Régimes transitoires simples de fortes déformations d'une macromolécule

HAL Id: jpa-00208376

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00208376

Submitted on 1 Jan 1975

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Régimes transitoires simples de fortes déformations d’une macromolécule

S. Daoudi

To cite this version:

S. Daoudi. Régimes transitoires simples de fortes déformations d’une macromolécule. Journal de

Physique, 1975, 36 (12), pp.1285-1292. �10.1051/jphys:0197500360120128500�. �jpa-00208376�

RÉGIMES TRANSITOIRES SIMPLES DE FORTES DÉFORMATIONS

D’UNE MACROMOLÉCULE

S. DAOUDI

Physique

de la Matière

condensée, Collège

^de

France,

75231 Paris Cedex

05,

^France

(Reçu

^le

2 juin 1975, accepté

^le

27 juin 1975)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous considérons la déformation d’une macromolécule isolée, ^sous l’effet d’un champ

de vitesse à gradient S longitudinal ^{dans le cas où S} dépend ^du temps ^de façon

simple

(créneaux ^de

durée 03B8). ^{Pour un} produit S03B8 suffisamment grand (S03B8 > 1) ^et au-delà d’un certain seuil de gradient (S >

Sc),

^on devrait observer un brusque étirement de la molécule (transition coil-stretch) ^{se tra-}

duisant notamment par ^un gros changement ^{de la} biréfringence d’écoulement.

Abstract. ²⁰¹⁴ We consider the déformation of an isolated macromolecule submitted to a longitu-

dinal velocity gradient S

applied

suddenly ^{for a} time 03B8. For sufficiently high values of S03B8 (S03B8 > 1)

and beyond ^a gradient ^threshold (S >

Sc),

^we expect ^{a sudden} stretching of the molecule (coil-

stretch transition), showing ^up, for instance as a strongly ^increased birefringence.

Classification Physics ^Abstracts

5.660

1. Introduction. ^- La déformation d’une macro-

molécule sous l’effet d’un

gradient

de vitesse constant et élevé a fait

l’objet

^de nombreuses

études,

^surtout dans des situations de cisaillement

simple [1].

^En

fait,

les effets

mécaniques

^{doivent être}

beaucoup plus spectaculaires

^en

présence

^de

gradients

de vitesse

longitudinaux [2].

De tels

gradients

^sont

réalisables,

par

exemple, près

^d’un

point

^de

stagnation,

^{mais on rencontre le}

plus

^{souvent une} difficulté sérieuse avec ce genre d’écoulements : une molécule donnée n’est soumise

au

gradient

que

pendant

^un intervalle de temps ^rela- tivement court. Il n’est _{pas sûr}

qu’elle puisse

^{se défor-}

mer comme elle le ferait en

régime

permanent. ^Le

présent

^{article est} donc consacré à l’étude de certains

régimes

transitoires de déformation.

Du

point

^{de vue}

expérimental, plutôt

que d’étudier

un

point

^de

stagnation,

^{il est}

plus

commode d’envi- sager le ^cas d’un rétrécissement d’une conduite ou,

mieux,

^{le cas de}

parois

^à strictions

périodiques (Fig. la) :

^{dans un} écoulement de ce genre, ^on

peut

avoir des

gradients longitudinaux forts.

Prenons par

exemple

^{une vitesse} d’écoulement _moyenne

une distance entre strictions 2 L ⁼

50 Il

^{et un} rap-

port

^{de striction}

d2ld,

^{= 3. Nous} _pouvons ^estimer

le

gradient

^{de vitesse}

maximum Sm U/L (cf. Appen-

dice

A)

soit environ 4 ^x

103 s-1.

Ceci est à comparer à la

fréquence

de relaxation

( 1 er

^{mode de}

Zimm)

de la

macromolécule, qui

pour ^un rayon de

pelote

FIG. la. ^- Profil de plaques ^ou de conduite permettant de réaliser

un gradient de vitesse alternatif.

