L'arithmétique du groupe de Chow des zéro-cycles

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-L

OUIS

C

OLLIOT

-T

HÉLÈNE

L’arithmétique du groupe de Chow des zéro-cycles

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

7, n

o

_{1 (1995),}

p. 51-73

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1995__7_1_51_0>

© Université Bordeaux 1, 1995, tous droits réservés.

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L’arithmétique

du

_groupe

de Chow des

_zéro-cycles

par Jean-Louis

COLLIOT-THÉLÈNE

1. Introduction

Je fais le

_point

sur diverses

questions

et

conjectures

naturelles sur le groupe de Chow des

zéro-cycles

modulo

l’équivalence

rationnelle sur une variété

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

X définie sur un corps

k, lorsque

ce _corps est

_{arithmétique}

_(corps

local ou _corps de

nombres).

Au

premier

paragraphe, après

un

rappel

de résultats valables _{pour toutes}

les variétés

_projectives

et lisses

_(corps

de base

_{algébriquement}

_clos,

_réel,

fini),

j’énonce

des

_conjectures,

_qu’il

vaudrait

_peut-être

mieux

_rebaptiser

questions,

sur les variétés sur un _corps

p-adique

et sur un _corps de nombres.

Au second

_paragraphe,

_je

fais le tour des résultats connus _pour les surfaces.

Au troisième

_{paragraphe, j’expose}

les

_quelques

résultats obtenus _pour les variétés de dimension

_supérieure.

’

La

_plupart

des résultats concernent la torsion du groupe

CHo(X).

Ils

portent

sur des variétés

_qui

_{géométriquement}

sont raisonnables : surfaces de genre

géométrique

zéro,

variétés fibrées au-dessus d’une

courbe,

la fi-bre

_générale

étant un _espace

homogène

sous un _groupe

_algébrique

linéaire. Il _y a

_cependant

_{déjà quelques}

résultats sur certaines surfaces de _genre

géométrique

non nul.

Le

_présent

texte _passe en revue la

_plupart

des résultats obtenus dans ce

domaine,

mais ne contient pas de démonstrations

(à

l’exception

de celle du

théorème

_2.1,

et des indications

_{complémentaires}

sur la démonstration de

2.5 et de

_2.8).

_Beaucoup

de ces démonstrations

_reposent

sur les résultats

de Merkur’ev et Suslin

_[28],

_{qui permirent}

de

_développer

une méthode de

S. Bloch

_{( (1~, [2]).}

Dans la

_{généralité}

où elles sont énoncées

_ici,

les

_conjectures

1.4 et 1.5

paraissent

pour la

première

fois.

Groupe

de Chow des

_{zéro-cycles :}

définitions

Soient k un _corps et X une k-variété

algébrique.

Etant donné un

_point

P E

_X,

on note le _corps résiduel en P. Le

point

P est fermé sur X si et seulement si le _corps

_k(P)

est une extension finie de l~. On note alors

degk (P)

=

[k (P) : k~.

On note

Zo(X)

le _groupe abélien libre sur les

_points

fermés de X. Les éléments de

qui

sont les combinaisons linéaires finies à coefficients entiers

_{£ p}

_{n pP,}

sont

_{appelés zéro-cycles.}

On définit le

degré

d’un

_zéro-cycle

_par la formule

Notons

_qu’il

existe un

zéro-cycle

de

degré

un sur X si et seulement si le

p.g.c.d.

des extensions finies de corps

.K/k

avec

X(K) ~ ~

est

_égal

à un. Il

_s’agit

là d’une condition

_plus

faible _que l’existence d’un

_point

rationnel

(X(~) ~

0).

Etant données une courbe

_intègre,

de _corps des fonctions

_k(C),

et

une fonction

f

E

_k(C)*,

on sait définir le

zéro-cycle

div( f )

E

_Zc(C)

_([21]).

Le _groupe des

_zéro-cycles

rationnellement

_équivalents

à zéro sur

X est par définition le sous-groupe de

Zo (X)

engendré

par tous les

div( f )

E

Zo(C)

C _pour C C X variant

_parmi

les courbes fermées

_intègres

tracées sur X et

_f

fonction rationnelle sur une telle courbe C. On définit

alors le _groupe de Chow comme le

_quotient

Ce groupe est fonctoriel covariant par

morphismes

propres.

Plus

_{généralement,}

sur une variété

_X,

on définit

([21])

des _groupes de Chow

_(cycles

de

_{dimension i,}

modulo

_équivalence

_rationnelle)

et

(cycles

de

_{codimension i,}

modulo

_équivalence

_{rationnelle).}

Si est une courbe

_{projective intègre,}

on sait que _{pour toute} fonction

f

E

_k(C)*

le

_degré

du

_zéro-cycle

_{div( f )}

est nul.

_Ainsi,

si est une variété

complète

(c’est-à-dire

propre sur

1~),

l’application degré

de

Zo(X)

vers Z

induit une

application degré

de

CHO(X)

vers Z. On note alors

_Ao(X)

le

noyau de cette

application :

c’est le groupe des

zéro-cycles

de

degré

zéro,

modulo

_{l’équivalence}

rationnelle.

Le _groupe

_Ao(X)

est un invariant k-birationnel stable des k-variétés

intègres,

propres et lisses : Si X et Y sont deux telles variétés et si l’on a un

k-isomorphisme

birationnel entre X _{x k}

_P~

et Y x ~

_{Ps (r}

et s entiers

naturels),

alors

_{Ao (X )}

et

_{Ao (Y)}

sont

_isomorphes

_{( ~21~,16.1.11 ) .}

Soit une k-variété

_projective,

_{lisse, géométriquement intègre}

sur un

hypothèses arithmétiques

variées sur le

_{corps k.}

On

_peut

_essayer d’étudier

le _groupe

_{Ao ~X~}

en le mettant en

_rapport

avec divers _{autres groupes.}

Ainsi,

on sait définir un

homomorphisme,

dit

_{homomorphisme}

d’Albanese :

où

_{Albx /k}

_désigne

la variété d’Albanese de X : c’est une variété abélienne

définie sur

_k,

_{qui lorsque}

X/k

est une courbe s’identifie à la

jacobienne

de

X. Si est une courbe

projective, lisse,

géométriquement

intègre,

avec

X ~ 1~) ~ 0,

cet

_{homomorphisme}

est un

isomorphisme,

mais c’est loin d’être

le cas en

général.

