Partiel-n°3-bis-BTS1GO-2009-2010

DS N°4 CALCULS INTEGRALES MATHEMATIQUES BTS1GO 2007-2008 Exercice 1 : 2 points

1°. Calculer, à l’aide du changement de variable ^tlnx : ¹



^{1 lnln}



e x

x  x dx



On pourra vérifier que 1

1 1 1

t

t   t

 

2°. Calculer, à l’aide du changement de variable x2t : ^{1/ 2}₀ ¹ ₂ 1 4 dt

 t



Exercice 2 : 6 points

Pour tout ⁿN.On considère les intégrales suivantes :

₁ ²

0 cos

I 



^t nt dt ; ₁ ²

0 sin

J 



^t nt dt et ₂ ^{2 2}

0 cos

I 



^t nt dt 1°.

a. à l’aide d’une intégration par parties ,calculer I1 et J1 pour ^n0. b. En déduire à l’aide d’une intégration par parties la valeur de I2 . 2°. Soit n entier naturel non nul. On pose : ²

0 ( ) cos( )

In 



^ t nt dt ^et J_n 



0^(t)sin( )nt dt Montrer en intégrant par parties, que : ^I_n ²₂

n

  et J_n n

  Exercice 3 : 7 points

1°. Soient et  deux nombres réels.

Soit f une fonction périodique de période 1, définie sur l'intervalle [0; 1[ par ^{f t( )}^t.

On appelle a0, an ; bn les intégrales définies par a0 



0¹



t



dt ^; an ²



₀¹



t



^cos(2nt dt⁾ et bn ²



₀¹



t



^sin(2nt dt⁾

a. Montrer que ₀

a   2 et que an ⁰ pour tout nombre entier naturel n non nul.

b. Montrer que b_n n





  pour tout nombre entier naturel n non nul.

c. Déterminer les nombres réels  et tels que a0 0 et 1 bn

 n. En déduire l'expression de la fonction f .

d. Représenter la fonction f sur l'intervalle [2 ; 2] dans un repère orthogonal.

2°. On considère la fonction définie sur R, paire, ^-périodique telle que ( ) f t 2t

 si ^t_^{0 ; / 2 }_ a. Tracer la représentation graphique de f sur  ; 

b. Calculer ₀ 1 ^{/ 2}_{/ 2} ( )

a ^ f t dt

 ^





^et 0 ^{/ 2}

4 ( ) cos(2 )

an ^ f t nt dt





on distinguera les valeur de an

suivant la parité de n, pour n non nul.

Exercice 4 : 5 points

On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument est / 2.

En électronique on utilise la fonction de transfert T de la pulsation définie par : 4 ₃

( ) (1 )

T  j

 



Pour améliorer les qualités du filtre, on réalise une contre-réaction sur le montage correspondant et on obtient alors la nouvelle fonction du transfert : ( )

( ) 1 ( )

H T

T

 

 

 .

Le but du problème est d’utiliser un diagramme représentant T pour obtenir graphiquement certaines caractéristiques de H .

1°. Sur le graphique ci-dessous , on donne dans le repère ( ; ; )O u v 

l’ensemble C des points M du plan d’affixe ^{T( )} quand décrit l’intervalle ^{] 0 ;[}.

Calculer^T(0) ; ¹ T 3

 

 

 ; ^T(1) ;^T

 

³ et placer leurs images respectivesM M M M0; 2; 3; 4sur la courbe C 2°. Calculer les modules et argument de ^H(0) ; ^H(1) ; ^H

 

^{3 .}

3°. Montrer



^{1 j}



^{3  }



^{1 2}



^{ 12} . Calculer le module ^{T( )} En déduire que ^{H( ) 4 }



^{1 42}



^{12 .}

2 3 4

-1 -2

2

-1

-2

-3

0 1

1 y

u

A

v

Correction DS N° INTEGRATION BTS1 GO 2007-2008 Exercice 1

1. ln ; 1 0 1. dx

t x x t et x e t dt

        x : ₁



^ln



₀¹ ₀^{11 1}



^{ln(1 )}



¹₀ ^{1 ln 2}

1 ln 1 1

e x t

dx dt dt t t

x x  t   t     

  

  

^;

x2t t1/ 2 x 1 et t  0 x 1 et dx2dt

2. ^{1/ 2}₀ ¹ _{2 0}^{1 1} ₂ ¹ ₀^{1 1} ₂ ¹



^arctan



¹₀ ¹



tan1 arctan 0



¹

2 2 2 2 2 4 8

1 4 1 1

dt dx dx x ar

t x x

        

  

  

^.

