MAT 301 2017-2018 Université Grenoble Alpes
Contrôle continu n
o2
le 8 décembre 2017 durée : 1 heure 30
Exercice 1 (Questions de cours)
1. Montrer qu’un polynôme de Q[X] de degré 3 est irréductible si et seulement s’il n’a pas de racine dans Q.
2. SoientP dans C[X] et a∈C. Donner la définition de «a est racine multiple de P ».
3. Montrer que ceci a lieu si et seulement si on a P(a) = 0 et P0(a) = 0.
Exercice 2
Soit P(X) = anXn+· · ·+a0 un polynôme deQ[X] dont les coefficientsa0, . . . , an sont entiers.
1. Montrer que sia, b, csont trois entiers tels que a divisebcet aest premier avec b, alors a divisec(indication : à l’aide d’une identité de Bézout, écrireccomme combinaison entière dea et bc).
2. Montrer que si un rationnelx= pq est racine deP, oùpetqsont des entiers premiers entre eux, alors p divise a0 et q divise an (indication : écrire P(x) sous forme d’une fraction rationnelle, se ramener à raisonner dansZ et utiliser la question précédente).
3. Factoriser les polynômes suivants en produit d’irréductibles de Q[X] : (a) 5X3+X2−1
(b) X4+ 3X3−3X2−12X−4 Exercice 3
1. Soienta, b, c dans C. Donner une condition nécesssaire et suffisante sur (a, b, c) pour que la matrice A=
a b a 0 a c 0 0 1
soit diagonalisable.
2. On prend a=−1 et b = 0. Trouver une matrice inversibleP et une matrice diagonale D dans M3(C) telles que A=P DP−1.
Exercice 4
Soient a∈R∗, b, c, p, q dans R, f :
( R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (cx+by, bx+ 2ay+bz, ax+ 2az) et
g :
( R5 −→ R5
(x, y, z, t, w) 7−→ (x+ 3z, y+ 3t, px+pz+ 3w, qx+py+pt, qy+pw) 1. Écrire les matrices def etg dans les bases canoniques de R3 etR5.
2. Calculer detf et detg.
3. À l’aide de la formule donnant les racines du polynôme P = aX2 +bX +c, en déduire que f n’est pas bijective si et seulement siP possède une racine double.