On

_peut

aussi étudier des

_{accouplements}

de

_{Zo (X)}

avec divers _groupes de

cohomologie

étale

_.),

_qui

_passent

au

quotient

modulo

l’équivalence

rationnelle

_grâce

à des

_propriétés

de fonctorialité et à la

_trivialité,

sur la

droite

_affine,

des _groupes de

_cohomologie

considérés. Notant

_{Br(X) =}

le _groupe de Brauer

_{cohomologique}

de

_X,

on

dispose

en

par-ticulier

_{d’accouplements}

bilinéaires

et

induits _par

_{l’accouplement}

bilinéaire

qui

à un

_point

fermé P E X et à a E

_Br(X)

associe

_l’image

_par la

cores-triction

_Br(k)

de

_l’image

de a _par l’évaluation

Br(X) -

,

Faute de

_pouvoir

contrôler le _groupe

_Ao(X)

_lui-même,

on sera souvent

content d’obtenir des informations sur la n-torsion

_{nAo (X)}

et la n-cotorsion

Ao (X ) /n

pour n &#x3E; 0 entier.

(Un

certain nombre de résultats énoncés ici sur la torsion du _groupe

CHo (X)

pour les surfaces valent pour la torsion du groupe de Chow

pour les variétés de dimension

quelconque

(voir

le

rapport

[8]);

j’ai

choisi ici de centrer

_l’exposé

sur les

zéro-cycles.)

1. Résultats

_généraux

et

_conjectures

THÉORÈME

1.1. Soit X une variété

_projective,

lisse et connexe sur un

corps k algébriquement

clos. Ators :

(a)

Le groupe

Ao(X)

est divisible.

(b)

L’application

d’Albanese al b :

_Albx/k(k)

est

_surjective,

et son _{noyau est}

_uniquement

divisible.

(c)

Soit _g la dimension de la variété d’Albanese. Pour tout entier n &#x3E; 0

premier

à la

_{caractéristique}

de

_k,

_{l’application}

d’Albanese induit un

isomorphisme

de _groupes

_finis

La

_partie

_(a)

s’établit par réduction au cas des courbes. Les énoncés

équivalents

(b)

et

_(c),

sont dus à Roitman _pour la

_partie

_première

à la

caractéristique

p

de k,

et à Milne pour la

partie p-primaire.

Ils ont été

ensuite été établis de diverses manières _par S. Bloch. Voir

_{[8], §4.}

Il convient ici de

_rappeler,

comme il a été établi _pour la

_première

fois

par

Mumford,

puis

par une méthode toute différente _par S.

Bloch,

_que

l’application

d’Albanese atb est en

général

loin d’être un

_{isomorphisme.}

C’est une

_question

ouverte de savoir si c’est un

isomorphisme lorsque

l~ est

une clôture

_algébrique

du _corps des rationnels.

Etant donnée une variété X

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

sur un _corps

_k,

on note

7rl b()

le _groupe fondamental abélien

et on note _groupe fondamental abélien

_{géométrique qui}

est

le dual de

_Pontryagin

du groupe

On

_{dispose d’accouplements}

évidents

THÉORÈME

1.2. Soient F un _corps

fini

et

_X/F

une variété

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre.}

Alors le groupe

Ao (X ~

est

fini,

et on a un

isomorphisme

de _groupes

(finis)

indu2t par

l’accouplement

ci-dessus.

Ce théorème

_(dit

du _corps de classes de

_Hilbert),

_classique

_pour les

courbes,

est dû à K. Kato et S. Saito pour les surfaces. Un

argument

simple

permet

de déduire le cas

général

de celui des surfaces. On connaît maintenant

_plusieurs

démonstrations de ce résultat. Je renvoie à

_{[8], §5,}

pour une discussion détaillée.

THÉORÈME

1.3. Soient

_X/R

une variété

_projective,

lisse et

géométrique-ment

_intègre

sur le _corps des

réels,

et

Xc

= X _xR C. Soit _s le nombre de

composantes

connexes de

_l’espace

_topologique

X (R) .

Soit

_D(X)

c

_Ao(X)

le _sous-groupe divisible maximal de

_Ao(X).

Alors

(a)

Le

_quotient

_Ao(X)/D(X)

est

_fini,

nul si

_{X(R) =}

_0,

et

_isomorphe

à

_(Z/2)s-l

sinon.

(b)

Soit _{p :} -.

Xc --+

X Za

_projection

naturelle. ,On a alors

D(X )

-p*(Ao(Xc)) =

(c)

Le _sous-groupe de torsion

_n(X)tors

de

_D(X)

est

_isomorphe

à

(Q/Z)9,

où g désigne ta

dimension d e la variété d’AZbanese de X.

(d)

Pour tout entier n &#x3E; 0 les _groupes et

_{n Aa (X )}

sont

_finis.

Ce théorème _regroupe des résultats anciens

_[9]

et des résultats récents

[16].

Le même énoncé vaut pour un _corps de base réel clos

_R,

en

_remplaçant

composantes

connexes réelles _par

_composantes

semi-algébriques.

Dans l’énoncé suivant on s’intéresse au cas d’un _corps de base

_p-adique

k. On

_dispose

alors de l’invariant local

_{Br(k) N}

_Q/Z.

CONJECTURES 1.4. Soient k un _corps

p-adiq2ce

(extension

finie

de

_Qp)

et X une variété

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

sur k. Soit

D(X)

C

_{Ao(X) le}

sous-groupe divisible maximal de

Ao(X ).

(a)

Pour tout entier n &#x3E;

_0,

les _groupes

_nAo(X)

et

_{Ao (X) /n}

sont

_finis,

et le _groupe

_{Ao (X) /1}

est nul _{pour presque tout} nombre

_premier

1.

est un

isomorphisme.

Les

homomorphismes

naturels

ru "

ont un _{noyau ,}

fini.

(c)

Soit

_X/O

un rrzodèle

régulier

et propre de

X / k

au-dessus de l’an-neau 0 des entiers de k.

_L’image

des

_{homomorphismes}

_{~~ et ’P2} coïncide avec

Hom(Br(X)/(Br(X)

Q /Z) .

Quelques

jours

avant mon

_exposé

à

_Bordeaux,

Parimala et Suresh

_[31]

ont trouvé des

_exemples

montrant que dans 1.4

(b),

le noyau des

homo-morphismes

cpl et cp2

peut

être non nul.

