814 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B-1960
Étude numérique
des régimes transitoires dans les canaux
Numerical study of transient conditions in canals
PAR MADAME M . T. G U Y O T
DOCTEUR E N HYDRODYNAMIQUE
J. N O U G A K O
E TI N G E N I E U R I . E . T .
P R O F E S S E U R A L A F A C U L T É D E S S C I E N C E S DE TOULOUSE D I R E C T E U R T E C H N I Q U E A L ' I N S T I T U T
D E M É C A N I Q U E D E S F L U I D E S
CL. T H I E E I O T
I N G É N I E U R E . N . S . E . E . H . T . P H O F E S S E U R A L ' E . N . S . E . E . H . T .
Calcul numérique, à l'aide de l'ordinateur I.B.M.
650, de la propagation des intumescences dans les canaux à écoulement' libre en régime transi- toire, moyennant trois hypothèses :
— m.ouvement par tranche;
— accélérations verticales négligeables;
— surélévations faibles par rapport au tirant d'eau initial.
A partir des équations de Saint-Venant, liées à ces hypothèses (équation de continuité et équa- tion dynamique), mise au point et vérification de deux méthodes :
a) Transposition numérique d'une méthode gra- phique déjà proposée par M. Nougaro à la 6" Assemblée générale de l'A.I.R.H. (com- munication D-5, La Haye, 1955);
b) Méthode i)lus complexe, mais aussi plus ri- goureuse, fondée directement sur ta théorie des caractéristiques.
Numerical calculation on an IBM 650 ordinator of the propagation of solitary waves in free flow canals, considering transient conditions.
The three assumptions nsed are:
1) Brealidown of the movement inlo successive steps;
2) Negligible vertical accélérations ;
3) Small wave heights above the initial water level.
Starting from St. Venant's équations continuity and dynamic équations and with the above as- sumptions the two following methods are dev- eloped:
a) Numerical transposition of a graphical me- thod put forward by M. Nougaro at the 6th General Meeting of the I.A.H.R. (Paper D-5, The Hague, 1955);
b) A method directhj based on the theory of characteristics which, through more com- plex, is also more rigorous.
I N T R O D U C T I O N
C o m m e dans beaucoup d'autres domaines de la science et de la technique, les machines à cal- culer modernes peuvent jouer u n rôle important dans l'étude des phénomènes transitoires hydrau- liques et particulièrement dans l'étude de la pro- pagation des intumescences.
Dès 1958, le Laboratoire d'Hydraulique de Toulouse a mis au point u n premier programme de calcul numérique de la propagation d'intu- mescences.
Depuis cette date, plusieurs autres programmes ont été établis donnant à la méthode plus de sou- plesse et de généralité.
C'est ainsi que nous présentons, dans cette communication, notre contribution à l'étude nu- mérique des régimes transitoires dans les canaux d'usines.
Rappelons brièvement les hypothèses que l'on adopte habituellement dans l'étude théorique des intumescences :
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1960014
N " SPÉCIAL B - 1 9 6 0 G U Y O T , N O U G A R O E T T H I R R I O T 8 1 5
— le m o u v e m e n t de l'eau se fait par tranche,
— les accélérations verticales sont négligeables,
— les surélévations sont faibles par rapport au tirant d'eau initial.
Moyennant ces hypothèses, on aboutit au sys- tèmes d'équations établies par Saint-Venant, l'équation de continuité :
dt dx dx
et l'équation dynamique :
dv , dv , , „ . dh n
+ v •- \- kv2 — qi — = 0
dt ^ dx ^ ,v dx
où S est la section mouillée;
v la vitesse moyenne d'une tranche liquide;
k le coefficient de perte de charge;
i la pente du radier;
qD le débit latéral par unité de longueur.
A partir de ces équations, nous avons mis au point et vérifié deux méthodes de calcul numéri- que de la propagation d'intumescence.
L'une, méthode très simple, a été la transposi- tion numérique d'une méthode graphique propo- sée par l'un de nous (1).
L a seconde, méthode plus complexe, mais aussi plus rigoureuse, est fondée directement sur la théorie des caractéristiques.
Les calculs ont été effectués à l'aide de l'ordi- nateur I.B.M. 650 de l'Institut de Calcul n u m é - rique de la Faculté des Sciences de Toulouse.
I. — P R I N C I P E D E L A M É T H O D E
Les équations fondamentales précitées éta- blies dans le cas d'un canal s'écrivent :
du , "du , , „ h v — Y- kv = dt ^ dx ^
dv
dx
+
rv 3 S dxi d:
dt dx
Si.
s
( D
(2) Généralement, les intumescences sont engen- drées par des discontinuités de fonctionnement (variation brusque de débit pour m a n œ u v r e brusque ou de la dérivée du débit pour une m a n œ u v r e linéaire).
Ces discontinuités se propagent et leur loi de déplacement est représentée, dans le plan (x, t) par exemple, par des lignes que l'on qualifie de caractéristiques.
