Révisions - Extremums.

Révisions - Extremums.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) =

(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x}

et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) =

2ye^{−x2−y2−2x}.

On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}.

On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) =

3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−e

doncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)

est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

Détermine les extremums de la fonctionf dénie surR² par f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

∂f

∂x(x, y) = (2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} et ∂f

∂y(x, y) = 2ye^{−x2−y2−2x}. On résout le système











∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0

(2x+ 2 = 0 2y= 0

(x=−1 y= 0

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) =

2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) =

2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) =

−2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x}

La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x}

La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

f(x, y) = 3−e^{−x2−y2−2x}

f(−1,0) = 3−edoncA(−1,0,3−e)est le point critique def.

∂²f

∂x²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ (2x+ 2)(−2x−2)e^{−x2−y2−2x}

=

2−(2x+ 2)²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y²(x, y) = 2e^{−x2−y2−2x}+ 2y(−2y)e^{−x2−y2−2x}

=

2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

∂²f

∂y∂x(x, y) = −2y(2x+ 2)e^{−x2−y2−2x} La hessienne def est

∇²(f)(x, y) =

2−(2x+ 2)² −2y(2x+ 2)

−2y(2x+ 2) 2−4y²

e^{−x2−y2−2x}

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

La hessienne def est

∇²(f)(−1,0) =

2 0

0 2

e⁰=

2e 0

0 2e

La hessienne def est diagonale donc ses valeurs propres sont2eet2e. Elle sont positives doncA(−1,0,3−e)est un minimum local.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

La hessienne def est

∇²(f)(−1,0) =

2 0

0 2

e⁰=

2e 0

0 2e

La hessienne def est diagonale donc ses valeurs propres sont2eet2e. Elle sont positives doncA(−1,0,3−e)est un minimum local.

M. Drouot IUT GCCD - Dérivées partielles.

La hessienne def est

∇²(f)(−1,0) =

2 0

0 2

e⁰=

2e 0

0 2e

La hessienne def est diagonale donc ses valeurs propres sont2eet2e. Elle sont positives doncA(−1,0,3−e)est un minimum local.

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