Étude de la distribution des déformations observables sur les topographies par rayons X de cristaux presque parfaits

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Étude de la distribution des déformations observables sur les topographies par rayons X de cristaux presque

parfaits

A. Authier

To cite this version:

A. Authier. Étude de la distribution des déformations observables sur les topographies par rayons X de

cristaux presque parfaits. Journal de Physique, 1966, 27 (1-2), pp.57-60. �10.1051/jphys:01966002701-

205700�. �jpa-00206367�

ÉTUDE

DE LA DISTRIBUTION DES

DÉFORMATIONS

OBSERVABLES SUR LES TOPOGRAPHIES PAR RAYONS X DE CRISTAUX

PRESQUE

^PARFAITS

Par A.

AUTHIER,

Laboratoire de

Minéralogie-Cristallographie,

Faculté des

Sciences,

^Paris.

Résumé. ²⁰¹⁴ On

exprime

^{la variation du réseau}

réciproque après

^une déformation en

préci-

sant les conditions de validité de cette

expression.

^{On en déduit la variation} de l’écart à l’inci- dence de

Bragg

^{en fonction du vecteur}

déplacement

^{des atomes. Elle}

représente

la désorien- tation efficace _{pour la} famille de

plans

réflecteurs considérée. La distribution des

égales

^déso-

rientations

permet d’interpréter

^les

images

des défauts sur les

topographies

^aux rayons X.

Abstract. ²⁰¹⁴ The

validity

conditions of the derivation of the

expression

^{for the variation}

of the

reciprocal lattice

^{vector after a} déformation are discussed. The variation of the

depar-

ture from

Bragg’s

^{law as a} function of the

displacement

^{of the atoms} is derived. It is taken

as a value of the effective lattice misorientation for the

reflecting planes

considered. The distribution of

equal

misorientations enables one to

interpret

^the

images

of defects on

X-ray topographs.

PHYSIQUE 27, 1966,

1. Introduction.

^-

L’étude

des

imperfections

cristallines par les méthodes de

topographies

^aux

rayons X est

maintenant

très

répandue.

^{Ces mé-}

thodes

s’appliquent

^en

général

^{à des}

^cristaux

presque

parfaits

^{contenant une faible} densité de défauts.

Ceux-ci sont visibles sur les

photographies

par suite d’une variation de contraste entre les

régions

per- turbées et les

régions

^{de cristal}

parfait.

On

sait _que

l’influence

des défauts se fait sentir de deux manières

principales :

1)

^{De très}

légères déformations induisent

_{des per-}

turbations

dans le

trajet

^des

champs

^d’ondes

qui

sont à

l’origine

^des

images dynamiques

^{dans les}

méthodes _par transmission

[1], [2]

^{ou des variations}

dans l’intensité réfléchie à la surface d’un cristal dans le

montage

^{en double}

spectrographe

^{par ré-}

flexion [3].

2)

^Les

régions-très

^{déformées se trouvent sous}

l’incidence

de

Bragg

pour les rayons du

faisceau

direct

qui

^{sont loin de}

l’incidence

de

Bragg

pour le

cristal parfait

^{et donnent}

^naissance

^{à un faisceau}

réfléchi à

l’origine

^des

images

^{directes des défauts}

[4].

Dans l’un et l’autre _cas, il

n’y

^{aura formation}

d’une

image

que si la déformation est « suffisam-

ment »

grande.

^{Pour mener cette}

discussion,

^{il faut}

introduire

un

paramètre qui

caractérise la défor- mation du

point

^{de vue de la} diffraction des rayons X pour ^une famille de

plans

réflecteurs donnée. Celui

qui

^nous

paraît

^le

plus

^{commode est}

la Pariation de l’écart à l’incidence de

Bragg

^de

l’onde

incidente.

Ce

paramètre,

que ^nous définirons dans le para-

graphe suivant, apparaît également

^{dans les exten-}

sions de la théorie

dynamique

^{au cas des cristaux}

légérement

^déformés

[5], [6], [7].

^Il

permet

^de

prévoir quels ^défauts

^donneront

naissance à

une

image

^{et de} discuter la

largeur

^{de cette}

image [8].

Nous nous proposons de relier ^de manière

simple

^ce

paramètre

^{à la}

déformation

du

cristal.

II. Variation de

l’écart

à l’incidence de

Bragg. - Considérons

une onde de vecteur unitaire 90 inci- dente sur un cristal

supposé parf ait :

^{elle a un}

certain

écart ~8 _par

rapport

^à

l’incidence

de

Bragg.