L a détermination de ces lignes caractéristi- ques peut être obtenue à partir des équations fondamentales en remarquant que, par défini- tion, ces lignes sont lieu de discontinuité et par conséquent, sur de telles lignes, les dérivées par- tielles ne sauraient admettre une valeur unique.
Cette propriété a été signalée par M o n g e et utilisée par Massau.
Les dérivées partielles vérifient aussi les re- lations :
Les équations (1), (2), (3), (4) peuvent s'écrire, sous forme matricielle, qui permettra la détermi- nation des inconnues dv/dt, dv/dx, d S/3/, d S/3x, après avoir exprimé dh/dx en fonction de d2/dx.
E X P R E S S I O N D E dh/dx :
Canal cylindrique. — Pour u n profil déter- miné, h est une fonction connue plus ou moins compliquée de 2; donc dh/dx est déterminé en fonction de 3 S/3x.
Par exemple, on peut poser : o S , = B S /ij
B étant la largeur au miroir, d'où :
i
as
dh
dx B dx
Ouvrage non cylindrique. — L a relation entre S et h varie longitudinalement. Soit u n coeffi- cient de forme qui tient compte de la modifica- tion longitudinale du profil, tel que S =f(h, a) .
Le coefficient de forme a peut englober plu- sieurs paramètres.
, dv , dv , dv — -^-dt 4 - dx
dt dx
dS = - dt -]—-— dx
dt dx
(3)
(4)
(1) J. N O U G A B O . Note à FA.I.R.H. M é t h o d e graphique pour le calcul de la propagation des intumescences dans les canaux découverts.
Compte rendu de la 6° Assemblée Générale de l'A.I.R.H.
(communication D 5, L a H a y e , 1955).
81(3 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL B - 1 9 G 0
Dans le cas d'une galerie conique à profil cir- culaire, a sera le diamètre 0 de la section.
Dans l'hypothèse d'une section trapézoïdale, a désignera la largeur du radier B0 et le fruit des berges m .
Dans les deux cas, la loi a (x) est connue.
C o m m e n t exprimer alors dh/dx ? dépend de h et de a, donc :
dx
3/7
+
3 S 3a Jii=ot 3.x 3a constant est le cas 3/7 Ja=-.H 3.X(3 S/3/i)a = t : ( = B, car a d'un canal prismatique.
3a/3.x est connu en fonction de x.
(3 S/3a),,=(.( en un point (x, S) est une fonction connue.
3 S/3,x est la fonction inconnue principale, donc :
3/7
3x B 3x
/ 3 2 \ _3a_
ih=ct 3x
E n utilisant ce résultat, l'équation dynamique devient :
dv , dv , g 3 2 3/ T ° ~dx + "B" 3 X
3 2 3a
3a 3x Le terme (1/B) (3 2/3a) .(3a/3x) est sans di- mension, analogue aux pentes i et j; nous le dési- gnerons par /.
Pour simplifier les écritures, on peut poser : J = i — y + 7.
Ainsi l'équation (1) s'écrit : dv
dv . dv . g_ 3 2 df 1 " "3x~ + B" dx~ gj
Dans de nombreux cas, une condition aux li- mites impose une loi de débit. L a plus simple est la constance du débit consécutive à une m a n œ u - vre brusque.
Pour simplifier le calcul à une limite, il y a intérêt à prendre c o m m e fonctions inconnues le débit q et la section 2.
Les équations fondamentales deviennent alors, en utilisant la transformation v = (g/2) :
dq . dq 3 S -dt + q d t ~ q ^ r
g2 3 S
I 3x + kq2 dh~
dx dq_
3x
. 3 2
+ -3T =</<
qui, jointes à l'expression des différentielles dq et d 2, donnent en écriture matricielle :
0
dt
0
1
1
dx
0 dt S2
0
0
dix
dq dt dq
dx <li
X •—
3 2 dq
~df~ dq d 2 rfS d 2 rfS
dx
rfS Nous trouvons la relation différentielle vérifiée par les lignes caractéristiques en annulant le dé- terminant caractéristique :
dt2 ( g
dx
~dt~
V.2
•|- ) + 2 q dt. dx — S dx2 = 0 Vff (23/B)
X - ±Vflr(S/B) ou en désignant, c o m m e il est habituel, par c la valeur de la célérité \/g (2/B) :
dx/dt = v ±c
D e m ê m e , nous trouvons la loi de fonctionne- ment sur les caractéristiques, en annulant le déterminant obtenu en remplaçant la dernière co-
lonne du déterminant précédent par la colonne du deuxième m e m b r e .
