Spé Math, France, 2005

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

National, 2005, Septembre

Sujet

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : x²− + ≡x 4 0 (m odulo 6). A : toutes les solutions sont des entiers pairs. B : il n’y a aucune solution.

C : les solutions vérifient x≡2(6). D : les solutions vérifient x≡2(6) ou x≡5(6).

2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.

A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k∈ℤ. B : L’équation (E) n’a aucune solution.

C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k∈ℤ. D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k∈ℤ. 3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 1789²⁰⁰⁵. On a alors :

A : n≡4(17) et p≡0(17). C : p≡4(17). B : p est un nombre premier. D : p≡1(17).

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel que :

A : 1 z b ia

i

= −

− ^. C: a − z = i(b − z).

B : ⁴( )

i

z a e b a

π

− = − . D : ( )

b− =z π2 a−z .

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle 2

3

π ; soit g la similitude directe de centre A, de rapport 1 2 ^et d’angle

3

π ; soit h la symétrie centrale de centre I.

A : h g f transforme A en B et c’est une rotation.

B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

C : h g f n’est pas une similitude.

D : h g f est la translation de vecteur AB .

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Corrigé

1. On remarque que 5 est solution de l’équation : x²− + ≡x 4 0 (m odulo 6). Les propositions A, B et C sont donc fausses. D est donc vraie.

Remarque : pour ce genre de questions, on peut aussi faire un tableau de congruence de modulo 6 de x²-x+4 (c’est rapide) et constate que seuls x≡2 (modulo 6) ^et x≡5 (modulo 6) conviennent.

2. D’entrée, on divise par 2 chaque membre de l’équation (E) : 12x + 17y = 1.

B est fausse puisque d’après le théorème de Bézout, comme 12 et 17 sont premiers entre eux, il existe des solutions.

D est fausse puisque pour k = 0, le couple (0 ;0) n’est pas solution.

A l’aide du cours, on se souvient que les solutions s’expriment à l’aide 17 et 12 : donc C est vraie.

3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p =

1789

²⁰⁰⁵. B est fausse puisque 1789 divise p, qui ne peut donc être premier.

Contrairement aux autres questions, pour répondre à celle-ci, il semble qu’on ne puisse plus raisonner par élimination.

1789 1717 72 1717 = + = + × + 4 17 4

donc

^{1789 ≡ 4 mod 17} ( )

^.

Ainsi,

( )

( )

( )

( )

2

4

1789 4 mod 17 1789 16 mod 17

1 mod 17 1789 1 mod 17

≡

≡

≡ −

≡

.

Comme

2005 = × 4 501 1 +

, on a ^{2005 4 1}

(

⁴

)

¹

^{( )}

4 1

1789 1789

^k+

1789

^k

1789 4 mod 17

≡ ≡

= = × ≡

^.

C est vraie.

4. Faite un dessin !

D est fausse : c’est un piège. Il faudrait remplacer ²

2

par e

i

π

π

pour qu’elle soit vraie.

C est fausse puisque le triangle MAB doit être direct.

B est fausse : c’est l’expression d’une rotation, qui conserve les longueurs, et que le segment [AB] est l’hypoténuse.

A est donc vraie.

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle 2

3

π ; soit g la similitude directe de centre A, de rapport 1 2 ^et d’angle

3

π ; soit h la symétrie centrale de centre I.

C est fausse : la composée de 3 similitudes est une similitude.

Si on regarde ce qui se passe sur les angles, la composée

g f

est une similitude d’angle 2

3 3

π π+

= π

et de rapport

2 1 1

× = 2

. Comme f et g sont de centre A,

g f

est la symétrie de centre A.

On vérifie alors facilement que la composée des 2 symétries est la translation de vecteur AB . D est vraie.