Un modèle de champ cristallin pour le gallate de dysprosium

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Submitted on 1 Jan 1966

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Un modèle de champ cristallin pour le gallate de dysprosium

Y. Ayant, P. Mollard, J. Rosset

To cite this version:

Y. Ayant, P. Mollard, J. Rosset. Un modèle de champ cristallin pour le gallate de dysprosium. Journal

de Physique, 1966, 27 (9-10), pp.536-542. �10.1051/jphys:01966002709-10053600�. �jpa-00206441�

536.

UN

MODÈLE

DE CHAMP CRISTALLIN POUR LE GALLATE DE DYSPROSIUM Par Y.

AYANT,

^{P. MOLLARD et J.}

ROSSET,

Laboratoire

d’Électrostatique

^et

Physique

^du

Métal,

^Grenoble.

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous avons évalué, ^à

partir

d’une nouvelle série de mesures de la

susceptibilité paramagnétique

^du

gallate

^de

dysprosium

^{à structure} grenat, ^les

paramètres

de l’Hamil- tonien :

He =

03B1[A02

^r2

> O2 + A22

^r2 >

O22] + 03B2A04

^r4 >

[O04

^-

5/~2 O44]

+ 03B3A06

r6 >

[O06 + 1/~2 O46].

Nous avons trouvé :

A02

^r2 > ⁼ 147

cm-1 ; |A22

^r2

>|

^{= 250}

^{cm-1 ;}

A04

r4 > = - 207

cm-1 ; A06

^r6 > ⁼ 58 cm-1.

Abstract. ²⁰¹⁴ We have estimated, ^{from a new} series of measurements of the

paramagnetic susceptibility

^of garnet-structure

dysprosium gallate,

^the parameters ^{of the} Hamiltonian

Kc =

03B1[A02

^r2

> O02 + A22

^r2 >

O22] + 03B2A04

^r4 >

[O04 ^{- 5/~2 O44]}

+ 03B3A106

r6 >

[O06 + 21/~2 O46].

We have found :

A02

^r2 > ⁼ 147

cm-1 ; |A22

r2 >

|

^{= 250}

^{cm-1 ;}

A04

^r4 > = - 207

cm-1 ; A06

^r6 > ⁼ 58 cm-1.

PHYSIQUE 27, 1966,

Introduction. ^- Des

publications

^récentes

~1~, [2], [3]

^ont montré que l’Hamiltonien de

couplage

cristallin d’un ion Er+ + + dans le

gallate

^d’erbium

à structure grenat

pouvait

^être

représenté

^{de ma-}

nière satisfaisante _{par :}

ce Hamiltonien rendant compte aussi bien des

spectres d’absorption optique

^{que des courbes de}

susceptibilité

^et d’aimantation.

Il était donc intéressant de voir si ^un Hamiltonien

cristallin de ce type

pouvait

^{encore être}

envisagé

pour le

gallate

^de

dysprosium.

Hamiltonien cristallin

proposé.

^{- En}

fait,

^nous

avons

employé

l’Hamiltonien :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002709-10053600

537

qui

^ne diffère de

(1)

^{que par}

l’adjonction

^{des termes}

du deuxième ordre en

0g

^et

022.

^Cet Hamiltonien

correspond

^{à un choix d’axes}

Ox, Oy,

^{Oz tels} que Ox coïncide avec l’axe

cristallographique OZ, Oy

^{et Oz}

étant

portés,

^comme

l’indique

^la

figure

^{1 par les}

bissectrices de

(OX, OY).

FIG. 1

Notons _que l’environnement étant

grossièrement cubique (les

^huit

premiers

voisins d’un ion

Dy+ + +

étant

approximativement

^{situés aux sommets d’un}

cube,

^l’ion

Dy+ + +

occupant ^{le centre de ce}

cube);

il faut

prendre,

conformément à la table

(1)

^de

l’article de

Lea,

^{Leask et Wolf}

[4],

^{W et x}

positifs.

La valeur de x étant déterminée _par

l’équation :

nous pouvons obtenir une estimation

grossière

^de

la valeur de ce

paramètre

^{dans notre}

problème

^si

l’on admet _{que le} rapport

r4

>

jAe

^>

varie _peu

lorsque

^l’on passe du

gallate

^d’erbium

(où A4

^r4 >

jAg

^r6 > ^_’ -

7,2,

valeur déduite de la référence

[1])

^au

gallate

^de

dysprosium.