L’énoncé 1.4

_(c)

fait

_l’objet

d’un travail en cours avec S. Saito. Le cas

des surfaces rationnelles est étudié en détail dans la thèse de Dalawat

[19].

Il est aussi naturel de _poser les

_{questions suivantes,}

sans les

_ériger

en

conjectures :

1.4

_(e)

Le _groupe

_{Ap (X)tors}

est-il fini ? ,

1.4

_(f)

Le _groupe

_D(X)

est-il

_uniquement

divisible ?

1.4

_(g)

Le _groupe est-il

_isomorphe,

_{à groupes} finis

_près,

à

un _groupe

_{ZI ?}

Le cas des courbes

Soit h un _corps

_p-adique

(extension

finie de

Qp).

Soit une courbe

projective, lisse,

géométriquement intègre,

et soit J sa

jacobienne,

_qui

est

une variété abélienne sur l~. On

dispose

alors d’une inclusion naturelle

Ao(X)

c

_J(1~),

à _conoyau fini

_(et

nul si X

_possède

un

_point

rationnel).

Le groupe

J(k)

est un _groupe de Lie abélien

p-adique,

extension d’un _groupe

abélien fini _par un _groupe

isomorphe

à

(Zp)~

(où

N est le

produit

du _genre

de X _par le

_degré

de k sur

Qp).

On voit donc _que les

_questions

(a), (e)

et

_(f)

ont dans ce cas une

réponse

afhrmative

(le

_sous-groupe divisible maximal

D est réduit à

_zéro).

Il en est de même des

_questions

_(b)

et

_(c).

Pour la

_question

_(b),

on

_peut

dire

plus

(dualité

de

Tate,

voir

[26]

et

_{[30]) :}

les flèches _cpl et _p2 sont

_injectives

_et,

au moins

_lorsque

X

_possède

un

_point

(Pour

les

_courbes,

c’est une

conséquence

de la dualité de Tate _que le _groupe

Br(X)

est

_nul.)

Dans l’énoncé suivant on s’intéresse au cas d’un _corps de base k

_qui

est

un _corps de nombres. On note Q l’ensemble des

places

de k. Pour v

E 0,

on

_{note kv}

le

_complété

de k en v. On

dispose

de la suite exacte du _corps

de classes

»-", - -.

V ’-BIV y

où les flèches ~

Q/Z

sont les invariants de la théorie du _corps de

classes local.

Pour

_projective,

les invariants locaux

_permettent

de construire un

accouplement

donné _par

Cet

_accouplement

s’annule sur

l’image

de

CHo (X )

dans

(image

par

l’application

diagonale).

CONJECTURES 1.5. Soient k un _corps de nombres et X une variété

pro-jective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

sur k.

(a)

S’il existe une

famille

E

_{TIvEO ZO(Xkv)}

de

_zéro-cycles

de

degré

1 telle _que

_EVEO

= 0 _{pour tout a E}

Br(X),

alors

il existe un

zéro-cycle

z E

_Zo(X)

de

_degré

1 .

(b)

Le _groupe

_Ao(X)

est un _groupe de

_types

fini,

et

l’application

d’Albanese alb :

_{Ao(X) -~}

a _noyau

(et conoyau)

_finis.

(c)

Le

_compte

est

_exact,

où la

_première

_flèche

est la

_{flèche diagonale}

évidente et

où la deuxième

_flèche

u est obtenue _par somme des

_{accouplements}

locaux.

(d)

Soit

_X/V

un modèle

_régulier

_propre de

X/k

au-dessus de l’anneau

des entiers C~ de k. Alors le _conoyau de u dans le

_complexe

ci-dessus

oïc

_Br’(x)

c

_Br(X)

C

_Br(X)

est le sous-groupe

formé

des éléments

de

_Br(x)

_qui

s’annutent sur _pour toute

place

réelle v E Q.

Remarques.

La

_conjecture

1.5

_(a)

_s’exprime

aussi sous la forme : l’obstruction de

Brauer-Manin à l’existence d’un

_zéro-cycle

de

_degré

1 est la seule. Pour

une courbe

X/k

de _{genre un,} Manin

[27]

a

_{remarqué qu’il}

en est bien ainsi

si le _groupe de Tate-Shafarevich de la Jacobienne de X est

_fini,

et Saito

_[33]

a étendu cet énoncé conditionnel au cas des courbes de _genre

quelconque.

Cette

_conjecture

est aussi motivée _par différents résultats obtenus sur le

principe

de

_{Hasse, rappelés}

ci-dessous

_(Théorèmes

2.9 et

_3.6).

La

_conjecture

1.5

_(b)

est due

_{indépendamment}

à Bloch et à Beilinson. La

_conjecture

1.5

_(c)

est une extension au cadre de toutes les variétés d’une

_conjecture

de Cassels

_[6]

sur les courbes

elliptiques

(conjecture

éten-due aux variétés abéliennes _par

Tate,

voir Milne

[30]

_p.

102),

et d’une

con-jecture

de Sansuc et l’auteur sur les surfaces rationnelles

([12],

voir aussi

[40]).

Kato et Saito

_{(~24J (7.6.2)}

p.

303,

et

_{[33], (7.8)}

_p.

₃₉₄₎

ont

_proposé

certains

_énoncés,

_qu’on

_peut

relier à cette

_conjecture,

ainsi

_qu’à

la

conjec-ture

_(a)

_([33],

Th.

_8.4).

Saito me dit _que Kato et lui-même aiment voir la

_conjecture

1.5

_(c)

sous une forme

duale,

qui

évite le recours aux limites

projectives

ou aux

topologies.

Kato et Saito

_postulent

_que

_{l’application}

naturelle

où

_{Hom f}

_désigne

les caractères

_{d’exposant fini,}

est

_surjective.

La

_conjecture

1.5

_(d)

est motivée _par le cas des

_courbes;

elle a été aussi

suggérée

par S. Saito. Dans un futur travail _commun, sans

pouvoir

rien dire sur la finitude des groupes

considérés,

nous établirons un énoncé

_proche

de

l’énoncé "dual"

_qui

dit _{que que} le _noyau de 0 est essentiellement

2. Surfaces

Pour les surfaces sur un _corps

p-adique,

on a

quelques

résultats

_généraux.

Dans l’énoncé

_{qui suit,}

les résultats

_(a)

et

_(b)

sont connus

depuis

1982. Les

résultats

_(c)

et

_(d),

_qui

auraient pu être trouvés à la même

_époque,

n’ont été

_remarqués

_que récemment : l’énoncé

_{(c) (sous}

une forme

essentielle-ment

_{équivalente)}

_apparaît

pour la

première

fois dans un article de Saito

THÉORÈME

2.1. S’oit k un _corps

p-adique

(extension

de

Qp).

