité initiale.
Augmenter de Revient à multiplier par Retirer Revient à multiplier par
10% 110% = 1,1 10% 90% = 0,9
20% 120% = 1,2 20% 80% = 0,8
35% 135% = 1,35 35% 65% = 0,65
100% 200% = 2 100% 0% = 0 (annuler)
125% 225% = 2,25 125% – 25% = – 0,25 (rendre négatif)
Vitesses
La vitesse exprime une application linéaire entre la distance parcourue et la durée du parcours, à condition que la vitesse soit toujours la même. On parle alors de vitesse constante ou de mouvement uniforme.
Dans ce cas, la relation entre la distance D, le temps T, et la vitesse V est V = D T D'autre part, on peut calculer la durée et la distance par les relations qui en découlent
T = D
V et D = V T Exemples :
• Pour un train parcourant 196 km en 56 min., la vitesse moyenne est de : V = 196
56 = 3,5 km ; min. Pour retrouver la vitesse en km ; h, il suffit de multiplier par 60.
• Si une voiture roule pendant 3h 40 min. à la vitesse de 110 km ; h, on peut d'abord convertir la durée en heures : T = 3h 40 min. = 3 + 40
60 = 3 + 2 3 = 11
3 h , puis calculer la distance : D = 110 × 11
3 ≈ 403,33 km.
• On pourrait aussi convertir la vitesse en km ; min. V = 110
60 km ; min. puis calculer la distance (T = 220 min.) : D = 110
60 × 220 ≈ 403,33 km.
• Pour parcourir à pied 24 km, à la vitesse de 4,8 km ; h, il faudra : T = 24 4,8 = 5 h.
Vitesse moyenne et moyenne des vitesses.
Dans la plupart des cas, il est impossible de connaître la vitesse à chaque instant d'un trajet;
de même, il est difficile d'imaginer qu'une vitesse soit rigoureusement constante. On utilise donc la notion de vitesse moyenne, et l'on considère alors que cette vitesse moyenne est constante sur l'ensemble du parcours.
La vitesse moyenne sur un parcours se calcule en divisant la distance totale parcourue par la durée totale du trajet.
Exemple :, si on parcourt un trajet aller-retour, de 80 km à 120 km;h à l'aller, et de 80 km à 80 km;h au retour.
la distance totale : 2 × 80 = 160 km.
La durée totale du parcours 40 min. + 1h = 1h 40 min. = 5
3 h ≈ 1,667 h Et la vitesse moyenne V ≈ 160
1,6667 ≈ 96 km;h.
Mais la moyenne des vitesses est de 120 + 80
2 = 100 km;h.
Conclusion : lorsque la vitesse varie, en général, la moyenne des vitesses n'est pas égale à la vitesse moyenne.
Échelle de reproduction
On utilise une échelle lorsque l'on veut reproduire un dessin en l'agrandissant, ou, au contraire en le réduisant. Toutes les dimensions de la reproduction sont alors proportionnelles à celles de l'original qui ont été multipliées par le coefficient de proportionnalité que l'on appelle, dans ce cas, l'échelle de la reproduction.
Cette échelle est habituellement exprimée par une fraction dont l'un des termes est 1.
Une échelle de 1
1 000 (on dit 1 pour 1 000 ou 1 millième) signifie que les distances sur la reproduction sont 1 000 fois plus petites que les distances réelles.
Une échelle de 5
1 (5 pour 1) signifie que les distances sur la reproduction sont agrandies 5 fois.
Une échelle de reproduction est un coefficient de proportionnalité entre les distances réelles et les distances reproduites.
Taille réelle → Reproduction
× échelle
Si l'échelle est une fraction plus petite que 1, il y a une réduction.
Si l'échelle est une fraction plus grande que 1, il y a un agrandissement.
Débits
Un débit mesure un écoulement. On emploie par exemple l’expression débit rapide ou débit monotone pour exprimer la quantité de mots que l’on prononce pendant un certain temps.
Mais le débit dont on parle ici concerne par exemple une quantité de fluide qui s’écoule ou qui est fournie par unité de temps (débit d’un cours d’eau, ou d’une pompe).
Ou encore d’une quantité de personnes, de véhicules, d’informations, transportées en une unité de temps.(nombre de voyageurs par heure sur une ligne de chemin de fer, nombre de véhicules par heure sur une autoroute, nombre de bits par seconde transmis par un modem , etc. )
Par exemple si un robinet verse 3 litres en 12 secondes, le débit du robinet est de 3
12, soit 0,25 litres par seconde.
Densités
La densité d’un corps est le rapport de la masse d’un certain volume de ce corps à celle du même volume d’eau (s’il s’agit d’un solide) ou du même volume d’air (s’il s’agit d’un gaz).
Par exemple si un litre d’huile pèse 870 g, sa densité est de 0,87 car un litre d’eau pèse 1 kg.
En géographie, la densité de population est le nombre moyen d’habitants par unité de surface.
Par exemple la France qui compte environ 58 200 000 habitants sur une superficie d’environ 549 000 km² a une densité de population d’environ 58 200 000
549 000 , ce qui donne environ 106 habitants au km².