^Dans

cette

hypothèse,

^{on trouve x ^_r}

0,6.

Passons maintenant à la détermination des coef- ficients _{x, a,} b et W intervenant dans

(2).

Pour T

5 °K,

la courbe

expérimentale xT

⁼

/(F)

^{relative à JV ions}

Dy+ + + (fig. 2)

peut

être

représentée

par

l’équation :

Par

ailleurs,

^une

expression théorique

^du

(yT),

peut ^{être déduite de} la formule de Van

Vleck :

où

lA

> et

lA’

> sont les deux vecteurs propres normés associés à la valeur _propre la

plus

^basse

FIG. 2.

lA’

> ⁼

conjugué de A

> dans le renversement du temps.

En posant :

et compte ^{tenu de ce} que :

L’équation (5)

^{devient :}

Nous avons alors demandé ^au Laboratoire de

Mathématiques Appliquées

^{de la Faculté des}

Sciences de nous

fournir,

^{sous forme de}

tableaux,

^les

valeurs de

(xT)o

^{calculées à} l’aide de

(6)

^{et ceci}

pour ^un

grand

nombre de valeurs

physiquement plausibles

^des

paramètres x, a

^{et b.}

L’examen de ces tableaux ^{nous a}

permis

^{de faire}

les constatations suivantes : un ne peut ^être obtenu _que dans deux cas :

- où le fondamental est un état

B:=1: 11/2

^>

presque pur

(valeur

maximale du

= 6,72

pour

un

état 1± 11/2

> pur ^- mais ^encore inférieure à la valeur

expérimentale).

^{Ceci se}

produit

pour x voisin de

0,6 ;

- ou le fondamental est un

état ~ 13/2

^>

presque pur

(valeur

^{maximale du}

(xT)o

⁼

9,39

pour

un état

~~ 13/2

>

pur).

^{Ceci se}

produit

pour x

compris,

grosso

modo,

^entre

0,40

^et

0,50.

Cette dernière situation est donc la seule compa- tible avec la réalité

expérimentale.

^{Nous avons}

consigné,

^tableau

I, quelques-uns

^des lots de valeurs

(a, b, x)

^{donnant un}

(xT)o

⁼

^7,5.

TABLEAU 1

On voit ainsi _{que a} est

négatif (donc, puisque

^oc

est

négatif, Ag ^r2

> est

positif)

^{et se situe aux}

environs de - 2. Par contre, ^les informations rela- tives au

produit

^pour les basses

températures

ne

peuvent

^nous donner des valeurs suffisamment

précises

pour x ^et b.

Nous avons alors utilisé les résultats obtenus par Hadni et Mme

Veyssié [6]

^{et relatifs au} spectre

d’absorption

^du

gallate

^de

dysprosium

^{entre 10 et}

100 cm-1. Ces auteurs

indiquent

^{des niveaux élec-}

troniques Es

^et

.EC

^localisés

approximativement

^{à 20}

et 67 cm-1 au-dessus du fondamental électro-

nique EA,

^{si bien} que :

p ⁼

(Ec

^-

EA)

^-

EA) - ^3,4.

Nous avons construit les courbes traduisant i’évo- lution des valeurs propres de

Jeo IW

^{en fonction}

de x,

et ceci _pour un certain nombre de valeurs de a et b

(on

trouve,

(fig. 3), quelques-unes

^{de ces}

courbes,

pour a

= - 1,8).

^{Nous avons alors pu déterminer}

les valeurs

de x, a

^{et b}

qui

permettent ^{d’obtenir à la} fois un bon

(xT ) o

^{et un bon écart relatif entre les}

trois

plus

^bas niveaux cristallins. Nous avons trouvé :

Fi c.. 3.

Nous avons enfin évalué le coefficient W. Pour

cela,

nous avons

exploité

la courbe

expérimentale XT

^{= relative aux hautes}

températures (du

FIG. 4.

539

290 oR à 1 500 °K

environ).

^Cette

^courbe,

repro-

duite (fig. 4),

^a

déjà

^été

publiée,

il y ^a

quelques années,

par Pauthenet Aléonard

[5].

En

effet,

^{dans une zone de}

température

^{où kT se}

trouve

compris

^{entre le}

couplage

^{fin et le}

couplage cristallin,

^on peut, ^{pour le}

produit xT,

^{donner le}

développement

^{suivant :}

La démonstration de la formule

(7)

^{a été donnée}

en

Appendice.