X ~k

une

surf ace

pro jective,

lisse, géométriquement intègre.

(a)

Pour tout entier n &#x3E;

_{4, le}

_groupe

_nAo(X)

est

(b)

Pour tout nombre

premier 1 ,

le _groupe de torsion

_{1 -primaire}

est de

_cotype

est

_isomorphe

à la somme directe d’un _groupe

fini et

d’un _groupe avec N = 0.

(c)

Pour n &#x3E; 0

_premier

à

_{p, le}

_groupe

_Ao(X)/n

est

_fini.

(d)

p, le groupe

Ao(X )

est la somme directe de son

’

sous-groupe maximal et d’un groupe ,

fini

Démonstration. Pour n &#x3E; 0

_premier

à la

_{caractéristique}

de

_k,

notons

J.Ln le faisceau étale défini par le groupe des racines n-ièmes de

l’unité,

et

~c~2

= ¡.Ln Q9

¡.Ln. Pour toute variété lisse sur un

_{corps k}

et tout entier n &#x3E; 0

_premier

à la

_{caractéristique}

de

_k,

le _groupe est un

sous-quotient

du _groupe ceci est une

conséquence

du théorème

de Merkur’ev et Suslin

_[28],

des résultats de Bloch et

_Ogus

_[4]

et d’une

analyse

de S. Bloch

_(voir

_par

_exemple

_[8],

Théorème

_3.3.2).

De

_même,

pour l

premier,

le groupe de torsion

l-primaire

est un

sous-quotient

du _groupe

_(ici

est la limite inductive

sur les entiers m &#x3E; 0 des faisceaux étales

_®2.

Pour k un _corps

p-adique,

le groupe

~I t(X, ~c~2~

est fini et le groupe est de

_cotype

fini.

De ceci résulte les énoncés

_(a)

et

_(b)

pour X une surface

_projective

et

lisse sur un _corps

_{p-adique : pour 1 premier,}

on

_peut

écrire

où F

= Fl

est un _groupe abélien

fini,

et N un entier

(dépendant

a

_priori

Pour X une variété

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

sur un

corps k

p-adique,

et 1

_premier

différent de _p, on a

_{Ao ( X ) ®}

0. Ceci est en effet clair

lorsque

X est une courbe

(puisque

Ao(X)

est alors extension d’un _groupe fini _par une somme directe

_{d’exemplaires}

du _groupe

additif

_Zp).

Le cas

général

en résulte _par une

application

du théorème

de

_Bertini,

_qui

_permet

de voir

_{chaque zéro-cycle}

sur X comme un

zéro-cycle

sur une courbe

_projective,

lisse et

_{géométriquement intègre}

tracée

sur X. De

_{l’égalité}

_{Ao(X) 0}

= 0 _on déduit

que pour tout entier

n &#x3E;

_0,

_{l’application}

naturelle est un

isomor-phisme.

Ceci

_peut

se voir aussi directement

(sans

recourir au _passage à la

limite inductive

_{Ql/Zl) :}

cette flèche est clairement

_injective,

et _pour la

projective,

lisse et

_{géométriquement}

connexe

C,

_pour

laquelle

l’assertion

résulte immédiatement de la structure de

Lorsque

X est de

_plus

une

surface,

_pour

laquelle

comme on l’a vu

ci-dessus,

on en déduit un

_isomorphisme

naturel

pour tout entier &#x3E; 0. Choisissant n = t tel _que

lt.F

=

0,

on

obtient _que

_{l’application composée}

naturelle F -

_{Ao(X) --+}

est

un

isomorphisme. Ainsi,

dans la suite exacte

définissant

_D,

la

_projection

_Ao(X)jlt

est

_scindée,

ce

qui

donne un

_isomorphisme

D E3

_F,

et

_{l’égalité}

_DII

= 0 : le

groupe D est

donc _{le sous-groupe} 1-divisible maximal de

_Ao(X).

Ceci établit l’énoncé

(d).

L’énoncé

_(c)

est une

conséquence

évidente de

(d).

D

L’énoncé ci-dessus laisse les

_questions

suivantes ouvertes : La torsion de

Ao (X )

est-elle finie ? Le groupe

Ao(X)

est-il 1-divisible pour presque tout

premier 1 ?

Le sous-groupe divisible maximal de

Ao (~X )

est-il

_uniquement

divisible ? Dans certains cas, on

_peut

répondre

à ces

_questions.

Je renvoie

à

_~8J,

_{§ 8,}

_pour les deux énoncés suivants.

THÉORÈME 2.2

_([10]).

Soit X une

surface

_{projective, lisse,}

géométrique-ment

_intègre

sur un _corps k

_p-adique.

Si

H2 (X,

0 x)

=

0,

alors le

sous-groupe de torsion de

Ao (X)

est

_fini.

THÉORÈME

2.3

_(S.

_Saito).

Soit X une

_surface

_projective,

_lisse,

géométri-quement

intègre

sur un _corps k

p-adique.

Si

.H2 (X,

Ox)

=

0,

_et si la variété

d’Albanese de X a bonne réduction sur le _corps

p-adique k,

alors

l’accouplement

naturel induit une

_injection

Si de

_plus

la

_flèche

alb :

_{AO(X) ,}

_Albx/k(k)

est un

_{isomorphisrrte,}

alors

l’accouplement

naturel induit une

_injection

(Selon

une

_conjecture

de S.

Bloch,

_{l’hypothèse supplémentaire}

selon

laquelle

alb est un

_isomorphisme

résulte de la nullité de

H2(X,

_OX)

=

Parmi les surfaces

_auxquelles

le théorème 2.3

_{s’applique,}

on trouve les surfaces

_{rationnelles,}

les surfaces

_{d’Enriques,}

de

_Godeaux,

les surfaces de Barlow

_(ces

diverses surfaces satisfont

_{H2 (X, OX )}

= 0 et = 0

et aussi

_{Ao (X )}

=

0);

on trouve aussi les surfaces fibrées en

_coniques

au-dessus d’une courbe

_ayant

bonne réduction

_(dans

ce cas

H~ (X,

Ox) =

Comme viennent de le montrer Parimala et Suresh

_[3I~,

on ne

_peut

omettre cette dernière condition : ces auteurs ont en effet

ex-hibé un

_exemple

de surface X fibrée en

_coniques

au-dessus d’une courbe

(la

courbe

_ayant

mauvaise

_réduction)

telle que

l’application

Hom(Br(X), Q /Z)

ne soit _pas

injective.