T R A N S L A T I O N
Activité 1 :
Décalquer la droite (OU) et marquer O sur le calque. Décalquer la figure F, puis faire glisser la figure décalquée suivant (OU), dans le sens de O vers U, de façon que le point O vienne se superposer au point U. Reproduire alors la figure F ’.
Est-il nécessaire de décalquer toute la figure F, pour la reproduire ?
...
Activité 2
Cas 1 : un élément du motif est reproduit, reproduire la figure.
Cas 2 : Un seul point est reproduit, reproduire la figure.
Cas 3 : la droite (d) indique la direction du glissement, reproduire la figure.
Dans quel cas a-t-on le moins d’information ?... ...
Dans quel cas ne peut-on construire la figure ? Pourquoi ? ...
Bilan
:...
...
B G
A H
I
F
F
E
D C
O
U F
B G
A H
I
F E
C D
(d) I’
B G
A H
I
F E
D C
B’
G’
A’
H’
B G
A H
I
F E
D C
Activité 3 :
Compléter les cases par Vrai ;Faux : Les vecteurs ont même
direction sens longueur direction sens longueur direction sens longueur
direction sens longueur direction sens longueur direction sens longueur
Activité 4 :
Le pavage ci-dessous est régulier. Pour répondre aux questions posées, on utilisera uniquement des points de la figure :
1) Trouver tous les vecteurs égaux à AK, → AB , → DB, et → →AJ .
2a) Vrai ou faux ? b) Compléter
EF = → FG ?→ EF = FG ? →AI = D .... .→
DE = → GJ ?→ DE = GJ ? AG = → ...F→
→IH = HF ?→ IH = HF ? →EI = C....→
→IH = FH ?→ IH = FH ? G.... = → HB = → ...C→
B C
A K
D E
F
G H I J
A’
c) Trouver tous les vecteurs égaux à J'A' = ...= ...= ...= ...= ...= ...= ...= .→
Composantes d'un vecteur
Dans un repère d'origine O et dont les unités sont égales à un carreau, on peut décrire un vecteur par l'effet de la translation sur les coordonnées des points.
La translation qui emmène le point A en B est représentée par le vecteur AB .→
Ce vecteur peut être considéré comme la somme de deux vecteurs, l'un de direction horizontale : AC, l'autre de→
direction verticale :.
On a donc : AB = → AC + → CB.→
Le point A a pour coordonnées (– 5; 8).
La translation de vecteur AC emmène→
le point A en C.
Le point C a pour coordonnées (2; 8).
La translation n'a pas modifié l'ordonnée, mais a rajouté 7 à l'abscisse.
La translation de vecteur CB emmène→
le point C en B.
Le point B a pour coordonnées (2; 4).
La translation n'a pas modifié l'abscisse, mais a retiré 4 à l'ordonnée.
On peut résumer ces modifications en regroupant les deux modifications apportées par les deux vecteurs qui composent le vecteur AB .→
En écrivant : AB : (+ 7; – 4), on signifie que, au cours de la translation, on ajoute 7 à→
l'abscisse et on retire 4 à l'ordonnée.
Ces deux nombres + 7 et – 4 sont les deux composantes du vecteur AB .→
Remarques :
1; on dit souvent les deux "coordonnées" de AB , même s'il vaudrait sans doute mieux→
réserver ce mot pour désigner la position d'un point dans un repère.
2; De même on présente souvent les composantes d'un vecteur de la même manière que les coordonnées d'un point. Il serait sans doute préférable de les faire apparaître par une notation particulière. Par exemple : AB : →
+ 7
– 4 au lieu de : (+ 7; – 4).
Exercice
Retrouver les composantes des vecteurs : Vecteur Composante
horizontale
Composante verticale
Couple de coordonnées EF→
ED→
FG→
GD→
FH→
HD→
GE→
DF→
x y
O 1
A
B C
D E
F G
H
Action d'une translation verticale sur une droite Soit (D) la droite passant par
l'origine, représentant l'application linéaire : y = 2x.
Soit u de coordonnées
0 2 . L'image de la droite (D) par la translation de vecteur u est une droite (D') parallèle à (D).
Si les coordonnées des points de (D) vérifient la relation y = 2x, alors celles des points de (D') vérifient la relation y = 2x + 2.
D'une manière générale, si (D) représente l'application linéaire : y = ax et si u a pour coordonnées
0
b , alors l'image de (D) par la translation de vecteur u est une droite parallèle à (D) représentant la relation : y = ax + b.
Une telle relation est appelée une application affine.
x y
O 1
1
A P P L I C A T I O N S A F F I N E S
Tableau de valeurs
Une application affine (on dit aussi fonction affine) est un modèle de calcul du premier degré qui transforme toute valeur par deux opérations successives : une multiplication, puis une addition.
