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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Polynésie, 2002
n un entier supérieur à 2.
1. Soit d le pgcd de n et 2n+1 : d divise donc n et 2n+1 donc toute combinaison linéaire.
Donc d divise (2n+1-2n) cad d divise 1.
Donc d = 1.
2. Posons α = +n 3 et β=2n+1 et notons δ = pcgd( , )α β .
2a. δ divise donc la combinaison linéaire 2α β− =5 : comme il est positif, il est égal à 1 ou 5.
Ps : au passage l’énoncé est mal posé. On devrait poser δn pour montrer la dépendance du pgcd suivant la valeur de n. En effet, il ne faut pas penser qu’à priori on a « pour tout n, δ =1 » ou que « pour tout n, δ =5 ».
On a seulement, « pour tout n, δ =1 ou δ =5 ».... c’est pas pareil !!
2b. Prouvons que « α et β multiples de 5 ⇔ n-2 est un multiple de 5 » A priori, une équivalence revient à montrer deux implications !
D’abord ce sens : supposons que α et β sont multiples de 5. Alors, β α− l’est aussi.
Comme β α− = −n 2, on a le résultat.
Ensuite ce sens ⇐ : supposons que n-2 est un multiple de 5. Alors n≡2 (5), et d’après les propriétés sur les congruences, 3 2 3 (5) 0 (5) 2 1 2 2 1 (5) 0 (5)
n et n
α = + ≡ + ≡ β = + ≡ × + ≡ d’où le résultat.
3. Posons a n= 3+2n2−3n et b=2n2− −n 1.
Factorisons : je rappelle que a est racine d’un polynôme P SSI il se factorise par x-a.
Ainsi :
( )
( )( )
3 2
2
2 3
2 3
1 3
a n n n
n n n
n n n
= + −
= + −
= − +
et
( )
( )( )
2 2 1
2 1 1 2 1 2 1
b n n
n n
n n
= − −
= − +
= − +
or n(n+3) et 2n+1 sont des entiers naturels donc a et b sont des entiers
divisibles par n-1.
4a. Notons d le pgcd de n(n+3) et 2n+1 cad d= pgcd
(
nα β,)
.Prouvons que δ|d : δ divise α donc il divise nα . Or il divise β : donc il divise nα et β donc il divise leur plus grand diviseur commun cad d.
Pour montrer que δ =d, nous allons vérifier que d|δ : rappelons que nous avons prouver que n et 2n+1 étaient premiers entre eux (et nous ne l’avons pas encore utilisé).
d est le pgcd de nα et β donc ses diviseurs premiers des diviseurs communs de nα et β .
Mais n et β =2n+1 n’ont aucun diviseurs premiers communs donc les diviseurs premiers communs de nα et β sont forcément ceux de α et β : ainsi d divise α et β donc il divise le pgcd δ .
4b. Soit ∆ =pgcd( , )a b : on a
( ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
gcd 1 3 , 1 2 1 1 gcd 3 , 2 1
1 gcd , 1
p n n n n n n p n n n
n p nα β n d
∆ = − + − + = − + +
= − = − .
D’après le 2b, ∆ =5
(
n−1)
lorsque n-2 est un multiple de 5 et ∆ = −n 1sinon.4c. 2001 – 2 n’est pas divisible par 5 donc ∆2001=2000. 2002 – 2 est divisible par 5 donc ∆2002= ×5 2001.
