Devoir en classe

Master M1 Recherche- Module ”Probabilit´es”

Devoir en classe

Exercice 1. Soit X une variable al´eatoire r´eelle.

(a) En appliquant le th´eor`eme de Fubini, montrer que Z x

0

t^p−1P[|X| ≥t]dt = 1

pE[(|X| ∧x)^p]

pour toutx, p >0. En d´eduire par le th´eor`eme de convergence monotone que E[|X|^p] = p

Z ∞

0

t^p−1P[|X| ≥t]dt pour toutp >0.

(b) Montrer que si limt→+∞t^pP[|X| ≥t] = 0,alorsE[|X|^q]<+∞pour tout 0< q < p.

(c) Si limt→+∞t^pP[|X| ≥ t] = 0, a-t-on n´ecessairement E[|X|^p] < +∞ ? On pourra consid´erer la densit´e de probabilit´e donn´ee par f(t) =c/t²(logt)^1/2 sur ]1,+∞[ o`u c est une constante d’int´egration.

(d) On suppose maintenant X positive et absolument continue. Montrer que si E[X^p]<+∞,alors limt→+∞t^pP[X ≥t] = 0.

Question subsidiaire : Calculer la constante d’int´egration dans la question (c).

Exercice 2. Soit X une variable al´eatoire positive. Pour tout p > 0 on note

||X||_p = (E[X^p])^1/p,et on pose ||X||∞= sup{x >0, P[X ≤x]<1}.

(a) En appliquant l’in´egalit´e de H¨older, montrer que ||X||p ≤ ||X||q pour toutq > p.

(b) MontrerP[X ≤ ||X||∞] = 1 et en d´eduire que ||X||_p ≤ ||X||∞ pour tout p >0.

(c) En distinguant les cas ||X||∞ =∞ et ||X||∞ <∞, montrer que limp→∞||X||_p =

||X||∞.

Exercice 3. Th´eor`eme de Bernstein. Soitf : [0,1]→Rune fonction continue. Pour tout n≥0 on consid`ere le n−i`eme polynˆome de Bernstein associ´e `af, d´efini par

B_n(f)(x) =

n

X

i=0

C_iⁿxⁱ(1−x)ⁿ⁻ⁱf(i/n), x∈[0,1].

(a) SoitS_n^x une v.a. binˆomialeB(n, x).Montrer que B_n(f)(x) = E[f(S_n^x/n)]

1

pour toutx∈[0,1].

(b) En utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Chebyshev, montrer que P[|S_n^x/n−x|> δ] ≤ 1

4δ²n pour toutδ >0 et x∈[0,1].

(c) En d´eduire que sup

x∈[0,1]

|B_n(f)(x)−f(x)| ≤ m_f(δ) + ||f||∞

2δ²n pour toutδ >0, o`u l’on a not´e

m_f(δ) = sup

|y−x|≤δ

|f(y)−f(x)| et ||f||∞ = sup

x≤1

|f(x)|

le module de continuit´e et la norme uniforme def.

(d) On rappelle le th´eor`eme de Heine : toute fonction continue sur un compact est uniform´ement continue. D´eduire maintenant de tout ce qui pr´ec`ede le th´eor`eme de Bernstein : B_n(f)→f uniform´ement sur [0,1].

Exercice 4. S´erie harmonique al´eatoire. Soit{X_n, n≥1}une suite de v.a. mutuelle- ment ind´ependantes, dansL₂ et d’esp´erance nulle. On poseS_kⁿ =X_k+. . .+X_npour tout n≥k.On admet l’in´egalit´e suivante de Kolmogoroff :

P h

i=k...nmax |S_kⁱ| ≥x i

≤ Var(S_kⁿ)

x² pour tout x >0.

(a) Rappeler le crit`ere de Cauchy pour la convergence des s´eries r´eelles.

(b) On suppose maintenant queP

n≥1E[X_n²]<+∞.En utilisant l’in´egalit´e maximale pr´ec´edente, le crit`ere de Cauchy pour la convergence des s´eries r´eelles, et le premier lemme de Borel-Cantelli, montrer que P

n≥1X_n converge p.s. On pourra consid´erer les ´ev´enements

A^ε_n = [

p≥n

(

p

X

k=n

X_k

≥ε )

.

(c) On consid`ere {Y_n, n≥1} une suite i.i.d. avec P[Y_n = 1] = P[Y_n =−1] = 1/2, et on poseX_n=Y_n/n.Montrer que P

n≥1X_n converge p.s. et queP

n≥1E|X_n| diverge.

(d) Rappeler la convergence des s´eries r´eellesP

n≥11/netP

n≥1(−1)ⁿ/n. Commenter.

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