Valeur de x | × a → ax | + b → ax + b Image de x Exemples
1. Soit f l'application affine définie par : x |→ 3x – 5
Valeur de x | × 3 → 3x | – 5 → 3x – 5 Couple de valeurs associées
0 0 – 5 (0 ; – 5)
– 3 – 9 – 14 (– 3 ; – 14)
+ 4 12 7 (4 ; 7)
1 3 – 2 (1 ; – 2)
2 6 1 (2 ; 1)
On obtient des couples de valeurs associées par l'application affine. Ces couples sont les coordonnées de points que l'on peut placer dans un repère. (voir paragraphe suivant) Notation : Si f est le nom de l'application, on écrit f(0) = – 5 pour signifier que l'image de 0 par f est – 5. De même : f(– 3) = – 14 ; f(4) = 7 ; f(1) = – 2 ; f(2) = 1.
D'une manière générale : f(x) = 3x – 5. (on lit "f de x" au sens de "l'image par f de x") Compléter les tableaux de valeurs ci – dessous :
2. Soit f1 l'application affine définie par : x |→ – 2x + 1
Valeur de x | × (– 2) → – 2x | + 1 → – 2x + 1 Couple de valeurs associées – 4
0 + 3
1 2
3. Soit f2 l'application affine définie par : x |→ – 1 2 x – 3 Valeur de x | × (– 1
2 ) → – 1
2x | – 3 → – 1
2 x – 3 Couple de valeurs associées – 2
0 + 2
– 6 + 4
Représentation graphique
Dans chacun des trois exemples ci – dessus, on obtient des couples de valeurs associées par l'application affine. Ces couples sont les coordonnées de points que l'on place dans un repère.
f(x) = 3x – 5 Couple de valeurs associées Point sur le graphique
(0 ; – 5) A
(– 3 ; – 14) B
(4 ; 7) C
(1 ; – 2) D
(2 ; 1) E
Les points sont alignés.
De la même manière, placer les points dont les coordonnées sont des valeurs associées par les applications affines f1 et f2 du paragraphe précédent.
x y
O 1
E
D
C
A
É Q U A T I O N S D E D R O I T E S
Équations d'une droite
Toute application affine de la forme y = ax + b est représentée par une droite.
Réciproquement, si on cherche l'application affine associée à chaque droite, deux cas se présentent :
1. Si la droite est parallèle à l'axe des ordonnées (verticale), il n'y aura pas d'application affine associée, car tous les points de cette droite ont la même abscisse. La valeur de l'ordonnée ne peut donc pas dépendre de la valeur de l'abscisse.
2. Si la droite est sécante à l'axe des ordonnées, on peut associer à cette droite une application affine de la forme y = ax + b.
Pour cela, il suffit de relever sur le graphique les coordonnées de deux points de cette droite.
Par exemple,
La droite (AB) sur le graphique ci – contre passe par les points
A (– 2 ; 7) et B (3 ; – 3)
Il suffit donc de déterminer les valeurs de a et b de manière que les coordonnées des points de (AB) vérifient la relation y = ax + b
On remplace x et y par les coordonnées de A; on obtient : – 2a + b = 7 Œ On remplace x et y par les coordonnées de B; on obtient : 3a + b = – 3 • De l'équation Œ : b = 7 + 2a De l'équation • : b = – 3 – 3a
Par identification des deux expressions on obtient : 7 + 2a = – 3 – 3a
Il suffit alors de résoudre cette équation pour trouver la valeur de a : a = – 2
On remplace alors cette valeur de a dans l'une des équations Œ ou •. Par exemple, en remplaçant dans Œ : b = 7 + 2a = 7 – 4 = 3. On vérifie dans • : b = – 3 – 3a = 3
On connaît donc maintenant l'application linéaire associée à (AB) : y = – 2x + 3
La relation y = – 2x + 3 vérifiée par les coordonnées des points de (AB) est aussi appelée équation de la droite (AB).
De la même manière, déterminer les applications affines associées à chacune des droites : (CD) ; (FE) ; et (FC).
x y
O 1 A
B C
D
E F
Différentes formes d'une équation de droite
Les droites parallèles à l'axe des ordonnées n'ont pas d'équation de la forme y = ax + b, car on ne peut pas leur associer d'application affine.
Leur équation est de la forme x = k. Car tous les points de ces droites ont la même abscisse.
La forme générale d'une équation de droite est : ux + vy + w = 0.
Pour les droites de la forme x = k, on obtient x – k = 0 (alors u = 1 et v = 0) Pour les droites de la forme y = ax + b, on obtient : ax – y + b = 0 (alors v = – 1).
Transformer les équations pour obtenir les formes proposées :
Équation de la forme y = ax + b Équation de la forme ux + vy + w = 0 y = 2x – 1
3x + y – 5 = 0 y = 1
3 x – 2
2x – 6y + 5 = 0 y = – 3
5 x + 4
x – 4y + 9 = 0 Intersections avec les axes
Pour tracer rapidement une droite dont connaît une équation, il est commode de placer deux points particuliers qui sont les points d'intersection avec les axes.
Quand x = 0 , la droite coupe l'axe des ordonnées.
Quand y = 0 , la droite coupe l'axe des abscisses.
Exemple : soit (D) la droite d'équation : 3x + 2y – 4 = 0
v Quand x = 0 ,on obtient 2y – 4 = 0 , d'où y = 2 la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0; 2)
v Quand y = 0 , on obtient 3x – 4 = 0, d'où : x = 4
3 . la droite coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées: (4
3 ; 0).