Le cas des surfaces avec

H2 (X,

0 semble difficile à atteindre. De

fait,

en utilisant une

technique

développée

_par Bloch et Srinivas

[5~,

on se

convainc facilement que dans ce _cas, sur un _corps

_{p-adique, l’application}

naturelle

_{Albx (k)}

a un _noyau

_qui

n’est _pas de torsion.

On

_{dispose cependant}

de

_quelques

résultats de finitude pour le sous-groupe de

torsion,

dus à Raskind

[32,

Cor.

1.10],

Mildenhall

[29],

Shen

[Sh94].

THÉORÈME

2.4

_(Raskind).

Soit k un _corps

p-adique

de _corps résiduel F.

Soit une

surface

_{projective, lisse,}

_{géométriquement}

_intègre

avec bonne

réduction

_{Y /F. Si les}

_rangs des groupes de Néron-Severi

géométriques

de

X et de Y

_co2ncidertt,

alors la

_partie

_première

à _p du _sous-groupe de torsion

de est

_finie.

Raskind montre comment certaines variétés abéliennes et certaines

sur-faces K3 satisfont la condition

_{(assez restrictive)}

du théorème. Les deux résultats suivants

_portent

sur des surfaces

_qui

ne satisfont _pas les

_hypothèses

du théorème 2.4.

THÉORÈME

2.5

_{(Mildenhall).}

S’oit

_E/Q

une courbe

_elliptiques

_modulaire,

de bonne réduction en _p. Soient X = E _{x ~} E la

surfaces produits

de E avec

elle-même,

et = X _XQ

_Qp.

Alors la torsion

_première

_{à p} du _groupe

est un _groupe

_fini.

Ce théorème n’est _pas

_explicité

dans

_[29],

mais résulte facilement de la

Prop.

4.10,

loc. cit.

_Indiquons

comment. Soit

_x/Zp

un modèle

projectif

et lisse de X et soit

_Y/Fp

la réduction modulo p. Mildenhall établit que le noyau de

l’application

surjective

de restriction

_{CH~ (x) --~ CH2 (X )}

est fini. Ainsi la torsion

_1-primaire

de est finie si et seulement si celle de l’est. Mais

_{pour 1 premier}

_{à p,}

la torsion

_1-primaire

de

CH2(X)

est un

_{sous-quotient}

de

H2t(X,

Ql/Zl(2))

(cf.

[8],

démonstration

du théorème

_6.2),

et ce dernier _groupe est

_isomorphe

à

_H2t(Y,

Des

_conjectures

de Weil on déduit _que ce _groupe est

fini,

et l’on

peut

montrer

_qu’il

est nul _{pour presque} tout 1

_(cf.

_[14],

Thm. 2 p.

780).

0

THÉORÈME

2.6

_(Shen).

Soient k un _corps

p-adique

et

El

et

_E2

deux courbes

_elliptiques

sur k. Soit X =

El

_Xk

E2.

Sous des

hypothèses

suivantes :

(a)

El

a bonne réduction et

_{E2 a}

réduction

_{multiplicative,}

(b)

El

et

E2

ont réduction

_{multiplicative,}

et sont

_isogènes,

la torsion

première

à p

de

_{Ao(X )}

est

_finie.

Shen a aussi des résultats de finitude _pour certaines surfaces

produits

de

deux courbes modulaires.

Passons maintenant au cas des _corps de nombres. On

dispose

du

théo-rème suivant

_(Raskind

et l’auteur

_[10],

_Salberger

_{[39]) :}

THÉORÈME 2.7. Soient k un _corps de nombres et une

surfaces

pro-jective,

lisse,

géométriquement

intègre.

Si

_{H2 (X,}

_Ox)

=

0,

alors le

sous-gro2cpe de torsion

Ao(X)tors

de

Ao(X)

est

fini.

Si de

plus

la

flèche

alb :

Ao (X ) --~

est un

isomorphisme,

alors le _groupe

Ao (X )

est un groupe de

type

fini.

Ce théorème recouvre de nombreux résultats antérieurs. On renvoie à

[10]

et

_[8]

_pour une discussion et une évocation des résultats ultérieurs

(dont

celui de Saito

_[34]),

assurant la finitude de pour une

surface

_projective

lisse sur un _corps 1~ de

_type

fini sur

_Q,

sous

_{l’hypothèse}

que

.H(.X,0) =

0 et

H1(X, Ox) =

0,

et

que X

possède

un

_point

k-rationnel).

Lorsque

le _groupe

_Ox)

n’est pas

nul,

on ne

dispose

_pas de résultat

général. Cependant

certaines surfaces

_produits

d’une courbe

_elliptique

avec

elle-même ont été étudiées.

TÉORÈME

2.8

_{(Mildenhall).}

Soit

_E/Q

une courbe

elliptiques modulaire,

de

conducteur N. Soit X = E x _Q E la

_{surface produits}

de E avec elle-même.

Soit n un entier

_premier

à 6N. Alors le _{groupe de n-torsion} est

fini.

Ceci résulte facilement du Théorème 1.3 de

_[29],

par un

_argument

et lisse de X au-dessus de

_{Spec(Z[1/6N]).}

Soit 1 un nombre

_premier

ne

di-visant pas 6N.

D’après Mildenhall,

le noyau de la flèche

est un _groupe de torsion. Il en est donc de même du _noyau de la flèche

CH2 (X ),

puisque

ce _groupe est un

_quotient

du

précédent

(on

note = X

_XZ[l/6N]

_Z[1/61N]).

On en déduit _que la torsion

1-primaire

_CH2(Xlll)fll

de

_CH2(X1/l)

se

_surjecte

sur la torsion

l-primaire

de

_{CH2 (X ) .}

Mais le groupe est un _groupe de

type

cofini

_(somme

d’un _groupe fini et d’un nombre fini

_{d’exemplaires}

de

car

_quotient

du _groupe de

_type

cofini

(cf.

[8],

dém. du théorème

_9.2).

C’est donc un _groupe de torsion de

_type

cofini. Il en est donc de même du groupe ce

qui

implique

_que

pour tout entier m &#x3E;

_0,

la lm-torsion de

_{CH2 (X )}

= _est finie. L7

Depuis

mon

_exposé

à Bordeaux en

_Septembre

_1993,

des

_progrès

dans

cette direction ont été

_accomplis

_par A.

