Université de Rennes 1 2011-2012
Magistère de mathématiques L3-Topologie
Feuille 2 :
Connexité et Compacité
Connexité
Exercice 1. Les sous-ensembles suivants sont-ils connexes, connexes par arcs : 1. {(x, y) ∈ R2 : x2/4 + y2 = 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y = x2+ 1}, 2. Sn−1, 3. Rn\ Sn−1, 4. X = {(0, y) ; −1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(x, sin(1/x)) ; x > 0}, 5. Y = {(x, y) : x ou y rationnel}, 6. (R \ Q)2, 7. R2\ Q2.
Exercice 2. Donner un exemple de partie connexe, dont l’intérieur n’est pas connexe.
Exercice 3. Montrer que si A et B sont deux parties connexes d’un espace métrique (X, d) telles queA ∩ B 6= ∅ alors A ∪ B est connexe. Est-ce encore vrai en supposant seulement A ∩ B 6= ∅ ? Exercice 4. Dans un espace topologique (X, T ), montrer que la relation définie par x ∼ y s’il existe un chemin joignant x à y est une relation d’équivalence. On note Carc(x) la classe d’équivalence de x ∈ X. Montrer que Carc(x) est le plus grand ensemble connexe par arcs
contenant x et qu’il est inclus dans la composante connexe C(x). Donner un exemple d’inclusion stricte.
Exercice 5. Étudier la connexité de :
(α, β, γ) ∈ R3, γ ≤ α2+ β2 .
Exercice 6. Composantes connexes de O(n) : On note O(n) l’ensemble des matrices ortho-gonales,
O(n) =A ∈ Mn(R), tAA = Id .
On rappelle que qu’il se décompose en O(n) = O+(n) ∪ O−(n) ou O+(n) (resp. O−(n)) est
l’ensemble des transformations orthogonales directes (resp. indirectes).
1. En utilisant le déterminant, montrer que O(n) a au moins deux composantes connexes. 2. A l’aide de la forme réduite des éléments de O+(n), montrer que O+(n) est connexe par
arcs (Pour un élément quelconque A de O+(n) on donnera un chemin de A à Id.). En déduire que O(n) a exactement deux composantes connexes.
Exercice 7. Composantes connexes de GLn :
1. GLn(C) : En utilisant la triangularisation, montrer que pour tout A ∈ GLn(C), il existe un chemin de A à Id dans GLn(C). En déduire que GLn(C) a une seule composante connexe. 2. GLn(R) : Montrer que GLn(R) a deux composantes connexes. Indication : Avec le dé-terminant on montrera qu’il y a au moins deux composantes connexes. Ensuite pour det(A) > 0, on donnera un chemin de A à Id en utilisant la décomposition polaire A = |A| O, |A| =√tAA et O ∈ O(n), et l’exercice 6.
Exercice 8. Montrer qu’il ne peut y avoir d’homéomorphisme entre 1. le cercle et un intervalle de R.
2. entre R et R2.
(Indication on ôtera un point sur chaque ensemble et on étudiera les propriétés de connexité.) Exercice 9. Soit O un ouvert de Rn. Montrer que les composantes connexes de O sont tous des ouverts.
Compacité
Exercice 10. Les sous-ensembles suivants sont-ils compacts ? 1. {(x, y) ∈ R2; x2+ y2≤ 1}, 2. [0, ∞[, 3. Q, 4. Q ∩ [0, 1], 5. {(x, y) ∈ R2, x2+ y2= 1}, 6. {(x, y) ∈ R2, x2− y2= 1}, 7. {(x, y) ∈ R2, 0 ≤ x ≤ 1 et y = x2}, 8. {(x, y) ∈ R2, x ≥ 1 et 0 ≤ y ≤ 1/x}.
Exercice 11. Soit (E, d) un espace métrique compact. Montrer qu’une partie F de E fermée et discrète est finie.
Exercice 12. Soit (E, d) un espace métrique compact. Montrer qu’une suite converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence.