Il suffit alors de placer ces deux points pour tracer la droite.
Si l'équation de la droite est donnée sous sa forme réduite y = ax + b, l'un de ces deux points est immédiatement lisible.
Pour l'exemple précédent, l'équation 3x + 2y – 4 = 0 est équivalente à y = – 3 2 x + 2 Quand x = 0 , la valeur de y se lit immédiatement; c'est la valeur du nombre b de ax + b.
Cette valeur b (ici, dans l'exemple c'est 2) est appelée l'ordonnée à l'origine. (car c'est la valeur de y l'ordonnée au niveau de l'origine)
Déterminer les points d'intersection de ces droites avec les axes : Équation de (D) y = 2x – 1 3x + 2y – 5 = 0 2
3 x – 5
4 y + 3 = 0 y = – 2 3 x + 4
Pente d'une droite
Proportionnalité des accroissements; pente d'une droite Soit (D) la droite d'équation :
x + 2y – 8 = 0
Son équation réduite est ; y = – 1 2 x + 4 Elle passe (entre autres) par les points : A : (– 8 ; 8) ; B : (0 ; 4) et C : (8 ; 0) Comparons les variations en ordonnée et en abscisse entre deux points de cette droite :
De A à B : yB – yA
xB – xA = - 4 8 = – 1
2. C'est à dire que pendant que l'abscisse augmente de 8, l'ordonnée diminue de 4.
De A à C : yC – yA
xC – xA = - 8 16 = – 1
2 De B à C : yC – yB
xC – xB = - 4 8 = – 1
2
Dans tous les cas, la variation en ordonnée est égale au produit de la variation en abscisse par – 1
2 . La variation en ordonnée est proportionnelle à la variation en abscisse; et le coefficient de proportionnalité est le nombre a de l'expression y = ax + b.
C'est ce nombre qui va donner l'orientation de la droite dans le repère. C'est pourquoi on l'appelle la pente de la droite.
Calculer la pente des droites (HK) , (MN) et (NK).
x y
O 1 B
C A
H
M
N
P
K
Utilisation de la pente.
Pour tracer une droite, nous avons vu qu'un point (l'ordonnée à l'origine) est très facile à placer dès lors que l'équation est donnée sous sa forme réduite y = ax + b. On peut donc placer ce point, puis se servir de la pente de la droite. Par exemple pour la droite (D) d'équation y = 2
3 x + 2.
Elle passe par le point A (0 ; 2).
La variation en ordonnée est égale au produit de la variation en abscisse par 2
3. C'est à dire qu'à partir de ce point A, on peut placer d'autres points de la manière suivante :
Si on augmente x de 1 2 3 6 9
Alors y augmente de 2 3
4 3
6
3 = 2 4 6
Et on obtient le point
(1 ; 8
3 ) (2 ; 10
3 ) (3 ; 4) (6 ; 6) (9 ; 8) Les points les plus simples à placer sont ceux qui ont des coordonnées entières.
Un seul point suffit, mais le fait d'en placer plusieurs permet une plus grande précision dans le tracé.
Remarque : Si a est positif, y et x augmentent ou diminuent en même temps. En revanche, si a est négatif, y diminue quand x augmente et inversement.
Par exemple pour la droite (D') d'équation y = – 2x + 4
Si on augmente x de 1 2 3 Si on diminue x de 0,5 4 5 Alors y diminue de 2 4 6 Alors y augmente de 1 8 10
En utilisant l'ordonnée à l'origine puis la pente, tracer les droites suivantes : (D1) d'équation : y = 3x – 5
(D2) d'équation : y = – 3 4 x + 8 (D3) d'équation : y = – 0,6 x – 10 (D4) d'équation : y = 5
7 x + 5
x y
O 1
A
(D)
(D')
D R O I T E S P E R P E N D I C U L A I R E S
Exemple
Les droites (D1) et (D2) représentent respectivement les deux applications linéaires : y = 2x et y = - 1
2 x. Soit A le point de (D1) d'abscisse 2 et B le point de (D2) d'abscisse 2. Calculer leurs ordonnées. Montrer en calculant les longueurs nécessaires, que le triangle AOB est rectangle en O.
Généralisation :
• Les droites (D) et (D') représentent les applications linéaires y = ax et y = a'x
• Déterminer les ordonnées des points M de (D) et N de (D') qui ont 2 pour abscisse.
• Montrer que le triangle MON est rectangle en O si le produit aa' est égal à - 1.
• Réciproquement, Montrer que le produit aa' est égal à - 1 si le triangle MON est rectangle.
• Énoncer une propriété des droites perpendiculaires.
Exemple
Quelles sont, dans la liste suivante, les applications linéaires qui sont représentées par des droites perpendiculaires?
y = 5
2 x y = x y = - x y = - 5
2 x y = - 2
5 x Application :
Équation de la médiatrice d'un segment :
On utilise le fait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à un segment en son milieu. Exemple :
A : (– 1 ; – 3) et B : (3 ; 5). Le milieu I : (1 ; 1) La pente de (AB) : 8
4 = 2. Donc celle de la médiatrice : – 1
2. L'équation de la médiatrice est de la forme : y = – 1
2 x + b. I est sur cette médiatrice , donc 1 = – 1
2 + b, d'où : b = 3 2 L'équation de la médiatrice est donc : y = – 1
2 x + 3 2 Équation d'une hauteur dans un triangle :
On utilise le fait que la hauteur est perpendiculaire à un côté et passe par un sommet..