Ainsi,

pour T suffisamment

élevé,

^{on obtient une}

loi :

c’est

précisément

la loi de Curie à

laquelle

^obéit

l’ion libre. De

plus,

si l’on remarque que :

on voit _{que le} ^« décrochement » aux basses

tempé-

ratures se fait non pas ^en

1 jT

^{mais en Ce} décrochement en s’observe effectivement sur

la

figure

^{4. Il est encore mieux mis en évidence si}

l’on trace la courbe

xT

⁼

qui

^{est bien une}

droite (1j.

^{Dans ces}

conditions, l’équation (7)

peut s’écrire :

Prenant

13,86 ;

⁼

13,40

(valeur

redéterminée _par

Mollard)

^et ayant ^fait

choix,

^{en ce}

qui

^{concerne les}

paramètres

^de

Jec, (1) Notons, incidemment,

que dans le

diagramme xT

⁼

^f(1JT2),

^{on peut observer un}

^léger

^« décrochement

au décrochement »

qui

^{nous a}

permis

^{de vérifier} que la loi

expérimentale xT

⁼

f(T)

^{aux hautes}

températures

est

xT

^{= A -f - j-}

^CT,

^le coefficient C corres-

pondant

^{à un terme du}

paramagnétisme

^constant ;ce coefficient déterminé ^à

partir

^du

graphique XT

⁼⁼⁼

f(1/T2)

est de l’ordre de

10 ,

^en bon accord avec le parama-

gnétisme

^constant

théorique.

de

it

⁼

^{0,48 ; a = -} 2,1 ;

^{b = 0}

(hypothèse simpli-

ficatrice supposant

l’équivalence

^{de l’axe Ox avec}

l’axe

Oy),

nous avons trouvé :

L’écart total des niveaux issus du J ⁼

15/2

^s’en

déduit si l’on connaît l’écart des valeurs _propres extrêmes de

Rcjw.

Avec le choix de nos para-

mètres,

^{nous trouvons :}

Les incertitudes sur W et AE sont difficiles à

estimer ;

^{nous avons}

_cependant

de bonnes raisons de croire _que l’incertitude sur la

quantité

i (ZT) est prédominante

^{et peut entraîner}

jusqu’à 10 %

^{d’erreur sur W et Nous}

adopterons

donc

AEtotai

⁼

57C -I-

^{60 cm-’.}

Compte

^{tenu de ce}

que

=1,56,

pour avoir

EB - EA

~70

nous sommes conduits

(voir fig. 3)

^à

adopter

^en

définitive :

d’où,

^{en ce}

qui

^concerne les coefficients intervenant dans

(2’) :

Ces valeurs sont à comparer ^avec celles déduites de l’étude des spectres

optiques [7].

^{L’accord est bon}

en ce

qui

^{concerne r4} > et

Ag

>,

mais,

par contre, ^nos valeurs de

A2

^r2 > et

A2 r~>

sont

plus

^{fortes. 2}

Nous _avons, en dernier

lieu,

^{cherché à} évaluer les valeurs de r4 > et r6 > à

partir

^{de nos} résul-

tats : à l’examen des résultats du tableau II de l’article de

Hutchings

^{et Wolf}

[8],

^{il n’est} pas dérai- sonnable de penser que les valeurs des coefficients

A4

et

Ag

^{restent à} peu

près

^{les mêmes dans} toute

la

série des

gallates,

aluminates et ferrites

(2). Adop-

tons, donc en moyenne

A4

^{= 1 180}

66 nous déduisons :

Ces valeurs sont à comparer ^aux r4 > et

r6 > donnés _par Mme

Veyssié [Il :

Dans les deux _cas, on trouve des valeurs _de r4>

et r6 > considérablement

plus grandes

que celles données par Freeman et Watson

[9J.

(2)

^{Ceci ne constitue}

qu’un pis

aller mais c’est tout ce

que ^nous pouvons faire en l’absence de données cristallo-

graphiques

^{raffinées sur le}

gallate

^de

dysprosium.

Courbes de

susceptibilités jusqu’à

^{300 OK. -}

Nous avons tracé deux courbes

théoriques xT

⁼

courbes calculées _par la formule de Van

Vleck,

^en

utilisant les vecteurs propres de

(2)

pour :

et en

adoptant

^{les niveaux}

d’énergie

^{suivants :}

autres niveaux

négligés.