=

0,2 g (correspondant

^à une masse moléculaire M 5 x

106)

^sera

typiquement

dans un solvant de viscosité ⁼

10-2 poise.

Bien

entendu,

^le

gradient

de vitesse vu par ^une molécule donnée sera modulé

périodiquement,

^à

une_fréquence

^w

(~ 1/0,

^formule

(A. 2)

^ou

(A. 2’))

~

U/L :

^cette

complication

inévitable est

l’objet

^cen-

tral de notre étude. Notons tout de

suite

^{que pour}

une

géométrie donnée, quand

^{on varie}

U,

^le

produit

^S’0

reste constant, de l’ordre de ¹

(cf. (A. 3)

^ou

(A. 3’)).

Cette remarque servira dans ^la suite.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197500360120128500

1286

A part ^les

plaques

^{ou les conduites à strictions}

périodiques,

^{on rencontre aussi le}

problème

^des

gradients

forts dans des situations

importantes :

réduction de traînée d’une part et

récupération

^du

pétrole

^{dans les milieux}

poreux

^{d’autre part. La}

réduction de traînée se rencontre dans des écoulements turbulents très

complexes

^{et ne sera} pas discutée ici.

Par contre, ^on

parlera

^du

déplacement

des huiles par des solutions de

polymère.

Dans cette dernière

situation,

l’écoulement

présente

un

gradient

de vitesse

longitudinal

^{élevé et modulé}

suivant la

géométrie

locale du milieu _{poreux :} succes-

sion de passages étroits ^et de

larges

^cavités

(Fig. 1 b).

D’après

^{des mesures récentes}

[3],

deux effets au moins interviennent :

a)

^une

adsorption

variable du

poly-

mère sur les

parois, b) peut-être

^une

dissipation

^vis-

queuse ^non newtonienne. C’est ce second

aspect qui

sera étudié

ici,

^{dans un} modèle très

simplifié.

2.

Rappels

^{sur la}

description

^en

gradient

constant. - Considérons _pour commencer un écoulement à deux dimensions décrit _par le

champ

de vitesses suivant :

où S est le

gradient

de vitesse constant, ^de

type longi-

tudinal.

Il a été

suggéré [2], [4]

que pour S suffisamment

grand (dépassant

^une certaine valeur

critique Sc),

une macromolécule isolée flexible

pourrait

passer

abruptement

d’une forme

pelote (coil)

^{à une forme}

étirée

(stretch).

^A

l’origine

^{de cet effet se trouve le}

processus auto-activé suivant :

plus

^le

gradient

^de

vitesse est élevé et

plus

l’écoulement

pénètre

^{dans la}

macromolécule,

mais alors cette dernière est davan- tage ^{étirée ce}

qui

expose ^encore

plus

^{ses monomères}

intérieurs au cisaillement.

Pour le calcul

pratique,

^{il est} commode d’utiliser le modèle de l’haltère

élastique [5],

^{avec les} para- mètres suivants :

Z : nombre de

monomères,

a :

longueur

^du

monomère,

ro ⁼

Z 1/2 a :

distance _moyenne entre les deux extré- mités de la

chaîne,

r :

élongation

^{du ressort}

équivalent.

La courbe de

l’élongation

^en fonction du

gradient

a la forme d’un S

(Fig. 2)

^et

présente

^{de ce fait la}

possibilité d’hystérésis :

suivant la valeur de

S,

^on

peut

^{avoir un} seul état

d’équilibre

^{stable sous la}

forme

pelote

pour S

Sl,

^{ou un} état stable sous la forme

pelote (Ml),

^un état stable sous la forme étirée

FIG. 2. ^- Courbe de l’élongation ^{r en} fonction du gradient ^de

vitesse S en régime _permanent. Unités réduites : r ⁼ r/ro,

S ⁼ sls2 ⁼ S/Sc.