A : (2 ; – 4) et B : (– 1 ; 3) et C : (0 ; 2)
La hauteur relative à (BC) passe par A et est perpendiculaire à (BC).
La pente de (BC) : – 1 , donc celle de la hauteur : + 1 L'équation de la forme : y = x + b.
La hauteur passe par A, donc – 1 + b = 3 , d'où : b = 4.
L'équation de la hauteur est donc : y = x + 4
D R O I T E S E T I N E Q U A T I O N S
Lecture graphique de solutions
Toute droite sécante aux axes admet une équation de la forme y = ax + b.
La représentation graphique de cette droite permet de lire les solutions : v de l'équation ax + b = 0
v des inéquations ax + b > 0 et ax + b < 0 Par exemple :
Soient (D) d'équation : y = 2x – 3 et (D') d'équation : y = – 4 7 x + 4 (D) coupe (Ox) en 3
2 qui est donc la solution de l'équation : 2x – 3 = 0.
Pour toute valeur de x inférieure à cette valeur 3
2, , la droite est au – dessous de l'axe (Ox) ce qui implique que y est alors négatif.
Les solutions de l'inéquation 2x – 3 < 0 sont donc tous les nombres inférieurs à 3
2.
Au contraire, pour toutes les valeurs de x supérieures à 3
2 , la droite (D) est au – dessus de l'axe (Ox) ce qui implique que y est alors positif. Les solutions de l'inéquation 2x – 3 > 0 sont donc tous les nombres supérieurs à 3
2.
De même en utilisant la droite (D'), on peut lire que : v 7 est la solution de – 4
7 x + 4 = 0 v Les solutions de – 4
7 x + 4 < 0 sont les nombres supérieurs à 7, car (D') est au–
dessous de l'axe des abscisses lorsque x > 7 v Les solutions de – 4
7 x + 4 > 0 sont les nombres inférieurs à 7, car (D') est au–
dessus de l'axe des abscisses lorsque x < 7
x y
O 1
(D)
– 3 3 2 + 4
+ 7 (D')
Influence de la pente
Si la pente a est positive, la droite est croissante, abscisses et ordonnées varient dans le même sens.
Ce qui se traduit algébriquement par : Si a > 0, et si x < x' , alors ax + b < ax' + b
Si la pente a est négative, la droite est décroissante, abscisses et ordonnées varient en sens contraires.
Ce qui se traduit algébriquement par : Si a < 0, et si x < x' , alors ax + b > ax' + b
On résume cela par deux règles analogues aux règles concernant les équations : Règle d'addition :
On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inéquation.
Règle de multiplication :
v Si on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre positif, l'inégalité ne change pas de sens
v Si on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif, l'inégalité change de sens
Résolution algébrique d'inéquations
La résolution d'une inéquation est assez semblable à celle d'une équation. Elle se compose en général d'une phase de simplification d'écriture, puis d'une phase de résolution proprement dite qui utilise les deux règles énoncées ci – dessus.
Par exemple :
Résolution de l'inéquation : 3(2x – 1) + 2(5x – 4) > x + 4
On développe : 6x – 3 + 10x – 8 > x + 4
On réduit : 16x – 11 > x + 4
On ajoute – x + 11 aux deux membres : 15x > 15 On divise les deux membres par 15 : x > 1 On présente en général les solutions sur un axe :
Il faut être vigilant quant à l'utilisation de cette dernière règle : x – (5x – 7) < 3(x – 1) + 1
– 4x + 7 < 3x – 2 – 7x < – 9
x > 9 7
L'inégalité change de sens car on divise par le négatif – 7 0 1 .
0
9 7
L A L E Ç O N
1.APPLICATIONS LINÉAIRES ...23 TRANSLATION; VECTEURS...26 3.APPLICATIONS AFFINES...27 4.ÉQUATIONS DE DROITES...28 5.CONDITIONS DE PARALLÉLISME ET D'ORTHOGONALITÉ...28 6.INÉQUATIONS...28
1. Applications linéaires Définitions
Si entre deux quantités le rapport est constant, on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles. (k est le coefficient de proportionnalité).
Lorsque deux quantités sont proportionnelles, on applique le même procédé de calcul pour toutes les valeurs possibles de l’une ou l’autre de ces quantités.
Il consiste à multiplier les valeurs de l’une des deux quantités par un coefficient constant.
On parle alors d'application linéaire.
x
| × k →
← ÷ k | y = kx Vocabulaire :
k est le coefficient de proportionnalité.
Le couple (x ; y) forment un couple de valeurs associées.
