Cours ordre - inéquations

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Cours ordre - inéquations

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I. Signe de la différence

Pour comparer deux nombres relatifs a et b, on cherche le signe de leur différence :

a < b revient à dire que a – b < 0 a > b revient à dire que a – b > 0

Exemple : Pour comparer –2 et –4, on peut comparer leur différence : (-2) – (-4) = -2 + 4 = +2

On retrouve donc –2 > - 4

Exemple : Compléter le tableau suivant

A b A-t-on a > b a - b Signe de a –b

2 5

18 12

3 2

-4 -5

7 -6

Conjecturer : En observant le tableau ci dessus, compléter les phrases suivantes :

• Si a > b alors …………..

• Si a – b > 0 alors …………

• Si a < b alors ……….

• Si a – b < 0 alors …………..

II. Inégalités

a) inégalité au sens large

On écrit a ≤ b si a < b ou si a = b

a ≤ b se lit : le nombre a est inférieur ou égal au nombre b.

Exemple : 1 ≤ 3 3 ≤ 3

De manière identique, a ≥ b se lit : le nombre a est supérieur ou égal au nombre b.

Exemple : 4 ≥ 2 4 ≥ 4

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b) Somme et différence

propriété :

Quels que soient les nombres relatifs a, b et c : si a < b alors a + c < b + c

si a < b alors a – c < b – c

Autrement dit :

On peut ajouter ou soustraire un même nombre à chaque membre d’une inégalité sans changer le sens de cette inégalité.

Exemple : On sait que m < p, par exemple, m + 7 < p +7 ; m – 2 < p - 2

Démonstrations

si a < b alors a + c < b + c

On suppose que a < b donc a – b < 0 Montrons que a + c < b + c

(a + c) – (b+c) = a –b , donc (a+c) – (b+c) < 0 donc a + c < b + c

si a < b alors a - c < b – c Supposons que a < b.

On a : a + (-c) < b + (-c) (par application de la propriété précédente) Soit a – c < b - c

c) Multiplication et division

Quels que soient les nombres relatifs a,b et c : Si a < b et c > 0 alors a×c < b×c

Si a < b et c > 0 alors a c > b

c Autrement dit :

On peut multiplier ou diviser chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif sans changer le sens de l’inégalité.

Exemple : On sait que x < y. Donc, par exemple, 3x < 3y et x 5 < y

5 Attention ! Si a < b et c < 0 alors a×c > b×c

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Par exemple, 2 < 7 mais 2×(-3) > 7×(-3)

Démonstration

Supposons que a < b, donc a – b < 0, or c > 0 donc (a – b)×c<0 donc ac – bc < 0

donc ac < bc

III. Encadrement et approximation d’un nombre positif

On considère une valeur approchée de π donnée par la calculatrice : π : 3,141592654

On utilise cette valeur pour les notions suivantes :

• 3,14 est la troncature au centième du nombre π

• 3,14 ≤ π < 3,25 est un encadrement au centième du nombre π (la largeur, ou « amplitude », de l’encadrement est 0,01) π est plus proche de 3,14 que de 3,15.

On dit que 3,14 est l’arrondi au centième du nombre π.