(M2)

^{et un état instable}

(M3)

pour

Sl

^S

S2’

ou un seul état stable sous la forme étirée pour S >

S2.

^{Les limites}

Si

^et

S2

^sont

respectivement

^de

l’ordre de

1/,rR

^{et de}

1/ïo (TR :

^{1 er}

temps

de relaxation de Rouse

[5],

-ro : 1 er temps de relaxation de Zimm

[6]), S2

étant la valeur

critique Sc

^du

gradient.

^{Dans les}

deux cas limites : forme

pelote

^et forme étirée la

relation entre

l’élongation

^{réduite r =}

(r

⁺

ro)/Za

et S s’écrit :

E(rl

^{est un} facteur introduit _par Peterlin

[7] qui

décrit

l’augmentation

^de

rigidité

^{de la chaîne}

quand

elle devient très

allongée ; E(Q =

1 pour X 5

0,5

^et

E(rl - 1/3(l - rl pour F -

^1.

T(f)

^{est le}

temps

de relaxation de la molécule

qui

croît avec

l’allongement

suivant la formule _appro- chée

[2] :

(Pour

^r ro, ^{i -} io : ^:

temps

^{de Zimm et} pour

r -

Z 1/2

_{ro, i -}

ZI/2

_{’to 1’-1 zR :}

temps

^de

Rouse.)

3. Gradient de vitesse en forme de créneau. ^-

3 .1 ^EQUATION

^DU MOUVEMENT. - Le cas le

plus simple de régime

transitoire est

l’application

^d’un

gradient

de vitesse constant seulement

pendant

^{un intervalle}

de

temps

⁰

(cas

d’une conduite avec un seul rétré-

cissement).

^On peut ^{alors étudier la} déformation d’une molécule suivant un seul axe avec la vitesse du fluide sous la forme

simple :

^{v = Sr.}

La molécule est soumise :

1)

^{à une} force aléatoire de

Langevin, 2)

^{à une force}

élastique :

(kB :

^{constante de}

Boltzmann,

^{T :}

température), 3)

^à

une force de friction de la

part

^{du fluide :}

f

étant le coefficient de friction de la molécule :

Aux fortes

déformations,

^la

première

force devient

négligeable [2]

^{et nous} pouvons écrire

l’équilibre

^des

forces, (en négligeant

les forces

d’inertie), simplement

sous la forme :

Compte

^{tenu de}

(2.4),

nous sommes amenés à pro- poser

l’équation

^{suivante :}

Nous avons

ajouté

^{dans le terme} d’entraînement une

contribution

Sro qui n’apparaissait

pas dans

(3.1),

Le but de cette addition est de conduire en

régime

permanent ^{à une}

élongation

^r

qui

^{soit linéaire}

(1)

en S à

petit

^{S et} du bon ordre de

grandeur.

^{La forme}

analytique

détaillée choisie a peu

d’importance

^car,

de toute

façon,

c’est le domaine des assez

grandes

déformations

qui

^{nous intéresse.}

Dans la limite 0

infini,

^{on est dans le cas du}

régime permanent

^{et on atteint un état}

d’équilibre

^avec

dr/dt

^{= 0.}

Ainsi,

^{nous avons} la relation :

qui

^{conduit à une courbe du}

type

^{de la}

figure

^{2 et}

qui

^nous

^redonne,

^{en ordres de}

grandeur,

^les

éq. (2.2)

et

(2. 3).

3.2 ELONGATION DE LA MOLÉCULE. ^- En se limi- tant à des déformations modérées

(( £ 0,5),

^on peut poser E = 1.