Exercice 13. Soit (xn) une suite de réels bornée telle que : lim n→+∞e ixn = 1 et lim n→+∞e i√2xn = 1. Montrer que xn→ 0.
Exercice 14. Soit Mn(R) l’ensemble des matrices réelles, muni d’une norme. Les sous-ensembles suivants sont-ils compacts ?
1. GLn(R),
2. On(R),
3. Dα = {P ∈ Mn(R) : det P = α}, où α ∈ R.
Exercice 15. L’espace [0, 1] muni de la métrique triviale, est-il compact ?
Exercice 16. Soit K ⊂ A ⊂ E. Montrer que l’ensemble K est compact dans A si et seulement s’il est compact dans E.
Exercice 17. Soit A compact métrique. Montrer qu’il existe deux points x et y tels que d(x, y) = diam(A).
Exercice 18. Soit Q avec la métrique usuelle et S = {r ∈ Q; 2 < r2 < 3}. Montrer que S est fermé et borné dans Q mais pas compact.
Exercice 19. Soit l’espace vectoriel C([0, 1] : Q) normé par k·k∞. Trouver une suite de fonctions
(fn) de norme 1 qui réalise kfn− fmk∞≥ 1, ∀ m 6= n. Que peut-on déduire ? (on pourra prendre
fn(t) = e2inπt)
Exercice 20. Démontrer que dans `2 l’ensemble A = {x ∈ `2; |xn| ≤
1 n + 1∀n} est compact.
Exercice 21. Soit (E, d) et (F, d0) des espaces métriques et f : E → F . Montrer que si f est continue et propre (l’image réciproque de tout compact est compacte), alors f est fermée. Exercice 22. Soit f : Rn → Rn une bijection continue telle que lim
kxk→∞kf (x)k = ∞. Montrer
que f est un homéomorphisme.
Exercice 23. Un théorème de point fixe : Soit (X, d) un espace métrique compact et soit f une application continue de X dans X telle que d(f (x), f (y)) < d(x, y) pour x 6= y. Montrer que l’application f a un unique point fixe, i.e. il existe un unique x ∈ X tel que f (x) = x. (Indication : on étudiera la fonction d(x, f (x)).) En déduire que pour toute donnée initiale x0 ∈ X la suite
récurrente donnée par xn+1= f (xn) converge vers x. Est-ce encore vrai si X n’est pas compact ?
(Prendre la fonction f (x) = 12(x +√x2+ 1) sur R.)
Exercice 24. Théorème de Dini : Soit (X, T ) un espace topologique compact.
1. Montrer que si (fn)n∈N est une suite décroissante de C0(X; R) qui converge simplement
vers f ∈ C0(X; R) alors elle converge uniformément.
2. Donner un exemple ou la suite (fn)n∈N de C0(X; R) est décroissante, converge simplement
mais pas uniformément (la limite ne sera pas continue).
Exercice 25. On considère la suite (Pn) de fonctions sur [−1, 1] définie par : Pn+1 = Pn+
1 2(x
2− P2 n).
Montrer que cette suite est décroissante. En déduire qu’elle converge uniformément vers une certaine fonction qu’on déterminera.
Exercice 26. Théorème de d’Alembert : Il s’agit de montrer que tout polynôme de C[X] de degré ≥ 1 admet une racine dans C.
1. Par un argument de compacité, montrer qu’il existe z0∈ C tel que |P (z0)| = infz∈C|P (z)|.
2. Expliquer pourquoi pour un tel z0, l’ensemble k ∈ N∗, P(k)(z0) 6= 0 est non vide. On
notera k0 son plus petit élément.
3. Vérifier que pour θ ∈ [0, 2π] et pour ρ → 0 dans R+, on a P (z0+ ρeiθ) 2 = |P (z0)|2+ 2 k!Re P (z0)Pk0(z0)ρk0eik0θ + O(ρk0+1).
4. En déduire que l’on a nécessairement P (z0) = 0.