Certaines

régions

du cristal sont

perturbées.

^Lia

même onde

incidente possède

par

rapport

^aux

plans

réticulaires de la

région perturbée

^{un écart à l’inci-}

dence de

Bragg

.~8’ différent de /B6 _par suite de la rotation des

plans

^{et de la variation de}

l’angle

^de

Bragg consécutive

^{à une} variation de

paramètre.

^La

variation

8(~e)

de l’écart à l’incidence de

Bragg

s’écrit :

où

sont les

angles

d’incidence de l’onde

so

^{avant et}

après déformation,

^{n et}

^n’

^{sont les vecteurs unitaires}

des normales aux

plans réflecteurs, 9*

^et

0’

^les

angles

^de

Bragg.

L’expression (1) s’exprime

^en fonction de

l’angle

de rotation

des!plans

réflecteurs ^{oc =}

(n, I1’)

^{et de}

la variation de

paramètre

^{à l’aide de la relation}

où p

^est

l’angle entre

la normale au

plan

d’incidence

et

l’axe

de rotation des

plans réticulaires.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002701-205700

58

Il est

particuliéreiiient

^comnmde

d exprimer

^la

variation de l’écart à l’incidence de

Bragg

^{en fonc-}

tion du vecteur

déplacement

^u des noeuds du réseau lors de la déformation. On

peut

^{faire le calcul dans}

l’espace direct,

^{mais nous} exposerons dans les para-

graphes

^suivants la manière de faire le calcul dans

l’espace réciproque.

I I I. Modification du réseau

réciproque lorsque

^le

cristal est

perturbé.2013

^Si l’édifice cristallin ^est déformé dans une certaine

région,

^{on ne}

peut plus parler

^{de réseau} cristallin

triplement période

^{et il}

n’est

plus possible

^{de définir ni de} déterminer le réseau

réciproque.

^{Il est} toutefois commode pour les calculs de conserver la notion

d’espace réciproque

^et

de

pouvoir

^{utiliser un vecteur}

jouant

^{le rôle du}

vecteur du réseau

réciproque

^{h associé à une famille}

de

plans

réticulaires

(h, k, l~.

Si la déformation n’est pas

trop grande,

^on

peut

considérer un

petit

^volume

AV autour du

point

^{P où l’on veut}

^étudier

^{la défor-}

mation,

^et satisfaisant aux conditions

suivantes:

il est

suffisamment

grand

pour

qu’on puisse

le considérer

comme un

petit

cristallite

ayant

^une

orientation

et

des

paramètres ^bien

déterminés et suffisamment

petit

pour que ^cette orientation et ces

paramètres

soient constants au sein de ce volume. On

peut

^alors

imaginer

^{un cristal}

^infini

dont l’orientation et les

paramètres

^{seraient les mêmes} que ^ceux du cris- tallite. C’est un cristal

parfait

^«

asymptote

^{» au} cristal déformé. On

peut

déterminer son réseau

réciproque

^{et le vecteur du réseau}

réciproque ^h’

correspondant

^{à la famille de}

plans

réticulaires étudiée. Nous nous proposons d’évaluer la variation

du vecteur du réseau

réciproque.

L’équation

^d’un

plan

^{du réseau direct de rang J~’}

dans

l’empilement

^de la famille

(h, ^k, l)

^{est :}

L’origine

^{du vecteur de}

position :

est

l’origine

^{0 du}

système

de coordonnées

auquel

^est

rapporté

^{le cristal avant} déformation et

auquel

nous

rapporterons

le cristal

après

déformation.

Le

gradient

de la fonction

f

^est

égal

^{au vecteur}

du réseau

réciproque :

L’équation (5) peut

^être considérée comme une

définition du vecteur du réseau

réciproque

^associé

à la famille de

plans ~h, k, l).

Après déformation,

l’extrémité P du vecteur r s’est

déplacée

^{d’un vecteur}

u(r)

^{et vient en P’ défini}

par ^{un vecteur} r’ .

Cette

équation peut

^s’écrire

aussi,

^{avec une} appro- ximaüon _que nous discuterons à la fin de ce para-

graphe :

Les

équations (4)

^et

(7) permettent

^d’obtenir

l’équation

de la surface décrite

après déformation,

par les

points appartenant

^avant déformation au

plan

^{non déformé}

(h, ^k, 1)

^de

rang X :

L’approximation

que ^{nous avons} faite sur le volume AV revient à supposer le cristallite entou- rant le

point

^{P comme constitué} par

l’empilement

des

plans tangents

^{aux surfaces :}

Le vecteur du réseau

réciproque après

^défor-

mation,

^{défini avec les}

conventions indiquées plus haut,

^est alors donné

d’après l’équation (5)

par :

On en déduit:

Ce résultat a

également

^été obtenu par P.

