MathComp - Algèbre Arithmétique sur K [X ]
Pierre-Alain Fouque
Université de Rennes 1
Septembre 2020
Agenda
1 Degré
2 Idéaux deK[X]- pgcd - ppcm
3 Polynômes irréductibles
4 Théorème fondamental de l’arithmétique deK[X]
5 Racines d’un polynôme
Degré
Definition (Application degré)
SoitF = (ai)i≥0 un polynôme à coefficients dansK
1 deg :K[X]→N∪ {−∞}
2 Si F =0 i.e. si tous lesai sont nuls, on pose deg(F) =−∞.
3 Si F 6=0,deg(F) est le plus grand entiern≥0 tqan6=0 On dit quedeg(F) est le degré deF
Lemme
SoientP etQ deux éléments deK[X]
1 deg(P+Q)≤max(deg(P),deg(Q)); égalité si deg(P)6= deg(Q)
2 deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)
3 L’anneau K[X]est intègre et le groupe de ses éléments inversibles est K (éléments non nuls deK)
Division euclidienne dans K [X ]
Theorem
SoientA etB deux polynômes deK[X]tq B 6=0. Il existe un unique couple(Q,R)∈(K[X])2 tq A=BQ+R,degR<degB Q,R est le quotient, reste de la division euclidienne de Apar B
Lemme
U et V polynômes deK[X]tq V 6=0 etdeg(U)≥deg(V) Alors, il existeQ ∈K[X]tq deg(U−VQ)<deg(U)
Definition (A etB deux polynômes)
B divise A,A est multiple deB, s’il existeQ ∈K[X]tq A=BQ. SiB 6=0, le reste de la division euclidienne de Apar B est nul
Lemme (A etB deux polynômes non nuls)
SiAdivise B et que B diviseA, il existeλ∈K non nul tqA=λB On dit alors queAetB sont associés.
Idéaux de K [X ]
Definition
P est un polynôme deK[X]. L’ensemble(P) =
PR|R∈K[X] est un idéal deK[X]. C’est l’idéal deK[X]engendré par P
Theorem
I un idéal non nul de K[X]. Il existe un unique polynôme unitaire P ∈K[X] tqI = (P)
Theorem
Deux polynômesAet B deK[X]non tous les deux nuls, et I =
AU+BV|U,V ∈K[X] . Il existe un unique polynôme unitaireD∈K[X]tq I = (D), appelé le pgcd de AetB. Il existeU et V dansK[X]tq D =AU+BV
pgcd
Theorem
F un polynôme unitaire de K[X].F est le pgcd deA etB ssi les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1 le polynôme F diviseA etB.
2 Tout diviseur de Aet B dansK[X]diviseF.
Definition
AetB premiers entre eux, ou que Aest premier avecB, siD =1
Corollary
AetB premiers entre eux ssi ∃(U,V)∈(K[X])2 tq AU+BV =1
Theorem (Gauss)
SoientF,G et H des polynômes de K[X]tq F diviseGH et F premier avecG. Alors,F diviseH
ppcm
Definition
Deux polynômes non nulsAetB deK[X]. L’ensemble(A)∩(B) est un idéal deK[X]. Il existe donc un unique polynôme unitaire M ∈K[X]tq (A)∩(B) = (M),M est le plus petit commun multiple deAet B, ppcm de Aet B
Theorem
F un polynôme unitaire de K[X]. Alors,F est le ppcm de Aet B ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1 le polynôme F est un multiple deA etB
2 Tout multiple deA etB dansK[X]est un multiple de F Proposition
SoitD le pgcd deA etB. On a(AB) = (DM).
Polynômes irréductibles
Definition
Un polynôme deK[X]est dit irréductible (dansK[X]) si son degré est supérieur ou égal à 1 et si l’ensemble de ses diviseurs est formé des éléments non nuls deK et des polynômes qui lui sont associés.
Definition
Un polynômeP ∈K[X]de degré ≥1 est irréductible s’il ne possède pas de diviseurQ ∈K[X]tq 1≤deg(Q)≤deg(P)−1.
C’est le cas des polynômes de degré 1. Ce sont les seuls siK est le corpsCdes nombres complexes. Deux polynômes irréductibles de K[X]sont premiers entre eux ou sont associés. Un polynôme qui n’est pas irréductible est dit réductible.
Théorème fondamental de l’arithmétique de K [X ]
Theorem
SoitPl’ensemble des polynômes irréductibles unitaires deK[X].P polynôme non nul deK[X]s’écrit de manière unique sous la forme P =λQ
F∈PFnF,où λ∈K, et où lesnF sont des entiers naturels nuls sauf un nombre fini d’entre eux
Lemme
SoitAun polynôme irréductible divisant un produit de polynômes A1· · ·Ar dansK[X]. Alors,Adivise l’un desAi.
Corollary SoientP =λQ
F∈PFnF et Q =µQ
F∈PFmF,D et M, le pgcd et le ppcm deP etQ.
D=λY
F∈P
FMin(nF,mF) et M =µY
F∈P
FMax(nF,mF)
Racines d’un polynôme
Definition
SoitP =a0+. . .+anXn un polynôme deK[X]. On appelle fonction polynôme associée àP l’applicationP˜:K →K définie par
P˜(x) =
n
X
i=0
aixi quel que soitx ∈K
Definition
P ∈K[X] eta un élément deK.aest une racine de P si P(a) =0
Lemme
SoientP ∈K[X]etaun élément deK.P(a) =0ssiX−adiviseP
Racine Multiple
Definition (Ordre de multiplicité d’une racine)
SoientP un polynôme non nul deK[X] eta∈K une racine de P.
L’ordre de multiplicité dea(dansP) est le plus grand entier naturel r tq P soit divisible par (X −a)r.
Sir =1,a est racine simple deP, et sir ≥2,a est une racine multiple deP.
Definition
(Polynôme dérivé).SoitP =a0+a1X+· · ·+anXn un polynôme deK[X]. Le polynôme dérivé de P, notéP0=Pn
i=1iaiXi−1
Proposition
SoitP un polynôme deK[X]. Pour qu’un élément a∈K soit racine simple deP, il faut et il suffit queP(a) =0 etP0(a)6=0
Racine Multiple (suite)
Theorem
SoientP un polynôme deK[X]et a1, . . . ,ak des éléments de K, distincts deux à deux, qui sont racines deP d’ordre de multiplicité n1, . . . ,nk respectivement. Il existe un polynômeQ ∈K[X], tq
P =Q
k
Y
i=1
(X−ai)ni,
et queQ(ai) soit non nul pour touti =1, . . . ,k.
Corollary
SoitP un polynôme non nul de degré n dansK[X]. Alors,P possède au plusn racines distinctes dansK.