L’intégration

^de

l’éq. (3.2)

^{est alors}

immédiate et s’écrit :

La valeur

critique

^{de S est}

Sc

⁼

1/4 ro :

^pour

S

Sc, l’élongation

^maximum que l’on

puisse

^attein-

dre reste faible

(r ro)

^même pour 0 infiniment

grand,

^alors que dès _{que S} >

Sc,

^on atteint des valeurs élevées de

l’élongation (Fig. 3)

^d’autant

plus

^vite

d’ailleurs

que S

^est

plus

élevé. On

peut également

illustrer cet effet en revenant à la

figure

^{2 :}

partant

^de

FIG. 3. ^- Courbes de l’élongation ^{r en} fonction du temps t pour des gradients de vitesse de valeurs relatives S/Sc indiquées ^entre crochets, appliquées pendant ^{une durée} Oi (S ^{en forme de} créneau).

Unités réduites : r ⁼

r/ro, t

⁼ t/io.

(1) ^En réalité, ^{à S} petit ^{ce sont certaines} composantes du qua-

drupôle moléculaire qui ^{sont linéaires en} S. Nous reviendrons

plus ^{loin sur} l’équation ^du quadrupôle.

1288

r ⁼

0,

la molécule va tendre vers le

premier

^état

d’équilibre qu’elle

rencontre : elle demeurera dans l’état

pelote pour S Sc et

^elle passera à l’état étiré

pour S

>

Sc.

Dans la deuxième

phase

^à

gradient nul,

^{la molécule} revient à son état initial

(r

⁼

0)

^{avec le} temps ^carac-

téristique ï qui

^est fonction de la valeur maximum de

l’élongation,

^{atteinte au bout du}

temps 0,

^{suivant un}

profil

^de relaxation

qui dépend

seulement de cette valeur.

3.3 DISSIPATION

MÉCANIQUE.

^{- La}

puissance

^dis-

sipée

par le solvant sur la molécule est :

FIG. 4. ^- Comparaison ^des dissipations instantanées : Q pour ^une molécule flexible, Qr pour ^une molécule d’élongation bloquée ^{à une}

valeur r et 6o pour ^une molécule indéformable en fonction de

l’élongation, ^{avec S} Sc (Fig. 4b) ^{et S} > Sc (Fig. 4a). (Les points

d’intersection de Q et (Jr correspondent ^aux points ^{de la} figure ² désignés par les mêmes lettres). ^Unités réduites : -a ⁼ aro/3 kB T,

r ⁼ r/ro.

Il est intéressant de comparer a à la

dissipation

Ur que l’on aurait si

l’élongation

^{de la molécule se trou-}

vait maintenue à une valeur constante r. La force de friction vaut alors

fv,

^{d’où :}

(Pour

^{une molécule}

indéformable,

6r serait

égale

^à

Jo ⁼ 3

kB TTO S2 qui correspond

^{à la}

dissipation newtonienne.)

Les deux

expressions (3.4)

^et

(3. 5)

doivent donner le même résultat _{pour les} valeurs de r

correspondant

à un état de

régime permanent.

^En

effet, l’élongation

est alors naturellement fixée.

Ainsi, pour S Sc,

les courbes

a(r)

^et

u,(r)

^se

coupent

^{en 3}

points (Fig. 4b) correspondant

exactement aux

points M1, M2, M3

de la

figure

^{2. Pour S} >

Sc,

^il y ^{a un} seul

point

^d’in-

tersection

(Fig. 4a), correspondant

^{au cas}

^analogue

de la

figure

^2.

Au

voisinage

^{d’un état}

d’équilibre

^stable

(r

⁼

re) (2),

en se référant au modèle de l’haltère

élastique,

^{il est}

clair _{que la} force de friction et, par

suite,

^la

dissipation,

est

augmentée (u, > a)

^{ou diminuée}

(Qr a)

^suivant

que l’on

bloque l’élongation

^{à une valeur}

respective-

ment inférieure

(r r J

^ou

supérieure (r

>

re)

^à

sa valeur

d’équilibre.