^{Nous nous} sommes con-

tentés de

l’approximation b

⁼

0,

^non pas tellement à cause de l’indétermination de b dans notre

modèle,

mais surtout à cause du _peu d’influence

qu’à

^ce

terme sur les vecteurs propres de

(2) (l’influence

^{de b}

sur les valeurs propres de

(2)

^est

plus importante,

mais ^ne

joue

pas ici

puisque

^nous utilisons les niveaux

d’énergie

déterminés _par

spectroscopie).

Il est bon de noter que la courbe

expérimentale xT

⁼

/(T)

pour T ^{5 OK} peut ^{nous livrer encore}

une information : une valeur

approchée

par défaut de la

quantité

^{EB - EA. En calculant} par la for- mule de Van Vleck la pente ^{de cette courbe}

(égale, rappelons-le,

^à

0,30),

^{on obtient :}

Soit EB - EA > 17 cm-1 avec une erreur

systé- matique

par défaut de

quelques

^cm-1.

Les résultats relatifs aux deux courbes

théoriques xT

⁼

f(T)

^sont

reportés

tableau II. Ces courbes

sont confrontées

(fig. 5)

^{avec la courbe}

expérimen-

tale déterminée _par Mollard. On note que, pour TABLEAU II

T > 100

OK,

^le

produit (XT) théorique

^devient

pratiquement

^{constant alors que ce n’est pas le cas}

pour le

(xT) expérimental.

Cela vient du ^« _para-

magnétisme

constant » dû aux niveaux

supérieurs (situés

^à

plus

de 150 cm-1 au-dessus du fonda-

mental)

^et

qui

^{a été}

négligé

^{dans ce calcul. Cette}

correction, minime,

améliorerait l’accord avec l’ex-

périence,

^accord

qui

^est de l’ordre de 5

%

pour les deux courbes

théoriques.

Remerciements : Nous remercions Mme M.

Veyssié qui

^{nous a}

communiqué

^{ses résultats}

expérimentaux

avant

publication

^ainsi que M. E.

Belorizky

pour de nombreuses discussions et

suggestions.

541

APPENDICE

10

Rappel

^{de la formule de} Van Vleck. ^-- La for- mule de Van

Vleck, qui

^{donne la}

susceptibilité atomique

^{selon une} direction Oz

(par exemple)

s’écrit :

-

où les EA

désignent

^{les niveaux}

d’énergie

^en

champ nul,

les fonctions _propres

correspondantes

^étant

notées I A,

ⁱ >

(l’indice supplémentaire

^{i étant intro-}

duit _pour tenir compte ^d’une

dégénérescence

^éven-

tuelle du niveau

EA) ;

^{est la} composante ^{selon Oz} du moment

magnétique

considéré. Si l’on _{pose :}

on peut

alléger

l’écriture de

(A.1) qui

^{devient :}

((J.B désignant

^le

magnéton

^de

Bohr). ^Si,

^de

plus,

^on

travaille sur une

poudre,

^{on calcule}

plutôt :

qui,

^{si l’on} pose :

numériquement

^{en u. é. m.} cgs,

20 Cas d’un

multiplet fondamental

écarté des

autres niveaux excités. ^-

Appelons

^{alors :}

E«, Eg, Ey,

^... les niveaux relatifs au fondamental

EB, Eoe

^... les niveaux excités

et supposons que :

FIG. A.I.

la formule

(A.4) ^s’écrit,

^en

négligeant

les niveaux excités :

Comme,

par

hypothèse, pEç

sont, par

hypothèse,

bien inférieurs à

l’unité,

^un

dévelop-

pement

^{en série est}

possible :

542 Enfin :

Prenons comme

origine

^{le centre de}

gravité

^{du niveau}

fondamental, Alors, (A.7)

^et

(A.6)

s’écrivent :

On donne à cette

expression

^{une forme}

plus

commode en revenant à la définition des

quantités

où M est le moment

magnétique exprimé

^{en ma-}

gnéton

^{de Bohr : Si H}

désigne

^{la matrice}

(G

^X

G)

de l’Hamiltonien relative au

multiplet

fondamental,

->

M la matrice

( G

^X

G)

^{du moment}

magnétique

^{en l-LB}

Manuscrit reçu le 10 mars 1966.

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