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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Sportif Haut Niveau, 1995
Sujet
Le plan complexe Pest rapporté à un repère orthonormal
(
0; ;u v)
. On désigne par s l’application qui à tout point M de Pde coordonnées (x ;y) associe le point M’ de coordonnées (x’ ;y’) tel que ' 2' 1
x x y y x y
= − − +
= − − . 1. Déterminer l’affixe z’ de M’ en fonction de l’affixe z de M.
2. Démontrer que s est une similitude plane directe. Préciser son angle, son rapport et son centre I.
3. Soit g l’application qui à tout point M de Passocie l’isobarycentre G des points M, M’ = s(M) et M’’ = s(M’).
a. Calculer, en fonction de l’affixe z de M, les affixes des points M’’ et G.
b. Démontrer que g est une similitude plane directe.
Quel est centre ?
c. Déterminer l’affixe du point M0 tel que g M
( )
0 soit le point O.Reporter sur une figure les points MO, MO', MO''correspondants, ainsi que le point I, centre de la similitude s.
Soit s l’application qui à M(x ;y) associe le point M’(x’ ;y’) avec ' 2
' 1
x x y
y x y
= − − +
= − − .
1. On a
( )
( ) ( )
' ' ' ' 2 1
2 2
2
zM z x iy x y i x y
x iy ix y i x iy i x iy i
z iz i
= = + = − − + + − −
= − − + − + − = − + + + + −
= − + + −
.
2. →L’écriture complexe de s est donc z'= − + + −z
(
1 i)
2 i (de la forme z’=az+b, a non nul) : c’est donc une similitude plane directe.→Or on sait que − + =1 i 2ei34π donc l’angle de s est 3 4
π et son rapport 2.
→Enfin, l’affixe de son centre I est l’unique point fixe de s. C’est donc la solution de z z= − + + −
(
1 i)
2 i cad,après calculs, z = 1.
3. Considérons l’application g qui au point M associe l’isobarycentre des points M, M’ et M’’.
a. On a z'' ' 1=z
(
− + + − =i)
2 i(
z(
− + + −1 i)
2 i) (
− + + − = = −1 i)
2 i ... 2iz+ +2 1i .→G est l’isobarycentre de M, M’ et M’’ donc son affixe est ' '' 3
3 3 3
G
z z z i i
z = + + =− z+ + . b. L’écriture complexe de g est donc : ' 3
3 3
i i
g z =− z+ + , cad de la forme z’=az+b, a non nul : c’est une similitude plane directe de rapport 1
3, d’angle 2
−π et de centre d’affixe 1 (donc de centre I).
c. Pour déterminer l’affixe de Mo, on a résout l’équation 0 3 3 1 3
3 3 Mo
i i
z iz i z i
− +
= + ⇔ = + ⇔ = − .