_Langer

et S. Saito

_(25~.

_Supposant

la courbe

_elliptique

modulaire

_E/Q

sans

multiplication complexe,

et le conducteur lV sans facteur

_carré,

ces _{auteurs montrent que pour p}

_premier

ne divisant _pas la torsion

p-primaire

de

Ao (X )

est finie. La difficulté

est de montrer _que

_l’exposant

de la torsion est fini. Un

_ingrédient

essentiel

est fourni _par certaines classes dans le _groupe

_H1ar(X,

_K2),

découvertes

par Bloch et Mildenhall

[29],

et utilisées _par Flach

_[20].

Passons maintenant à

l’aspect local-global.

La

_conjecture

1.5

_(a)

_et,

sous une forme un _peu

_{plus précise,}

la

_conjecture

1.5

_(c),

furent d’abord énoncées

pour les surfaces rationnelles

[12].

Etant donné un _corps

_k,

on

_appelle

k-surface rationnelle une k-surface

projective,

lisse,

géométriquement

intè-gre,

qui,

sur la clôture

_algébrique

de

_I~,

devient birationnelle à un

plan

affine. Pour une surface

rationnelle,

le _groupe

Ao(X)

est un _groupe de

torsion.

Pour toute surface rationnelle on

dispose

d’une

_{application cycle}

où S =

Sx

_est le k-tore dual du module

galoisien

libre de

type

fini donné

Pour J~ un _corps de

nombres,

surface rationnelle et S =

S‘X

le

k-tore associé comme

ci-dessus,

le _corps de classes donne naissance à une suite

_exacte,

définisssant

où le dernier terme

_peut

être

_{réinterprété}

comme

Hom(Br(X) /Br(k) , Q /Z) .

Le théorème suivant regroupe les résultats connus sur les surfaces

ra-tionnelles.

THÉORÈME

2.9. Soient k un _corps de nombres et une

k-surface

ra-tionnelle. Alors

(a)

Le _groupe

_{Ao (X )}

est

_fini.

(b)

Les _groupes sont

_finis

_pour toute

_place

v E

_S2,

et nuls _pour

presque toute

place

v.

(c)

Les

_{applications -D :}

_{Ao(X )}

--+

S)

_et --+

Hl

(kv,

S)

sont

_injectives.

(d)

Si X est un

fibré

en

_coniques

sur la droite

projective,

alors l’obstruc-tion de Brauer-Manin à l’existercce d’un

_zéro-cycle

de

_degré

1 sur

X est la seule: S’il existe une

famille

E

_ITvEO

_ZO(Xkv)

de

zéro-cycles

de

_degré

1 telle _que

_{21L11v(a(zv))}

= 0

pour tout

a E

_Br(X),

alors il existe un

zéro-cycle

z E

_Zo(X)

de

_degré

1 .

(e)

Si X est un

fibré

en

_coniques

sur la droite

_projective

Pl,

alors le

complexe

de _groupes

_finis

est exact.

(f)

Si X est urt

fibré

en

_coniques

sur la droite

_projective,

alors l’inclu-sion

induite

_{par ~}

est un

isomorphisme.

Le résultat

_(e)

dit _{que pour} une famille de

zéro-cycles

de

_degré

zéro,

l’obstruction

_produite

_par le _groupe de Brauer est la seule

obstruc-tion à l’existence d’un

_{zéro-cycle global}

z de

degré

zéro donnant naissance

Le

_{résultat (f)}

dit _que d’une donnée

_"motivique",

la donnée du module

galoisien

Pic(X),

on

_peut

déduire le _groupe Ker

~Ao(X) -~

et en

particulier

dans des circonstances

convenables, prédire

l’existence de

classes non nulles de

zéro-cycles,

qui

_partout

localement sont triviales.

.

Pour les surfaces rationnelles fibrées en

coniques,

les résultats

(a)

et

(b)

sont dus à Bloch

_[2],

le résultat

_(c)

est dans

_[12],

les résultats

_{(d), (e)}

et

(f)

sont dus à

_Salberger

_[38].

Pour les surfaces rationnelles

quelconques,

par

exemple

les surfaces

cubiques lisses,

les résultats

(a), (b)

et

(c)

sont

dans

_[7],

mais les énoncés

_(d),

_(e)

et

_{(f) (conjectures}

de Colliot-Thélène et

Sansuc

_[12])

ne sont pas encore établis.

Des extensions

_possibles

de l’énoncé 2.9

_(f)

à de vastes classes de variétés

ont été

_esquissées

_par S. Bloch

_([3],

_Conj.

_3.16),

mais on ne

_dispose

_pas à ce

_jour

d’autre évidence _que celle fournie _par l’énoncé ci-dessus

(voir

cependant

[29]

et

_[25]).

3. Variétés de dimension

_supérieure

En dimension

_supérieure,

on ne

_possède

_pour l’instant de résultats _que pour des variétés

qui

géométriquement

(i.e.

après

passage à une clôture

algébrique

du _corps de

_base)

sont dominées _par le

_produit

d’une courbe et

d’un _espace

_projectif.

Parmi ces

variétés,

on trouve celles

_qui

sont

_{géométriquement}

unira-tionnelles. Pour une telle variété

_X,

il existe un entier

positif n

&#x3E; 0 tel _que

pour tout surcorps

K/k,

le groupe

AO(XK)

soit annulé par n. Par ailleurs

le _groupe

_{Br(X) /Br(k)}

est fini.

Pour ces

_variétés,

on a envie de

préciser

les

conjectures

du

_paragraphe

1

de la manière suivante :

CONJECTURES 3.1. Soient k 2cn _corps de nombres et X une k-variété

pro-jective,

lisse et

_{géométriquement intègre, géométriquement}

unirationnelle. Alors :

(a)

le _groupe est un _groupe

fini.

(b)

Pour _{presque toute}

_place

v de

k,

le _groupe

AO(Xkl1)

est nul.

(c)

Pour

_{chaque place}

v de

k,

le _groupe

AO(Xkl1)

est

fini.

où les

_applications

_{Hom(Br(X)/Br(k),}

sont

in-duites par

l’accouplemerct

(e)

L’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un

_zéro-cycle

de

_degré

un est la seule.

Remarque

3. .1.