La force de friction est nulle _{pour r} ⁼

0,

^{mais elle} aurait une valeur finie

(=

³

kB TSio/ro)

pour ^une molécule indéformable. La

dissipation

^{a est donc}

inférieure à la

dissipation

newtonienne _Jo au

départ,

mais elle la

dépasse lorsque

^la force de friction devient

supérieure

^{à la valeur}

précédente

pour la molécule

rigide.

En

fait,

^{il est}

plus

commode de considérer la dissi-

pation

^{totale ou,}

mieux,

^{la valeur} moyenne de la

dissipation

par unité de

temps :

La deuxième

expression

^{est obtenue à}

partir

^de

(3. 3)

et

(3.4), toujours

^{avec E = 1.}

Nous avons tracé sur la

figure

⁵ des courbes de

u >

^en fonction de 0 _pour des valeurs de S voisines de

Sc.

Pour des valeurs

petites

^{de 0}

(() zQ),

^même

pour des valeurs de S sensiblement

supérieures

^à

Sc,

la molécule n’a _pas le

temps

de s’étirer

(cf. Fig. 3) et ( J )

^croît linéairement avec 0 aussi bien _pour S

Sc

^que

pour S 5c.

(2) Le point ^double correspondant ^{à S} = Sc n’est pas ^{un état}

d’équilibre ^{stable. En} effet, drldt -> 0 pour ^toute valeur de r, ^ce qui

fait _que la molécule tend vers cet état (pelote) ^{si r} re’ mais elle tend vers l’état étiré si r > re.

FIG. 5. ^- Dissipation moyenne a > ^en fonction de la durée 0 (S ^en créneau) pour les valeurs S/Sc indiquées ^entre crochets, ^en échelles logarithmiques. ^Unités réduites : ( 7 ) = (J > io/3 kB T,

0 ⁼ 0/To.

Pour les 0

plus grands,

nous avons soit un

pla-

fonnement

de u > (S Sc),

^{soit une} croissance très

rapide

^à

partir

d’une certaine valeur de

e(S

>

Sc).

Nous avons là une autre caractérisation de la transi- tion de la forme

pelote

^{à l’état}

étiré, qui

^ne peut ^se

produire qu’au

delà de la valeur

critique

^du

gradient.

4.

Gradient

de vitesse alternatif. ^- 4.1 EQUATION

DU MOUVEMENT. - Nous considérons le même

champ

de vitesses _que

précédemment (éq. (2.1))

^{mais avec}

un

gradient S qui change

^de

signe périodiquement

avec une

période

^{2 0.} Cette forme

simple

^du

gradient permet

^{de se ramener à une}

équation

^{du mouvement}

du même type que

précédemment,

facilement inté-

grable,

^alors

qu’une

forme sinusoïdale _par

exemple

mènerait à une

équation

différentielle à variables non

séparables.

^{De toute}

façon,

les formes réelles sont bien

plus compliquées (dans

^{le cas} des matériaux poreux par

exemple,

l’écoulement n’est _pas

toujours newtonien,

^aux concentrations

usuelles).

Dans

le modèle d’écoulement

envisagé ^ici,

^{la molé-}

cule subit des déformations alternativement suivant les deux axes de coordonnées. Il

pourrait

^{donc sem-}

bler nécessaire de

compliquer

^le modèle de Peterlin

en introduisant des déformations selon deux direc- tions. En

fait,

^{il est}

plus simple

^de

prendre

pour variable le

quadrupôle

moléculaire défini _{par :}

xi, yi étant les coordonnées d’un monomère _par rapport ^{au centre d’inertie} de la molécule.

Ainsi,

un

allongement

^de la molécule suivant l’axe x se

traduit _par

Q

> 0 et un

allongement

^suivant

l’axe y

par

Q

^0.