Penning

et D. Polder

[9]

^et par N. Kato

[10].

L’approximation

^{faite en écrivant}

l’équation (7)

revient à écrire :

c’est-à-dire,

^{en faisant un}

développement limité,

^à

négli ger

^devant U, ^{étant un tenseur} du

deuxième

ordre de

composantes

Cette condition est

toujours rigoureusement

^satis-

faite dans le cas d’une

dislocation-vis,

Dans le ^cas d’une

dislocation-coin,

^{si nous} prenons pour sim-

plifier -

’

l’approximation

^{revient à}

négliger

par

rapport

^{à 1}

b est le module du vecteur de

Burgers.

Dans le ^cas du fluorure de

lithium,

^ces

expressions

valent 10-4 à une distance du coeur de la dislocation

égale

^à

0,5

^{micron environ.}

IV

Expression

^de la variation de l’écart à l’inci- dence de

Bragg

^en fonction de la déformation. ^-- L’écart à

l’incidence

^de

Bragg

^est

l’angle

que fait

dans

l’espace

^{situé avant} le cristal le vecteur d’onde OM de l’onde incidente sur le cristal avec le vecteur d’onde

OLa

^{de l’onde}

qui remplirait

exactement les conditions de

Bragg. Supposons

que le cristal soit ensuite

remplacé

^{par un cristal}

asymptote ayant

mêmes orientation et

paramètres

que le cristallite entourant le

point

^{P. Le vecteur d’onde OM de}

l’onde incidente _{n’a pas}

bougé,

^{mais le vecteur}

d’onde

OL’

^{de l’onde}

qui remplirait

exactement les

conditions de Bragg

^est

légèrement

^{différent de}

^OLa 1). L~

^est

^situé

^{comme M et}

L~

^{sur le cercle}

de centre 0 et de rayon k ^{-= =}

1 JÀ.

Si la déformatiou

est très

faible, l’angle (OL’a, OLaJ

^est

petit

^{et l’on}

peut

^confondre

l’arclMlJa ^L’a

^{avec la}

^tangente

^{T au}

cercle.

Fie. 1. ^-

0,

H : noeuds du réseau

réciproque

^{du cristal}

parfait ;

^{H~ :}

projection

^{sur le}

plan

d’incidence du noeud hkl du réseau

réciproque

asymptote ^{au cristal} déformé.

Soient H le noeud

h,

^{du réseau}

réciproque,

G le milieu de

OH,

S, So ^et 5h les ^vecteurs unitaires dans la direction

GLa

^et dans les directions incidente

et réfléchie

respectivement,

^{G’ et H’ les}

projections

sur le

plan

d’incidence des

positions occupées après

déformation par G ^et H :

Il suffit en effet de considérer la

projection

^Sh’

de 8h sur le

plan d’incidence,

^ce

qui

^{revient à}

négli-

ger le ^{terme en}

a2/2

^dans

l’expression (2) :

^{les rota-}

tions autour d’un axe

parallèle

^au

plan

d’incidence

sont

négligeables.

^{Ceci est lié au fait} que la surface de

dispersion

^est

pratiquement

^un

cylindre hyper- bolique

^de

génératrices perpendiculaires

^au

plan

d’incidence.

~ Le point L~

^est l’intersection de la médiatrice de OH’ avec la droite T. Le nouvel écart à l’inüi- dence de

Bragg

^{et la variation de cet écart sont}

respectivement -

Soit

Lâ

l’intersection avec la droite T de la

paral-

lèle à la médiatrice de OH menée de

G’.

Il vient

sur la

figure :

avec :

terme

correspondant

^à la rotation et

terme

correspondant

^{à la variation de}

paramètre.

Il

vient,

^à

partir

^des

équations (12), (13), (14) :

En

remplaçant

^ah par ^son

expression (10),

^nous

obtenons :

représente

la dérivation dans la direction réfléchie.

Ce résultat montre que la déformation est invisible pour le

phénomène

^de diffraction des rayons X sur la f amille de

plans (h, k, l)

^{si la dérivée dans la direc-}

tion réfléchie de la

composante

de la déf ormation

sur le vecteur h du réseau

réciproque

^{avant défor-}

mation est nulle. C’est le cas en

particulier

^{si le}

vecteur U est

perpendiculaire

^{au vecteur du réseau}

réseau

réciproque.