Même _pour de telles

_variétés,

et même _pour celles

_qui

sont

(géométrique-ment)

rationnelles,

il n’est pas raisonnable de

conjecturer

que

l’accouplement

est non

_dégénéré

à

_gauche

(à

la différence de ce

_qui

se _{passe pour} les surfaces

(Théorème

2.3)).

Pour le cas des

places

réelles,

il est facile de donner des

contre-exemples

en utilisant le résultat de

[9] :

on

_prend

_pour

XIR

une

intersection lisse de deux

_quadriques

dans

_PR,

telle _que

_X(R)

_possède

deux

_composantes

connexes réelles. Pour un _corps de base

p-adique

k,

Parimala et Suresh

_[31]

ont donné un

_exemple

de variété

X/k

de dimension

3,

fibrée en

quadriques

de dimension deux au-dessus

de

la droite

_projective

sur un _corps

_p-adique,

toutes les fibres étant

_{géométriquement intègres,}

et

telle _que

_0,

alors

_qu’on

vérifie facilement = 0.

Remarque

3.1.,~.

Soient l~ un _corps de nombres et X une

k-compactification

lisse d’un

k-groupe algébrique

linéaire connexe G. On

_peut

alors établir l’énoncé

(b)

(nullité

de pour presque toute

place

v) :

cela résulte de

[11]

(Corollaire

à la

_Prop.

_14,

_p.205).

Par _contre, même

_lorsque

G est un

_k-tore,

on ne sait pas établir la finitude des _groupes et ni la suite

exacte de la

_conjecture

_3.1(d).

On _{sait que} le _groupe

_quotient

du _groupe des

_points

rationnels _par la

_{R-équivalence,}

est fini

_{(Gille, [22]).}

Quand

G est un k-tore

_T,

on

dispose

( ~11~,

Prop.

19)

_pour le _sous-groupe

T(K)IR

C

_Ao(X)

_([11],

_Prop.

₁₃₎

d’une suite exacte comme souhaitée en

(d),

ainsi que d’un

_isomorphisme

où S

_désigne

le k-tore dual de

_Pic(X),

ce

_qui

_implique

_que le _groupe

S)

est un _sous-groupe du _groupe

_(ce

Les résultats de finitude obtenus _{pour le groupe} en dimension

supérieure

portent

sur des variétés X fibrées au-dessus d’une

courbe,

la fibre

générique

étant

_"presque"

rationnelle. Plus

_{précisément,}

soient k un _corps,

C/k

une courbe

projective,

lisse et

géométriquement intègre,

puis

X/k

une

k-variété

_projective,

lisse,

géométriquement intègre

et 7r : X - C un

k-morphisme

plat, surjectif,

à fibre

_générique

lisse

_{géométriquement intègre.}

On étudie le groupe

(qui,

lorsque

C est de _genre

_zéro,

coïncide avec

Ao(X)).

Soit K =

k(C)

le

corps des fonctions de

C,

et soit

Xq

la fibre

générique

de 7r. On définit le groupe des normes N =

NXfJ(K)

de la K-variété

_X1]

comme le _sous-groupe

N C K*

_engendré

_par les _sous-groupes

_NL~K(L*)

_pour

_L/K

extension finie telle _que

_{X~ (L) ~}

0.

On définit ensuite le sous-groupe C K* comme

le _sous-groupe de K* formé des éléments

_f

tels _que

_{divc ( f )}

On a alors la

_proposition

suivante

_([17]):

PROPOSITION 3.2. Soit : X -~ C comme ci-dessus.

Supposons

_{que pour}

tout

_point

_fermé

P E

_{C, de}

_fibre

associée

_Xplk(P),

on ait

Ao(Xp)

= 0.

Alors on

dispose

d’un

isomorphisme

,

Dans cet

_énoncé,

la flèche n’est _{autre que} celle

_qui

à une fonction

f

E

_Kdn’

de diviseur

_divc(f)

=

7r*(z),

associe la classe du

zéro-cycle

_z.

On notera _que le _groupe est annulé _par le

_degré

de toute extension avec

X’TJ(L) =F 0.

Il en est donc de même des _groupes

_KdnlN

et

Dans certains _cas, on

_peut

contrôler le

_quotient

Ainsi,

si

est une variété de Severi-Brauer

_{d’algèbre simple}

centrale associée

D/K,

alors N coïncide avec le _sous-groupe

Nrd(D*)

C I~* des normes réduites.

Si de

_plus

D est d’indice n sans facteur

carré,

et

premier

à la

caractéristique

de

_J~,

alors un théorème de Merkur’ev et Suslin

_[28]

donne un

_plongement

K* /N -

H-3 (K,

M02)@

l’application

associant à une fonction

f

E .~* le

cup-produit

de la classe de

_f

dans

_{K*/.K*n ^_J}

avec la classe

de D dans

_{H2(K, /-ln)}

_(groupe

_qui

s’identifie à la n-torsion du _groupe de Brauer de

_{K) .}

On

peut

alors étudier le _groupe

_{CHo (XI C)}

en étudiant

l’image

de _par la flèche

_{H3(K, itO2).}

Le

_premier

résultat de

_finitude,

obtenu _par une méthode essentiellement

THÉORÈME 3.3. Soit X une variété

projective

et lisse sur un _corps

k,

équipée

d’une ,

_fibration

7r : X - sur la droite

_projective,

la ,

fibre

généri-que étant une variété de Severi-Brauer d’indice

premier.

(a)

Si k est un _corps

p-adique,

le _groupe

Ao(X)

est

fini.

(b)

Si k est un _corps de

_nombres,

le _groupe

Ao(X)

est

_fini,

et _pour

presque toute

place

v de

k,

le _gro2cpe est nul.

E. Frossard vient d’étendre ce résultat au cas où la droite

_projective

est

remplacée

par une courbe

projective

lisse

G/k

de _genre

quelconque,

et où le _groupe

_{Ao {X )}

est

_remplacé

_par sa

généralisation

CHo {X/C) .

Le cas où l’indice est 2

_correspond

aux fibrations en

_coniques.

La

tech-nique

évoquée plus

haut

_permet

de traiter les variétés de dimension 3 fibrées au-dessus d’une

_courbe,

la fibre

_générique

étant une

_quadrique

de dimension 2

_(le

_point

est _que là encore on a un bon contrôle sur le _groupe lV =

N x 17

(K)

associé à une

quadrique

lisse de dimension

2).