Le

quadrupôle Q

^est

proportionnel

^{au carré de}

l’élongation

pour les fortes déformations. Il est alors aisé de déduire une

équation

d’évolution

pour Q

à

partir

^de

l’équation

^{en r}

(3 . 2) :

avec

Qo,

^{une constante} de l’ordre du carré du _rayon de

gyration

^{de la molécule.}

Cette

équation

^est

également

^{en accord avec}

(3.2)

aux faibles déformations : car alors

Q -

rro «

Qo

et

(4. 1)

^{devient :}

ce

qui

^{est conforme à}

(3.2),

^{dans la même limite.}

4.2 EVOLUTION DE

Q.

^-

Après

^une

période d’ajustement transitoire,

^{la variable}

Q(t) régie

par

(4.1)

^{tend vers une forme}

périodique.

^{Nous nous}

intéressons

uniquement

^{à ces solutions}

périodiques

et nous

garderons

^{E = 1. Si nous} partons ^{de -}

Qi,

nous avons

d’après (4.1) :

En

exprimant

la condition de

périodicité,

^on

trouve que

Q

^{oscille entre} les deux valeurs

opposées

-

Qi

^et

Qi, chaque

demi-oscillation ayant ^{une durée 0.}

La valeur

critique

^{de S vaut dans ce modèle}

0,62/To.

Comme dans le cas

précédent,

^la transition de l’état

pelote

^à l’état étiré ne peut s’effectuer _que si S >

Sc (Fig. 6).

^{Pour S}

S,, Q

^reste

petit

^même pour 0

grand (Q qi ^Qo).

^{Pour S} >

Sc,

^{si on se fixe une valeur}

élevée de

Qi (par exemple ¹⁰³ Qo), la période

^{2 0}

correspondante

^doit être très

longue pour S

^à

peine supérieur

^à

Sc,

^{mais elle est} considérablement réduite pour S

plus grand.

^En tout cas, les valeurs élevées de

Q

^{ne sont réalisées} que

pendant

^un intervalle de temps ^{très court} par rapport ^{à 0}

(courbes

^{en forme}

de

pics)

^surtout

pour S

^{voisin de}

Sc.

Expérimentalement,

l’évolution du

quadrupôle

moléculaire peut ^{être suivie à} l’aide de la

biréfringence

d’écoulement. En

adoptant

^une forme d’écoulement du

type envisagé

^en

appendice,

^le

produit

^{50 est}

constant, de l’ordre de ^{1. Des} courbes de

Qi

^{en fonc-}

tion de S sont

représentées

^{sur la}

figure

7 pour

quelques

valeurs de 50 a ^{1. On observe}

que Qi

^{tend vers un}

1290

FIG. 6. ^- Variations du quadrupôle Q ^en fonction du temps ^au

cours d’une période ^{2 0} (Salternatif) _pour ^les valeurs S/Sc ^indiquées

entre crochets. Unités réduites :

Q

⁼

Q/Qo, t

⁼ t/TO.

FIG. 7. ^- Valeurs maximum du quadrupôle (Qi) ^en fonction du

gradient ^de vitesse S alternatif _pour les valeurs de SO indiquées ^entre

crochets. Unités réduites :

Q;

⁼ &/6o. S = _S/Sc

palier lorsque S

devient très

grand.

Cette limite peut s’obtenir en

simplifiant l’éq. (4.2) :

avec k ⁼ SO.

Mais, d’après (A. 3’)

par

exemple (cas tridimensionnel)

^{on obtient :}

où a’ est le rapport de striction de la conduite.

Pratiquement,

^il

paraît

difficile de réaliser de

grandes

déformations. Même avec un

rapport

de striction a’ 1’-1 14 et un

gradient S

^très

élevé, Q

^{reste inférieur}

à

102 Qo (alors qu’avec

^{Z =}

¹⁰⁴

par

exemple,

^la

valeur maximum de

Q

pour ^un étirement total serait

-

10’ Qo).

4.3 DISSIPATION

MÉCANIQUE.