Si (x ; y) est un couple de valeurs associées, on peut calculer le coefficient de proportionnalité en divisant y par x . k = y
x Propriétés des applications linéaires
Un tableau de proportionnalité n’est qu’une manière pratique de présenter une situation de proportionnalité. Il permet néanmoins quelques réflexes qui rendent parfois plus rapides les solutions aux problèmes. Rappelons les méthodes essentielles :
A a b
B x y
v Pour que les grandeurs A et B soient proportionnelles, il est suffisant que ay = bx (c’est ce que l’on appelle parfois le produit en croix).
v Si A et B sont proportionnelles, on peut multiplier une colonne par un nombre.
v Si A et B sont proportionnelles, on peut ajouter ou soustraire des colonnes.
Deux rapports égaux forment une proportion. a b = a'
b'. C’est équivalent à un tableau de proportionnalité à quatre nombres : on a multiplié a par le coefficient k pour obtenir b, et ce coefficient k se calcule par le quotient b
a. On doit donc multiplier a' par le même
Une application linéaire est une multiplication par un coefficient constant. On retrouve donc quelques unes des propriétés de la multiplication.
L’image de la somme de deux nombres est égale à la somme des images de chacun de ces deux nombres.
En effet, si y = kx et y’= kx’, alors y + y’ = kx + kx’ = k(x + x’) y + y’ est la somme des images de x et x’.
k(x + x’) est l’image de la somme de x et x’.
On retrouve ainsi la règle de la distributivité du produit sur la somme.
On retrouve aussi l’idée que dans un tableau de proportionnalité, on peut ajouter deux colonnes.
L’image du produit d’un nombre x par a est égale au produit par a de l’image du nombre x.
En effet, si y = kx, alors a× y = a × kx = k × ax.
On retrouve ainsi l’idée que dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier les deux nombres d’une colonne par un même nombre.
Cette propriété apparaît très clairement dans les représentations graphiques :
Représentations graphiques
Dans un repère orthonormé, les couples de valeurs associées par une application linéaire forment les couples de coordonnées de points.
Pour une même relation, les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine.
En effet, l’image de 0 est toujours 0. Donc le point (0 ; 0) qui est l’origine du repère est un point de toutes les représentations graphiques d' application linéaire.
x
y
O
3 2 1
2 4
6
Sur la droite ci contre représentant l' appl. linéaire y = 2x,
on constate que si x est 2 fois plus grand, son image aussi.
Si x est 3 fois plus grand, son image aussi. Etc.
La droite est fabriquée comme en escalier, ce qui permet une plus grande précision dans le tracé si on place un maximum de points.
Pour obtenir la droite qui représente une application linéaire, il suffit de connaître un second point puisque deux points suffisent pour tracer une droite.
N’importe quel couple de valeurs associées convient, mais il y en a un qui est plus simple à connaître que tous les autres ;c’est le point qui a pour coordonnées 1 et son image qui n’est autre que le coefficient k de la relation.
Conclusion : Une application linéaire est représentée graphiquement par la droite (OK) où O est l’origine du repère, et K le point de coordonnées (1 ; k).
Pour déterminer l'application linéaire associée à une droite passant par l’origine, il suffit de connaître les coordonnées d’un point de cette droite.
Par exemple :
A a pour coordonnées (1 ; 4). Le coefficient de proportionnalité associée à la droite (OA) est donc 4÷ 1 = 4. Cette relation est y = 4x.
4 est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite (OA).
x
O 1 2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
y
1 3 4
2 5 6 7
-1
-3 -4 -2
-5 -6 -7
C B
D A
F E G
(OD) D : (6 ; 2) 2÷ 6 = 1
3 y = 1
3 x
(OE) E : (-1 ; 2) 2÷ (-1) = -2 y = -2 x
(OF) F : (-3 ; 2) 2÷ (-3) = -2
3 y = - 2
3 x (OG) G : (-6 ; 2) 2÷ (-6) = -1
3 y = - 1
3 x 2. Translation; vecteurs
Définitions
La transformation géométrique qui envoie F en F ‘ est déterminée par la donnée du couple (O,U), qui fixe la direction, son sens, et sa longueur.
L'ensemble de ces trois données est résumé dans la notion de vecteur.
La transformation géométrique qui envoie F en F ‘ est appelée translation de vecteur OU ,→
elle est notée t →OU.
Dans cette translation, tout point M de F a pour image un point M’ de F' signifie que : - (MM’) et (OU) ont même direction, c à d (MM’);;(OU)
- le sens de M vers M’ est le même que le sens de O vers U.
- les longueurs MM’ et OU sont égales.
Égalité de 2 vecteurs Autrement dit :
L’image d’un point M dans la translation de vecteur OU est le point M’ tel que → MM' = → OU→
Définition :
Deux vecteurs sont égaux signifie qu’ils ont même direction, même sens et même longueur (AB) ;; (DC)
Si AB = → DC alors→ Le sens de A vers B est celui de D vers C AB = DC
Vecteurs et Parallélogramme Propriété :
Si AB = → EF alors ABFE est un parallélogramme .→
Réciproquement
Si EFGH est un parallélogramme, alors EF = → HG→
E
F
G H
B G
A
H
I
F
F E
C D O
U
B’
G’
A’
H’
I’
F’ E’
C’ D’
F ‘
Milieu d’un segment Propriété :
Si M est le milieu d’un segment [AB] alors AM = → MB→
Réciproquement
Si GH=→ HL alors H est le milieu du segment [GL].→
Addition de vecteurs a) Construction
Deux vecteurs u et v étant donnés, pour construire le vecteur somme de u et v , noté u + v
- on choisit un point A.