Exercice 2

1. On pose ^{u t( ) t u t'( ) 1} ,v t'( ) cosnt v t( ) ¹sinnt

  n , on a donc

2 2 2

1 0 0

0

sin 1

cos t nt sin

I t nt dt nt dt

n n

    





  



  ²    

1 2 2 1

0

1 1 1 1 1

2 sin 2 0 sin 0 cos 0 cos 2 cos 0 1 1 0 0

I n nt n donc I

n n n n n



    

             

On pose ( )u t  t u t'( ) 1 v t'( ) sinnt v t( ) ¹cosnt

   n .

2 2 2

1 0 0

0

cos 1

sin = t nt cos

J t nt dt nt dt

n n

   





  



  ²  

1 2 1

0

1 1 1 2 1 2 2 2

2 cos 2 0 cos 0 sin sin 2 sin 0 +0 =

J n nt n donc J

n n n n n n n n

    

    

                

On pose u t( ) t² u t'( ) 2 tv t'( ) cosnt v t( ) ¹sinnt

   n :

2 2

2 2 2

2 0 0

0

sin 1

cos t nt 2 sin

I t nt dt t nt dt

n n

    

   

 

 

2 2 1 1

1 2 2

4 sin 2 0 sin 0

I n J J

n^   ^ n n

        , donc 2 0^{2 2} 1 2 2 2

2 2 2 4 4

cos

I t nt dt J donc I

n n n n n

    





      

2. Soit n un entier naturel non nul .

0 ( )sin( )

In



^ t nt dt. on effectue une intégration par parties : ( )u t  t  ; u t'( ) 1 et v t'( ) sin( ) ; ( )nt v t ¹cos( )nt

  n , donc pour tout n1, on a :

₂

0 0 0

0

( )cos( ) 1 1

( )sin( ) cos( ) 0 sin( )

n

t nt

J t nt dt nt dt nt

n n n n n

  ^{ } ^     





    



       ^{. Jn }_n^.

²

0 ( ) cos( )

In 



^ t nt dt. on effectue une intégration par parties : ^{u t( ) }



^{t }



^{2 ; u t'( ) 2}



^t



^et v t'( ) cos( ) ; ( )nt v t ¹sin( )nt

  n , donc pour tout n1, on a :

2 2

0 0

0

( ) sin( ) 1 2

( ) cos( ) 2( )sin( )

n n

t nt

I t nt dt t nt dt J

n n n



      

       

 

 

 

^{, donc} 2

2 In

n

  .

3. ⁰ ₀

 

^{2 1}

0

1

2 2

T t

a t dt t

T

  ^  ^  

      

 

 



^{avec T 1.}

2. bn²



₀¹



t



^sin(2nt dt⁾ . On intègre par parties en posant : ^{u t( )t} , alors ^{u t'( )} ; ^{v t'( ) sin(2 nt)}, alors ^{( ) 1 cos(2 )}

v t 2 nt

n 

   .

D’où ¹

   

^{1 1}

0 0

0

cos(2 )

2 sin(2 ) 2 cos(2 )

2 2

n

t nt

b t nt dt nt dt

n n

   

   

 

    

   





    





 

¹

0

1 sin(2 )

2 2 2 2

n

b nt

n n n

 

  

  

      

 

        et bn ² ₂ ⁰

n n

 

 

   

   

  .

3.a. On veut que a00et b_n ¹

n, donc d’après 3. on a : 2 0

1 2

n n

   

  



     

 

  

  



.

L’expression de f est alors ^{( )}

f t   t 2 .

b. on construit alors la courbe représentative de f sur ^{[ 2; 2]} .