Le résultat suivant

provient

de

_[17],

_complété

_par

_{[31] :}

THÉORÈME

3.4. Soit X une variété

_{projective, lisse, géométriquement}

con-nexe sur un _corps

_k,

équipée

d’une

fibration

1r : X -~ C sur urte courbe

projective,

lisse et

_{géométriquement}

connexe C.

S1.Lpposons

_que la

fibre

générique

est une

_quadrique

lisse de dimension 2. Alors

(a)

Si k est un _corps

p-adique,

le _groupe

C.Ho{X/C)

est

_fini.

(b)

Si k est un _corps de

nombres,

le _groupe

CHo (X/C)

est

fini,

et le groupe

CHO(Xkv/Ckv)

est nul pour presque toute

_place

v de k.

Pour toute

_quadrique

lisse

_Y/F

définie _par une forme

quadratique

_q, on a une

_{interprétation}

_simple

de

NY {.F) :

c’est le _sous-groupe de .~*

_engendré

par les

produits

d’un nombre

pair

de valeurs non nulles de _q sur F. Mais

lorsque

le _rang de _q est au moins

5,

on n’a _pas

d’interprétation simple

du

quotient

F* /1VY {F) .

Cependant,

par une réduction

ingénieuse

au cas des dimensions relatives un et deux

_(Thm.

2.2 et Thm 3.4

_ci-dessus),

dans le cas

_p-adique,

Parimala

et Suresh

_[31]

ont réussi à établir le :

THÉORÈME

3.5. Soit X 2cne variété

_projective,

_{lisse, géométriquement}

con-nexe sur un _corps

_p-adique

_k,

_équipée

d’une

_fibration

7r : X -~ C’ sur une

courbe C

_projective,

lisse et

_{géométriquement}

connexe.

Supposons

_que la

fibre

générique

de 7r est une

quadrique

lisse de dimension au moins 1. Alors le _groupe

_{CHo {X/C)}

est un _groupe

fini.

ci-dessus,

et pour une fibration en

quadriques

de dimension relative au moins

_3,

le _groupe

_peut

être non nul. Sous les mêmes

hy-pothèses

sur k et

_C,

on

_peut

en fait _poser la

question

suivante. Soit _q une forme

quadratique

non

_{dégénérée}

de _rang 5 sur le _corps

I~ ( ~’~ .

Le

sous-groupe du groupe

multiplicatif

k(C~*

engendré

par les

produits

d’un

nombre

_pair

de valeurs non nulles

de q

est-il tout

_{l~ { C ~ * ‘?}

Ce serait le cas si toute forme

_quadratique

sur en au moins 10 variables avait un zéro non

_trivial,

a fortiori si c’était le cas _pour les formes en 9 variables - c’est

là encore une

_question

_ouverte,

même pour C =

Pl.

Lorsque k

est un _corps de

nombres,

on ne sait établir

_l’analogue

du

théorème 3.4 _que sous une

hypothèse

restrictive,

à savoir _que la forme

quadratique

définissant la fibre

_générique

contient une forme voisine d’une

3-forme de Pfister

_{([17], [31]).}

La

_conjecture

1.5 ci-dessus fut formulée par Sansuc et moi-même

_[12]

en

1981,

pour les surfaces rationnelles. L’évidence dont nous

_disposions

alors

était

_numérique

_(voir

aussi

_[40]).

Elle fut ensuite établie

_([15])

_pour les surfaces de

_{Châtelet, qui}

sont les surfaces fibrées en

_coniques

non triviales

les

_plus

_simples.

Puis

_Salberger

_[38]

l’établit _{pour toutes} les surfaces fibrées

en

_coniques.

Dans le récent article

[18], Syvinnerton-Dyer

et moi-même reprenons la

technique

de

Salberger

et l’étendons à un cadre

_{plus large.}

Soit F un _corps,

Fi /F

(i

=

1, ... ,

n)

des extensions finies

séparables

de

F, puis

Zil F

des F-variétés de Severi-Brauer. La variété

sera

_appelée

variété de Severi-Brauer

_{généralisée}

_(la

notation

_{RFi/ F}

_désigne

la restriction à la

_{Weil~ .}

Des

_exemples

de telles variétés sont bien sûr fournis

par les variétés de Severi-Brauer

usuelles,

mais aussi par les

quadriques

lisses de dimension deux.

THÉORÈME

3.6

_([18]).

Soient k un _corps de nombres et 7r : : X -

P’

une k-variété

_{projective, lisse,}

_{géométriquement}

_intègre,

_fibrée

_au-dessus

de la droite

_projective.

_Supposons

que la

fibre générique

sur le _corps

K .- _est

_{K -isomorphe}

à _une variété de Severi-Brauer

généralisée.

Alors

(a)

L’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un

_zéro-cycle

sur X

(b)

Si X

_possède

un

_zéro-cycle

de

degré

_1,

les

applications

naturelles

induisent une suite exacte

Outre la

_{technique originale}

de

_Salberger

_[38],

nous utilisons une variante

dans le cadre des

_zéro-cycles

de l’énoncé

_suivant,

_dégagé

dans la thèse de D. Harari

_{[23] :}

THÉORÈME

3.7. Soient k un _corps de nombres et

_X/k

une variété

projec-tive, lisse,

géométriquement intègre.

Soit U C X un ouvert de Zariski non

vide de

_X,

soit A E

_Br(U)

un éléments du _groupe de Brauer

(cohomologique)

de U. Si A ne

_provient

_pas de

Br(X),

alors il existe une

infinité

de

places

v de k telles _que

_l’image

de

l’application

U(kv) -~

Br(kv),

_qui

à M E

_U(kv)

associe

_A(M),

contienne un élément non nul.

(Ce

théorème

_prend

le

_contrepied

de l’énoncé

_classique

disant _{que si} A

appartient

à

_Br(X),

alors _pour toute

_{place v}

de k sauf un nombre

_fini,

_pour

tout M E

_X(kv),

on a

A(M)

=

0.)

’

Au cours des Journées

_{Arithmétiques,}

P.

_Salberger

m’a informé

_qu’il

venait d’obtenir un résultat voisin du théorème 3.6. Sa

_technique

est assez

différente,

il utilise les torseurs universels de

_[13].

Il serait intéressant d’étendre le théorème 3.6 au cas des fibrations 7r : X -

pl

dont la fibre

_générique

est

_{(birationnelle)}

à un _espace

ho-mogène

d’un _groupe

_algébrique

linéaire connexe.

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373

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