- on construit le point B dans la translation de vecteur u : on a AB = u .→
- on construit le point C dans la translation de vecteur v : on a BC = v .→
Le vecteur AC est la somme des vecteurs u et v : → AC = u + v = → AB + → BC→
b) Conséquences : Relation de Chasles :
Pour tous les points A, B, C : AC = → AB + → BC→
Propriété :
Si ABCD est un parallélogramme alors AC = → AB +→ AD→
Réciproquement :
Si EG = → EF + → EH alors EFGH est un→
parallélogramme .
3. Applications affines
Une application affine (on dit aussi fonction affine) est un modèle de calcul du premier degré qui transforme toute valeur par deux opérations successives : une multiplication, puis une addition.
La forme générale d'une application affine : f : x |→ f(x) = ax + b f(x) se lit f de x et désigne l'image par f de la valeur x.
(x ; f(x)) est un couple de valeurs associées par l' application affine.
Une application affine est représentée dans un repère par une droite qui est parallèle à la droite représentant l'application linéaire qui à x associe ax.
Le nombre a est le coefficient directeur (on dit aussi la pente) de la droite , et par extension, de l'application affine.
A
B
C D
E
F
G H
A C
B
A C
B
u v
u + v
4. Équations de droites
Toute droite dans un repère a une équation de la forme : ux + vy + w = 0
La plupart des droites (celles qui ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées) ont une équation réduite de la forme y = ax + b
Les droites parallèles à l'axe des ordonnées ont une équation de la forme x = k.
5. Conditions de parallélisme et d'orthogonalité
Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente, ou bien si elles sont verticales.
Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à – 1.
6. Inéquations Règle d'addition :
On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inéquation.
Règle de multiplication :
v Si on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre positif, l'inégalité ne change pas de sens
v Si on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif, l'inégalité change de sens
Présentation des solutions :
On présente les solutions sur un axe
La zone des solutions est représentée par un trait épais.
La valeur limite est incluse si l'inégalité est large (≤ ); on utilise alors un crochet pour montrer que cette valeur fait ou non partie des solutions.
0 1
E X E R C I C E S
Exercice 1
Compléter le tableau suivant donnant les images des nombres –1,5 , - ½ , 0 , 1, ¾ , et 2 par chacune des applications linéaires proposées.
–1,5 - 1 2
0 1 3
4
2 x |→ 3x
x |→ -2x x |→ 1
4 x x |→ - 3
4 x x |→ 0,3x Exercice 2
Indiquer pour chacun des tableaux, s’il s’agit d’un tableau de proportionnalité et, si c’est le cas, exprimer la application linéaire associée, traduisant la correspondance entre la première et la seconde ligne.
Tableau 1 Tableau 3
5 10 15 20 1,5 2 2,5 3
10 15 20 25 4,5 6 7,5 9
Tableau 2 Tableau 4
30 33 36 39 7 14 21 35
10 11 12 13 1 2 3 4
Exercice 3
Dans chacun des cas, on connaît un nombre et son image par une application linéaire.
Déterminer son coefficient et l’exprimer sous la forme la plus simple possible.
8 |→ - 64 9|→ 6 7 |→ 4,9 11 |→ -32
0,3 |→ 12 1,2 |→ 0,4 - 2,|→ - 8 25 |→ - 5
Exercice 4
Compléter les tableaux de valeurs des applications linéaires en utilisant les propriétés de la linéarité.
Application 1 Application 2
3 36 18 4 -2 2 4 -4 10
63 5 -15
Exercice 5
Donner les applications linéaires associées aux situations suivantes utilisant des pourcentages :
1. Augmenter de 25%
5. Diminuer de 75%
Exercice 6
Traduire chacune de ces applications linéaires par une variation en pourcentage : x |→1,35x x |→ 0,98x x |→ 3
2 x x |→ 3
4 x x |→ 1,01 x x |→ 0,86x x |→ 1,31x x |→ 4
9 x x |→ 5
8 x x |→ 1,002x Exercice 7
Les points suivants dont on donne les cordonnées sont-ils situés sur la droite représentant graphiquement l'application linéaire x |→ - 0,75x ?
A (-1 ; 0,75) B (-2 ; 3;2) C (-0,2 ; - 0,15) D (- 4;3 ; 1) Exercice 8
1. Si on parcourt 124 km en 1h 24 min., combien de temps faudra - t - il pour parcourir 217 km dans les mêmes conditions?
2. Quel est le pourcentage de réduction si un article initialement au prix de 320 Fr. est soldé à 272 Fr.?
3. Montrer que les deux pavés ci dessous ne sont pas dans la même matière.
Pavé 1 Pavé 2
Quelle serait la masse de pavés de mêmes dimensions s'ils étaient, chacun, constitué de la matière de l'autre pavé?