^{On retrouve ainsi les}

règles

^habi-

tuelles de visibilité d’une

ligne

^de dislocation.

L’équation (15)

^montre que la variation de l’écart à l’incidence de

Bragg

^{est nulle si la variation ~h du}

vecteur du réseau

réciproque

^est

perpendiculaire

^{à la}

direction réfléchie. Ce résultat

peut

^s’obtenir

géomé- triquement

^{sur la}

figure

^{1 :}

S(A6)

^{est nul si}

L~

^est

confondu ^avec

La,

c’est-à-dire si

l’angle (G’Q, G’L~,~

60

est

droit :

le

lieu géométrique correspondant

^{de G’}

est le cercle de diamètre

OLa.

^{Dans le}

voisinage

^{de G}

on

peut

le confondre avec sa tangente ^{en G}

qui

^est

perpendiculaire

^{à la} direction réfléchie.

V.

Applications.

^--

L’expression (1 S) permet

^de calculer la variation de l’écart à l’incidence de

Bragg

à

partir

^{du vecteur}

déplacement

^{des n0153uds du}

réseau et d’établir autour d’un défaut la carte des désorientations décelables aux rayons X par diffrac- tion sur la famille de

plans (h, ^k, l).

Dans certains _cas, il est relativement facile d’en tirer une

interprétation simple

^des

images

^des

défauts observés sur les

topographies :

-

images

^des

régions

faiblement déformées dans le

montage"en"double spectrographe [31 ;

-

images

^directes par

réflexion (méthode

^de

Berg-Barrett)

^ou pair transmission

(méthode

^de

Lang).

Rappelons

par

exemple

^le

principe

^{de la formation}

des

images

dans la méthode _par

transmission.

La

FIG. 2. ^-

Principe

de la formation des

images

^directes

dans les

topographies

par transmission.

1: faisceau

incident ; Ro :

^faisceau

réfracté ; Rh :

faisceau

réfléchi ;

^{AO : trace du}

plan réflecteur ;

d :

défaut ; r :

rayon réfléchi _par

le défaut ;

^{i :}

image

du défaut sur la

plaque photographique

^P.

figure

^{2 montre le}

trajet

des rayons : le

faisceau

incident I

engendre

^{dans le cristal un éventail de}

champs

d’ondes ABC

auxquels correspondent,

^{à la}

sortie du

cristal,

^les faisceaux réfléchi

R~

^{et ré-}

fracté

Ro.

^La

portion

du faisceau incident

trop éloignée

^des conditions de

Bragg ^subit l’absorption photoélectrique

normale. Elle est

constituée

de rayons dont l’écart à l’incidence de

Bragg

^{sur le}

cristal non déformé est

égal

^{à une fois au}

^moins

^la

largeur

^du

profil

^{de réflexion} pour le cristal

parfait ;

ce sont des _rayons tels _que AM _pour

lequel 0,9

^et

0,05 ~AO :

^{trace du}

plan

réflecteur

passant

par

A, Do

^et

^Dh

^{sont les}

amplitudes

^{des ondes}

^incidente

^et réfléchie consti- tuant le

champ

^{d’ondes se}

propageant

^le

long

^de

AM).

Ces rayons ^{se trouvent sous}

l’incidence

de

Bragg

pour les

régions

^{entourant le défaut d et telles} que leur désorientation

efficace

^soit

^égale

^{à au moins une}

ou deux fois la

largeur

^du

profil

^de

réflexion ;

^ils

donnent

naissance

à un

pinceau

^{réfléchi r et à une}

image

^{i sur la}

plaque photographique

P. Les dimen- sions de

l’image ^directe

^{sont donc}

approximati-

vement

déterminées

_par celle des

régions

^{du cristal}

pour

lesquelles

^la

désorientation

efficace

(16)

^{est au}

moins égale

^{à une ou deux fois la}

largeur

^du

profil

de

réflexion.

Nous avons

ainsi interprété

^les

images

^de

figures

de choc à la surface de cristaux de fluorure de

lithium [111

^{et le contraste} double des

images

^de

dislocations

dans

certains cristaux [12].

Dans le cas des

images

^des

régions

très déformées

observées

avec le

montage

^à

double spectrographe [13]

^{et des}

images dynamiques

^{dans les}

montages

par transmission

[2], [7], [14], l’interprétation

^du

contraste des

images

^ne

peut

pas ^se faire de

manière

aussi directe car il est dû

principalement

^{à la modi-}

fication du

trajet

^des

champs d’ondes,~_consécutive

à la déformation.

-

Manuscrit reçu le 25 novembre 1965.

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