cours 21
2.10 INÉQUATIONS
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
<
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
<
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
on obtient une inéquation.
Exemple
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
on obtient une inéquation.
Exemple
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
on obtient une inéquation.
3x + 7 9x 8
Exemple
Si on prend une équation et que l’on remplace le symbole d’égalité par
< >
on obtient une inéquation.
3x + 7 9x 8 5x2 9x + 11 < 13x 1
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
a
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
a b
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
a b
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b si est à droite de sur l’axe réel.a b On dit que a > b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Pour mieux comprendre les inéquations, regardons la relation d’ordre sur l’axe réel.
a b
On dit que a < b si est à gauche de sur l’axe réel.a b si est à droite de sur l’axe réel.a b On dit que a > b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a + c b + c
a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a + c b + c
a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a + c b + c
a < b () a c < b c
a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Regardons ce qu’on peut faire à une inéquation sans changer ses solutions.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a < b () a + c < b + c
a + c b + c
a < b () a c < b c
a c b c
a b
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Si est un nombre positif c
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a 4a
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a 4a
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa Si est un nombre négatifb
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
b 4a
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa Si est un nombre négatifb
Avant de regarder l’effet d’une multiplication sur la relation d’ordre, regardons l’effet de la multiplication sur un nombre
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
b 4a
4b
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positifa Si est un nombre négatifb
Si est un nombre positif c
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
ac bc
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
ac bc
ac bc
0 1 2 3 4 5 -1
-3 -2 -4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Si est un nombre positif c a < b () ac < ab
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
ac bc
ac bc
ac bc
Puisque diviser par un nombre revient à multiplier par une fraction
Puisque diviser par un nombre revient à multiplier par une fraction a ÷ d = a ⇥ 1
d
Puisque diviser par un nombre revient à multiplier par une fraction a ÷ d = a ⇥ 1
d
On obtient aussi que si c > 0
Puisque diviser par un nombre revient à multiplier par une fraction a ÷ d = a ⇥ 1
d
On obtient aussi que si c > 0
a < b () a
c < b c
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a b
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a < b () a > b a
b
Regardons maintenant la multiplication par un nombre négatif.
En fait, il suffit de regarder la multiplication par -1 car tout nombre négatif peut être vu comme -1 fois un nombre positif.
0 1 2 3 4 5
-1 -3 -2
-4
-5 6
-7 -6
-8 7 8 9
-9
a b
Multiplier par -1 correspond à faire une rotation de 180o
a < b () a > b a
b
Donc si on récapitule.
Donc si on récapitule.
a < b () a + c < a + b
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
Peu importe la valeur de c
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
a < b () ac < ab
Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
a < b () a
c < b c a < b () ac < ab
Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
a < b () a
c < b c
a < b () ac < ab a < b () ac > ab
Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Donc si on récapitule.
a < b () a c < b c a < b () a + c < a + b
a < b () a
c < b c
a < b () ac < ab a < b () ac > ab
a < b () a
c > b c Peu importe la valeur de c
Si est un nombre positif c
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
Exemple
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x 7 + 8
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1
() 3x 2x 7 + 8
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() 3x 2x 7 + 8
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
1
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
1
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
1 x 2 1, 1]
Exemple
3x 8 2x 7
Pour résoudre une inéquation linéaire, on procède de la même manière qu’avec les équations.