^{- En}

régime pério- dique,

^{il est}

plus simple

^de

décomposer

^la

puissance

fournie par le fluide à la macromolécule ^en deux termes :

dont le

premier représente

^la

partie visqueuse

^{de la}

dissipation,

^alors que le deuxième

peut

^{se mettre,}

d’après (3. 1)

^sous la forme :

Il

représente l’énergie emmagasinée

^de

façon

^réver-

sible _par la chaîne

(G : énergie

^{libre de la}

chaîne).

Nous nous intéressons

uniquement

^{à la}

dissipation

moyenne ^{sur un}

cycle u >,

^{donc nous n’avons à}

tenir

compte

que du

premier

terme,

puisque

^{la varia-}

tion de

l’énergie

libre de la chaîne est nulle sur unes

période.

^Par

analogie

^{avec les}

expressions

^{en r du}

paragraphe précédent,

^on arrive à la forme suivante :

qui ^devient, d’après (4.2) :

On

retrouve

^{sur la}

^{figure 8,}

essentiellement la même allure de courbes _que celle de la

figure

^{5. On a}

encore pour 0 _To’ un même

régime pour S > Sc

et

pour S Sc,

mais dans le cas

présent ( J )

^varie

comme

(}2.

Pour des valeurs de 0

plus grandes, u >

tend vers un

palier

^si

S Sc

^{ou croît de}

plus

^en

plus

vite si S >

Sc.

FIG. 8. ^- Dissipation moyenne J ) ^en fonction de la période ^{2 0} (S alternatif) pour les valeurs SIS, indiquées ^entre crochets, ^en échelles logarithmiques. ^Unités réduites: a > = (J > io/3 kB T,

0 ⁼ _O/TO.

Si nous fixons le

produit se,

^{comme au}

paragraphe précédent,

nous avons des courbes

de u >

^{en fonc-}

tion de S

(Fig. 9)

^{avec un}

palier

pour S élevé. Là encore, ^{nous nous} heurtons à la difficulté d’avoir des valeurs de k suffisamment

grandes,

^ce

qui

^fait que l’on n’observe _pas d’effet

spectaculaire sur a >

au

voisinage

^de

5c

^En

^effet,

pour S ,

Sc,

^{la défor-}

mation reste

petite

^ainsi que la

dissipation,

^mais

pour S

à

peine supérieur

^à

Sc,

^on peut ^{avoir une}

grande

déformation et une valeur élevée de la

dissipation

^à

condition d’avoir un 0 » io

(cf. Fig. 8),

^{mais comme}

S - Sr - 1/,ro,

^cela suppose SO »

1,

^ce

qui

^est

difficilement réalisable.

Dans les matériaux _poreux, on

peut

^{avoir des}

rapports

de striction assez

grands,

mais seulement dans des

portions

limitées des pores. Dans ^un écou- lement à travers un milieu _poreux

justement,

^Desré-

maux et al.

[8]

^{ont observé une}

augmentation

^du

rapport

des mobilités à

partir

d’une certaine vitesse d’écoulement d’une solution _aqueuse de

polyacry-

lamide. Sans

préjuger

^de l’effet d’une rétention variable du

polymère

^{dans les} pores

(interprétation

^{de ces}

auteurs),

^nous pensons que ^ce

phénomène

peut

éga-

lement

s’expliquer

par ^un accroissement de la vis- cosité

apparente

^{de la solution} par suite de la transi- tion coil-stretch à une certaine valeur de la vitesse et donc du

gradient (valeur critique).

FIG. 9. ^- Dissipation moyenne a > ^en fonction du gradient S (alternatif) pour les valeurs de SO indiquées entre crochets. Unités

réduites : a > =

( Q ) ro/3 kB T, S ⁼ S/Sc.

Une autre contribution à la

dissipation

^{du solvant}

lors de la déformation d’une

macromolécule,

pro- vient de la viscosité interne

[9, 10]

^{de cette dernière.}

Mais cet effet devrait être

petit

^{aux basses}

fréquences envisagées

^ici

(; 1 /io).

