Cours : Ordre sur IR

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0 1%2 1%2 3 2 3 14

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- 1* 1% 1%2 * 1%2

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3 3 . . 14 20

6 -

2 $ 1 3 2 $ 3 14

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5

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021 . 1 . 020

1

_{1%21$ 1%2} + 1 71%21* 71%2

6

1 1 . . 021 200

_{12 $ 1%21} 712 * 71%21

.

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→

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0

4 3

5 4

7 3 9 4

+ 1 n n

2 1 + +

n n

₈

n∈ IN

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5 4

4 3 − 20 1 0

20 16 20 15 5 4

4 3 − = − = − < 5 4 4 3 <

9 4

7 3 − 0

63 1 63 28 27 63 9 4

7 3 − = − = − < 9 4 7 3 <

2 1 1 − + + + n n

n n ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ^{1 1 2 1 ...} ( )( ) ^{1 1 2 0}

2 1 2 2 1

1 − + + = + + + − + + + + = = − + + <

+ n n n n n n

n n n n n n

n n

"

2 1 1 < + + + n n n n

)

9 6 6

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0 ( :)

5000 2244 4 3

17 16 13 14

9 5 10 19

14 7 14 5

/

2244 5%%%

5000 2244 < 0 . 5

^{; 6 3}

2

4 3 > 0 . 5

.

5000 2244 < 0 . 5 < 4 3 4 3 5000 2244 <

1<* 1=

17 16 < 1

^{;14 $ 13}

13 14 > 1

^.

14 13 17 16 <

6

10 18

5 9 =

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10 19 5 9 <

/ 6 14

=$ 5

14 5

14 7 <

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@

→0 # 6

# 0

7 et 1.2 8

8 et 2.3 3

2 et 2x-1 x

Solution.

a

⁷ 1

8< > $ = 7 1.2

8<

b

^{8 6 2} 2 0.6 2.3

3 3 3= + ≈ + >

c

^x2−

(

^{2x− =1}

)

^{x2−2x+ = −1}

(

^{x 1}

)

^{2 ≥0 x2 ≥2x-1}

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$

→*!+ * * *

→*"+ ≤ A ≤ A

→*,+ a b

c d

≤

≤ A ≤ A

- 0 (2) ≤%

& ≤ 7 ≤ + '

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. 2 3

1 4

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≤ 2 1 3 4− ≤ − ::

$

→*!+

0 a b k≥

≤ B ≤B

→*"+

0 a b k≤

≤ B ≥ B

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0 a b c d

≤ ≤

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0 (1) 1

k

& ≤ B a b

k ≤k '

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1 4

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2 3 1 4≤ ::

0 ≤ ≤

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,

0% 0 C

2x 3 1

− + > 3x+ >2 5x+4

Solution.

a

2 3 1

3 1 2 2

2 2 1

1 2

x x

x x x

− + >

> + ↓ +

> ↓ −

> ↓ ÷

# 1

b

⁶

3 2 5 4

2 2 4 3

2 2 4

1 2

x x

x x x x + > +

> + ↓ −

− > ↓ −

− > ↓ ÷

# +1

$ /

/ %* * 1 0<a³<a² < <a 1 / $ 1 a³ >a²> >a 1

Démonstration.

a

^{/ %* * 1}

%* D* (* 1)

3 2

0<a <a < <a 1

b

/ $ 1

0% / − < <1 x 0 2.5< <y 3

2 +4 +2

Solution.

a

− < <1 x 0 2 − <2 2x<0

b

2.5< <y 3 +4 − > −10 4y> −12

712 * 74 * 71%

c

^{" E}

. +2 * % − < −6 2y< −5 1 0

6 2 5

x y

− < <

− < − < −

" # 7=* +2 *75

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/ *

→( ) F ;G

" ∈F ;G ≤ ≤ F ;G

→( ) H

. G ;F * *

→( ) F ;A∞F #

∈F ;A∞F ≤

→( ) G7∞;G #

∈G7∞;G ≤

9 ∞ & '

∞ !

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/ 1 2 3 1 043

/ I J

2 * 2+K ∪

# I J %∈∈∈∈ ∪∪∪5∪ 5

*04+K ∩

# I J %∈∈∈ ∩∈ ∩∩∩5 5

. H

∈I∪J 5 % %

0% / I L F72 ;3F JLG74 ;1G I JL F72;1G I JLG74;3F

→! "# $ %

0%

/ ILG73 ;2G JLG7

∞

^{;1G I J I J}

M F72 ;3F IKN

M F 1

10 ;13

14 F N

, #

372 $ 5

Solution.

a

^{" I JLG73 ;1G I JL G7}

∞

^;2G

b

− ≤ <2 n 3 +2 71 % 1 2

c

0 ^{1 13} 1

10 n 14

< ≤ < < :S= ∅

3 2− x> ⇔ >5 3 2x+ ⇔ − >5 2 2x⇔ − >1 x S= − ∞ −] ; 1[

[ ]

a b ] [ a b

a b

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O O O O

L ≥%

7 * %

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! 0

2 $ %

O O

2 L 2

75 * %

O O

5 L 7(75) L 5 0%

3 14

A= − 3 B= −2 5 C= 13− 11

Solution.

14 9 14 5

3 3 3 3 3

A= − = − = − 5

A= − =A 3

2= 4 2< 5⇔ −2 5 0< ^{B = − = − −B}

(

^{2 5}

)

^{= 5 2−}

^.

6 13 $ 11 13> 11⇔ 13− 11 0> C = =C 13− 11

% 9

& '

0% /

• "@ ? (72) ?$ (72) "@L ?+ (72) L ?A 2 L 11

• 3 (75) 3 $ (75) L 3 + (75) L 3 A 5 L >

• @ (72) 3 3 $ (72) @ L 3 + (72) L 3 A 2 L 5

• @ (72) (75) (72) $ (75) @ L 72 + (75) L 72 A 5 L 3

4 7 9 #

O

^+%

O

( y x− )

0% /

• "@L

O

?+ (72) L

O O

?A 2 L

O O

11 L 11

O

• L

O

3 + (75) L

O O

3 A 5 L

O O O

> L >

• @ L

O

72 + 3 ) L

O O O

75 L 5

• @ L

O

?+ (72) L

O O

72 A 5 L

O O O

3 L 3

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O

⁺

O

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# # P 7#7

0 8 ⁶ 8≤≤≤≤ ⇔⇔⇔⇔ ∈∈∈∈9 : ;

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•

O

^{+ 5}

O

≤2⇔ ∈F5 + 2 ;5 A 2G⇔ ∈F3 ;=G

• ∈F<;14G⇔ ∈F1%+ 4 ;1%A 4G⇔

O

+ 1%

O

≤4

D B O C A

-5 -2 0 3 9

3 5 7

2 2

6 1 14

4 4