Exercice 3

1 f est définie sur R, paire et périodique , de période ^{T } ; de plus ^{( )}

f t  2t si ^{t[0; / 2]} ,

On trace le segment de droite définie sur l’intervalle ^{[0; / 2]} , puis son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées . par translation de vecteur iou i on obtient la courbe demandée sur ^{[ ; ]}:

 3/2

-/2 -

-3/2

4

-2

0 /2

2

x y

2. Calcul de a0 :

2 / 2 2

/ 2 / 2 / 2

0 / 2 0 0

0

1 2 2 2

( ) ( )

2 2 2 8

a f t dt f t dt tdt t



        

  

  

   



  

   

Calcul de anpour tout n N ^ : ⁴ ₀ ^{/ 2 cos(2 ) 2} ₀ ^{/ 2 cos(2 )}

n 2

a ^ t nt dt ^ t nt dt









On intègre par parties , en posant ^{u t( )t} et v t'( ) cos(2 ) nt ; donc ^{u t'( ) 1} et ^{( ) 1 sin(2 )}

v t 2 nt

 n On obtient donc

/ 2 / 2

0 0

sin(2 ) sin(2 )

2 2 2

n

t nt nt

a dt

n n

 

  

 

   



 ^{puisque sin(2n}₂^{) sin( n) 0} ;il vient :

/ 2 0 2

1 cos(2 ) 1 2

2 0 cos( ) cos0

2 2 2 2

n

nt n

a n n n

     

 

        

 

, d’où 2

 

2

 

1 1

cos( ) cos0 ( 1) 1

2 2

n n

a n

n n

      .

Si ⁿest pair , ^n2p avecp N ^ on a :

   

^{1 n 1 2p 1 , donc a2p 0.}

Si ⁿest impair , ^n2p1 on a :

   

^{1n  12p1 1 donc a2p1 }_(2p²_1)^{2 .}

Exercice 4

1. ( ) 3

(1 )

T k

 j

 

 : (0) 3 4

(1 0)

T  k  k

 ;

3 3 2

1 12 3 12 3 12 3 12 3

3 1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) (2 2 3 ) ( 3 ) 2 3 2 6 2 3

1 3

T k

j j j j

j j j

j

 

    

 

              

 

  

 

 

2 -1

-2

-/2

0 1

/2

x y

1 12 3 3 3

8 2

T 3 j

j

 

  

 

 

  .

 

 

^{3 2}

4 4 4 4 2 2(1 )

1 1

(2 ) (1 ) 2 2 1 2

(1 ) (1 )

1

T j j

j j j j

j j

j

 

        

     

  



 

³



1 ⁴3



³ (1 3 )²⁴ (1 3 ) ( 2 2 3 ) (1⁴ 3 ) 2 2 3 ⁴ 2 3 6 ^{48 12}

T j j j j j j j

      

        

  

 .

2. ( )

( ) 1 ( )

H T

T

 

 

 : (0) 4

( ) 1 (0) 5

H T

  T 

 . (1) 1 1 1 ²

(1) 1

1 (1) 1 1 1

T j j j j j

H j

T j j j

     

      

    

( 3) 1/ 2

( 3) 1

1 1/ 2

1 ( 3)

H T

T

    

  .

3. 4 ₃

( ) (1 )

T  j

 

 : 1 j  1²



^{1 j}



^{3 }



^{1 j}



^3



^12



^{3 }

^

^{1 2}

^

^{ 12}

Donc ^{T( )  (14j)3  (14j)3 }



^12



^{4 12 .}

 

   

2 2

2 2

2 2

4

1 1

( ) ( ) 4

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 4 4 1 1

1 1

T T

H T T

 

 

    

 

 

   

     

 

.

arg(1 j)³3arg(1 j) 3arctan  et

4 ₃ ³

arg ( ) arg arg 4 arg(1 ) 0 3arctan 3arctan

(1 )

T j

 j   



 

         

^{( ) ( ) 4} ₃

1 ( ) 4 (1 ) H T

T j

 

 

 

   , donc arg ( ) arg ^{( )} arg ^{4 3} arg 4 (1



)³



1 ( ) 4 (1 )

H T j

T j

  

 

 

 

           . ^{4 (1  j)3   4 1 3j23 j3 5 3 j2}



^3



,

donc ^{arg 4 (1}



^{  j)3}



^{arctan}_^2_{5 3}

^

_^3_^

^

^_

  et ²



³



arg ( ) arctan

H 5 3

 

  

 

    

2 3 4

-1 -2

-3 -4

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1 y

M0

M2 M3

M1

u A

v