cours 21
2.10 INÉQUATIONS
Exemple
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
on obtient une inéquation.
3x + 7 9x 8 5x2 9x + 11 < 13x 1
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
a b
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b si est à droite de sur l’axe réel.a b On dit que a > b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a + c b + c
a < b () a c < b c
a c b c
a b
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
b 4a
4b
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa Si est un nombre négatifb
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
ac bc
ac bc
ac bc
Puisque diviser par un nombre revient à multiplier par une fraction a ÷ d = a ⇥ 1
d
On obtient aussi que si c > 0
a < b () a
c < b c
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a < b () a > b a
b
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
a < b () a
c < b c
a < b () ac < ab a < b () ac > ab
a < b () a
c > b c Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
1 x 2 1, 1]
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
9 7 x 2 9
7 , 1
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
x 2
22
3 , 67 3
Faites les exercices suivants
p.128 Ex 4.9 #1
x2 9
3 x 3 px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3 () 3 x
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
ax2 + bx + c 0
il va falloir faire refaire la démarche qui nous a permis de trouver la formule quadratique.
Mais il y a plus simple!
ax2 + bx + c 0 ou
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+ +
x 2 [ 2, 1] [ [2, 1
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+ +
x 2 [ 2, 1] [ [2, 1
x 1
x + 2 x 2
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+
+ 0
x 2 1, 5[ [ [3, 1
@
Donc si on a une inéquation dont un des côtés est zéro et l’autre est soit un polynôme soit un quotient de polynômes qui est complètement
factorisé, on peut faire un tableau de signe pour la résoudre.
Pour résoudre une inéquation, on doit donc se ramener sous cette forme.
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+ +
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
x 2
1
2 , 3
Faites les exercices suivants
p.132 Ex.4.10 et
p.135 Ex. 4.11