() 3x 2x + 1 () 3x 2x 1
() x 1
() 3x 2x 7 + 8
1 x 2 1, 1]
Exemple
5x + 2 < 2x 7Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9 () 7x < 9
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9 () 7x < 9
() 7x > 9
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
9 7
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
9 7
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
9 7 x 2 9
7 , 1
Exemple
5x + 2 < 2x 7() 5x < 2x 9
() 7x < 9 () 7x > 9
() x > 9
7
9 7 x 2 9
7 , 1
Parfois on traite deux inégalités en même temps
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
x 2
22
3 , 67 3
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
x 2
22
3 , 67 3
Exemple
Parfois on traite deux inégalités en même temps 4 3x 2
5 < 13
() 20 3x 2 < 65
() 4 ⇥ 5 3x 2 < 13 ⇥ 5
() 22 3x < 67 () 22
3 x < 67 3
22 3
67 3
x 2
22
3 , 67 3
Faites les exercices suivants
p.128 Ex 4.9 #1
Pour résoudre une inégalité de la forme
x2 9
Pour résoudre une inégalité de la forme
x2 9
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x2 9
px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x2 9
px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0
x2 9
px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
x2 9
px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3
x2 9
px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3 () 3 x
x2 9
3 x 3 px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3 () 3 x
x2 9
3 x 3 px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3 () 3 x
x2 9
3 x 3 px2 = |x|
Pour résoudre une inégalité de la forme
on ne doit pas oublier que
x 3 si x 0 x 3 si x < 0
() x 3 () 3 x
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
ax2 + bx + c 0
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c 0
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
ax2 + bx + c 0
il va falloir faire refaire la démarche qui nous a permis de trouver la formule quadratique.
ax2 + bx + c 0 ou
Malheureusement, si on veut pouvoir faire cela avec n’importe quelle inéquation quadratique,
ax2 + bx + c 0
il va falloir faire refaire la démarche qui nous a permis de trouver la formule quadratique.
Mais il y a plus simple!
ax2 + bx + c 0 ou
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2) 0 x 1
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2) 0 x 1
() 1 x
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 () 1 x
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 () 1 x
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2
() 1 x
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2
() 2 x () 1 x
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2
() 2 x () 1 x
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2
() 2 x () 1 x
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 1 x
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
Exemple
L’idée repose sur le fait que pour savoir si un produit de nombres est positif ou négatif, il suffit de regarder chacun des nombres multipliés
s’ils sont positifs ou négatifs.
0 (x 1)(x + 2)(x 2)
0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+
+
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+
+
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
1 2
2
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+ +
x 2 [ 2, 1] [ [2, 1
Exemple
0 (x 1)(x + 2)(x 2)0 x 1 0 x + 2 0 x 2
() 2 x () 2 x
() 1 x
1 2
2
+
+
+ +
+ +
+ +
x 2 [ 2, 1] [ [2, 1
x 1
x + 2 x 2
Exemple
x 3x + 5 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x x + 5
5
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x x + 5
5
x 3
3
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3 0
0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
@
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
@ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
@ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
@ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+ @ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+ @ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+
+ @ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+
+ @ 0
Exemple
x 3x + 5 0 x 6= 5
x 3 x + 5
x x + 5
5
x 3
3
0
0
+ + +
+
+
+ 0
x 2 1, 5[ [ [3, 1
@
Donc si on a une inéquation dont un des côtés est zéro et l’autre est soit un polynôme soit un quotient de polynômes qui est complètement
factorisé, on peut faire un tableau de signe pour la résoudre.
Donc si on a une inéquation dont un des côtés est zéro et l’autre est soit un polynôme soit un quotient de polynômes qui est complètement
factorisé, on peut faire un tableau de signe pour la résoudre.
Pour résoudre une inéquation, on doit donc se ramener sous cette forme.
Exemple
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
x = 7 ± p
49 24 4
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5 4
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
0 + + +
1 2 2x 1
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+ +
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+ +
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
Exemple
() (2x 1)(x 3) 0 () 2x2 7x + 3 0
5x2 + 3x 1 3x2 + 10x + 4
() 2
✓
x 1 2
◆
(x 3) 0
x = 7 ± p
49 24 4
= 7 ± 5
4 = 3, 1 2
x
+ +
0 + + +
1 2 2x 1
3
0 +
x 3
0 0 (2x 1)(x 3)
x 2
1
2 , 3
Faites les exercices suivants
p.132 Ex.4.10 et
p.135 Ex. 4.11