4. Les longueurs sont en cm. ABC est un triangle de hauteur AH (H est un point de [BC] ) tel que BC = 6 et AH = 4. On augmente les dimensions du triangle ABC pour obtenir un nouveau triangle AB'C' avec B' sur [AB), C' sur [AC), de sorte que (B'C') soit parallèle à (BC) et que B'C' = 9. (AH) coupe (B'C') en H'. Faire une figure présentant la situation. Quelle est l'augmentation en pourcentage de l'aire du triangle quand on passe de ABC à AB'C'?
5. Calculer la longueur AB sachant que (BD) ;;
(CE), et que BC = 4 , BD = 5 et CE = 12.
6. On augmente la longueur d'un rectangle de 15%, et l'on diminue sa largeur de 15 %.
Que se passe - t - il pour l'aire de ce rectangle ?
1 638 g 2 211,3 g
6 cm 5 cm
5,2 cm
6,5 cm 6 cm
4,2 cm
A
B
C
D E
Exercice 9
Associer chacune des droites représentées à l’une des applications linéaires proposées.
x y
O y = 3x
y = -1 3x y =2
5 x y = 9
4 x y = 1,4 x y = - 0,8x
(D1) (D2)
(D3) (D4)
(D5)
(D6)
Exercice 10
Déterminer la pente de chacune des droites représentées dans le repère ci-dessous :
Exercice 11
Compléter le tableau de double proportionnalité donnant le montant des taxes en francs en fonction de la somme et du taux de taxe.
Somme → Taux ↓
100 600 160
4,5 %
36
9% 23,85
18,6%
x y
O (D1)
(D2)
(D3)
(D4)
(D5)
Exercice 12
Parmi les procédés de calcul décrits ci-dessous, quels sont ceux qui expriment une application linéaire ?
x |→ 2x x |→ x² x |→ 3x – 5x x |→ 7x - 4 x |→ 1,01 x x |→ – x
5 x |→ 4x ×x
2 x |→ – 2x + 3
x |→ 3x² – 3x(x – 1) x |→ 1 – x
2 x |→ 2
x x |→ – x²
5 Exercice 13
Replacer correctement les différentes cases des deux dernières colonnes du tableau :
x ×→ k → kx
Distance sur le terrain Échelle de la carte Taux de placement
Capital placé Intérêts du capital Vitesse moyenne
Durée du parcours Distance sur la carte Masse de l’objet
Volume d’un objet Débit moyen Masse volumique
Durée de l’écoulement Volume écoulé Distance parcourue
Exercice 14
Compléter le tableau suivant :
Distance (en km) 195 700 235
Heure de départ 8h 16h55 15h15 20h35
Heure d’arrivée 9h30 19h10
Vitesse moyenne (en km;h) 20 600 75
Exercice 15
En navigation, on utilise le nœud comme unité de vitesse.
Sachant que 50 nœuds correspondent à 92,6 km;h, exprimer les deux applications linéaires qui permettent :
1. De transformer les nœuds en km;h 2. De transformer les km;h en nœuds.
Exercice 16
Compléter le tableau ci-dessous donnant pour chaque fleuve le volume d’eau écoulé en m3 en fonction du temps et du débit moyen
Débit moyen (m3;s) Temps (en s)→
Fleuve↓
60 5
Rhin 2210
Garonne 720× 103 Rhône 1700
Loire 720× 103 Loire 800
1,875× 103 Seine 375
102× 103 Garonne 200
Exercice 17
Exercice 18
Dans un repère orthonormé, placer le point A de coordonnées (-4 ; 7) et le point B de coordonnées (5 ; -9).
1. En examinant le dessin, que peut-on penser des points O, A et B ? 2. Calculer la pente des droites (OA) et (OB).
3. Conclure.
Exercice 19
Dans un repère orthonormé, placer le point A de coordonnées (11 ; 9) et tracer la droite (AO).
Placer sur cette droite le point B d’abscisse 5.
1. En examinant le dessin, que peut-on penser de l’ordonnée de B ? 2. Calculer la pente de la droite (OA).
3. Conclure.
Exercice 20
a) Quelle est l’image de I, de B, de K par t →IJ ? b) Rechercher des vecteurs égaux sur la figure.
Exercice 21
ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [DC].
a) Montrer que →AI = →JC . b) En déduire que →AJ = →IC Exercice 22 (N°5 page 232)
ABCD est un parallélogramme. I est le symétrique de B par rapport à A, et J celui de D par rapport à C.
Comparer les vecteurs →IA et AB ; → DC et → →CJ ; →IA et →CJ . Quelle est la nature IAJC?
Exercice 23 (N° 16 p 233)
ABCD est un parallélogramme de centre O. E et f sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].
1. Montrer que BE = → FD, puis que O est le milieu de [EF] .→
2. Montrer que AG = → GH = → HG→
3. Citer, en justifiant, tous les parallélogrammes ayant pour sommets quatre points de la figure.
Exercice 24 (N°36 p 235)
ABCD est un parallélogramme de centre O. E et F sont les milieux respectifs de [BC] et [CD] .Compléter la table d'addition suivante :
+ AO→ DO→ EC→ BO→
AO→
DO→
EC→
BO→
A
I
B
J
C K