^,

Remerciements. ^- Ce travail doit

beaucoup

^à

M. le Professeur De Gennes _que

je

tiens à remercier pour ^ses

suggestions

^{et ses} discussions fructueuses.

APPENDICE A

Modèles

simples

d’écoulements à

gradient

^{de vitesse}

alternatif. ^- Nous considérons ici l’écoulement permanent ^d’un

liquide

^{newtonien entre deux}

plaques symétriques,

^{ou dans une conduite}

cylindrique,

^avec

des

angles

de rétrécissement faibles

(Fig. 1a)

^{et des}

nombres de

Reynolds

peu élevés. Ces deux

approxi-

mations

correspondent

^à des situations réalisables et commodes en

pratique

^et

permettent

de considérer que l’écoulement est du

type

Poiseuille. Le

profil

^des

vitesses est alors

parabolique

^{et la} vitesse dans le

plan ^axial,

^{ou sur}

^l’axe,

u., ^est

proportionnelle

^{à la}

vitesse de débit

uq(u,, = i uq, ou

² uq ^selon

qu’il s’agit

^d’un écoulement entre

plaques

^{ou dans une}

conduite

cylindrique).

Au lieu d’avoir à calculer des écoulements bi-ou tridimensionnels

complexes,

^on

est ainsi ramené à une discussion très

simple

^{de la}

vitesse moyenne.

1. ECOULEMENTS ENTRE DEUX PLAQUES. - Soient 2 h la distance entre

plaques (h1

^h

h2)

^{et û}

la vitesse _moyenne de débit. On

peut

^écrire

l’équation

de conservation de la masse sous la forme :

1292

A étant une constante. D’où

Pour réaliser un

gradient

^de vitesse S de module constant et de

signe

alternatif

( § 4),

il suffit de choisir

un

profil périodique adéquat (Fig. la) :

avec e= + 1 _pour 0,x,L et B = - 1 pour

L x 2 L (2 L

^{étant la distance entre} deux stric-

tions)

^{et a =}

h2/hl le

rapport de striction. En

effet, (A .1 )

^{devient :}

La

période

^{de 2 0 de cet} écoulement est telle _que

On remarque que le

produite S e

^{est une constante}

qui

^ne

dépend

que de la

géométrie

^des

parois :

2. ECOULEMENT DANS UNE CONDUITE. ^- Le trai- tement est tout à fait

analogue

^{au cas}

précédent.

Avec un

profil

^{de la forme :}

On arrive aux

expressions suivantes,

^{avec a’ -}

r2/rl

rapport de striction :

Bibliographie [1] FERRY, J. D., Viscoelastic properties of polymers (J. Wiley ^&

Sons, New York), ^1970.

[2] ^DE GENNES, ^P. G., ^J. Chem. Phys. ⁶⁰ (1974) ^5030.

[3] CHAUVETEAU, ^{G. et} KOHLER, N., Symposium of the SPE of AIME, Paper ^{JPE 4745} (1974).

[4] HINCH, ^E. J., Comm. Colloque Polymères ^et lubrication, Brest

(1974).

[5] ROUSE, ^P. E., ^{J. Chem.} Phys. ²¹ (1953) ^1272.

[6] ZIMM, ^B. H., ^J. Chem. Phys. ²⁴ (1956) ^269.

[7] PETERLIN, A., ^Pure Appl. ^{Chem. 12} (1966) ^563.

[8] DESRÉMAUX, L., CHAUVETEAU, G. et Mlle MARTIN, Colloque A.R.T.E.P., ^{Comm. N° 28} (1971).

[9] CERF, R., ^Fortschr. Hochpolym ¹ (1959) ^382.

[10] PETERLIN, A., ^J. Polym. ^Sci. A-2, 5 (1967) ^179.