= 0 7 — <I <7.T22
0 1 1 Qi
dt dx 0 dq
0 0 dt
Nous obtenons :
• 2 rf<7 • dx
4- df
2 d S 4- 2 ^ d 2
= 0 ou en remplaçant dx/dt par sa valeur le long des lignes caractéristiques :
— 2dg — (/- 2 - ± cX) 2 d 2 + 2 ç d 2
V
2 /+ dt [g
22
J ±2]
= 0 soit :(y= p c) d 2 — dg + df[# J 2 = h c<7(] = 0 Si on néglige le terme g J 2 i = cq„ nous avons,
N " SPÉCIAL B - 1 9 G 0 G U Y O T , N O U G A R O E T T H I R R I O T 8 1 7
le long des caractéristiques, l'équation différen- tielle :
dq = (yq= c) d 23
R e m a r q u e s :
1. Le signe devant le radical (ou le signe de- vant c) est différent pour une m ê m e caractéris- tique dans la valeur de la pente dx/dt et dans l'expression de la pente dq/d 23 :
dx
v ± c
dq
V zzz C
Nous appellerons caractéristiques descendan- tes celles qui vérifient :
dx
~dT
et caractéristiques montantes, celles qui véri- fient :
dx
Ht = v • dq
v - j - c
Il est évident que les caractéristiques descen- dantes suivent le courant et que les caractéristi- ques montantes vont contre le courant.
Dans ce qui suit, nous n'étudierons que les cas où v < c, c'est-à-dire le régime fluvial, circon- stance où les caractéristiques ont des pentes de signes différents.
2. Les valeurs des pentes des caractéristiques sont les m ê m e s que celles définies et employées par l'un de nous (2).
3. L a considération d'un canal dont la section varie de forme longitudinalement ou de l'in- fluence d'un débit latéral n'offrirait aucune dif- ficulté théorique.
4. L a m ê m e méthode est applicable pour l'étude des coups de bélier. Elle est utilisable dans la résolution de tous les systèmes d'équa- tion aux dérivées partielles du premier ordre du type hyperbolique.
II. B A S E D E L A M É T H O D E N U M É R I Q U E Le calcul numérique sera la traduction, en ter-
m e s de différences finies, des résultats de la théo- rie des caractéristiques. Mais il n'est pas inutile de concrétiser les équations obtenues par une représentation graphique.
Considérons deux plans de coordonnées (fig. 1) : -- u n plan x, t : espace-temps,
— un plan q, 23 : débit-section.
U n point de fonctionnement serait ainsi défini par quatre valeurs, x fixant la position de la sec- tion, t donnant la date, q le débit et 23 la section mouillée et par là, le tirant d'eau dans la section considérée à la date t.
Supposons connus deux points, M et N, dans le plan x, t, et leurs homologues M ' et N ' dans le plan q, 23.
A partir de M et M', traçons les caractéristi- ques a et, à partir de N et N', les caractéristi- ques p dont la pente a un signe différent. Nous obtenons par intersection le point P, P'.
Pour la mise en évidence du processus, suppo- sons que_les tronçons M F , N P dans le plan x, t, et NT"' et M'P' dans le plan (q, 23) sont rectilignes.
(2) J. N O U G A R O , dans son étude de la propagation des intumescences par la m é t h o d e graphique des caracté-
ristiques courbes. Fio. 1
818 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B-1960
E n posant s — ± 1 , nous pouvons écrire, en négligeant le terme complémentaire dû à la pente et aux pertes de charge :
: (W + £C )Mp
(V EC)M'P-
dx X p — tfjl
dt T P — TM
</p. — qw d S
s
r.
V ^31'm ê m e :
dx xP — XN dt ~ h-
—
dq — <7N- d S — V
(U — £ C )Np
( U + £ C )N. p .
Ces relations permettent de déterminer les valeurs de t, x, q, S pour le point de fonction- nement (P, P' à partir des valeurs des m ê m e s variables aux points de fonctionnement (M, M') et (N, N'), ce que nous traduisons symbolique- ment par :
(M, M O + (N,N') -»<P, P')
Nous allons donner à cette relation symboli- que une forme de récurrence qui sera la base de l'organisation du p r o g r a m m e de calcul n u m é - rique.
Pour la mise en évidence de cette relation de récurrence, considérons d'abord u n cas très sim- ple, mais cependant valable dans de nombreu- ses applications; on suppose que :
1. Initialement, les sections afférentes aux points de fonctionnement sont équidistantes d'un intervalle 2 Ax;
2. Les valeurs absolues (xv — •-xM) ou (xP — xN) sont constantes et égales à Ax;
3. Les intervalles de temps :
(tp — fM) ou (tP— fN) sont aussi constants et égaux.
Ces hypothèses sont celles faites par Bergeron
dans ses constructions graphiques relatives aux coups de bélier ou aux intumescences (3).
Dans le plan (x, 0, on obtient alors la repré- sentation très simple montrée par la figure 2.
M est repéré par les indices k— 1, t — 1, et N par les indices k -j- 1, t-—1.
Avec les hypothèses considérées, il ne reste plus c o m m e véritables inconnues au point (P, P') que les valeurs de q et de S et le point de fonc- tionnement pourra être repéré par (PO k t ou plus simplement, pour uniformiser les dénominations, par ( AM) .
L a relation symbolique :
(M, M') + (N, N') -> (P, P O devient alors :
(Af c_l i t_x) + ( Af c + l i t_i) ->(A,C,()
relation de récurrence évidente sur le schéma simplifié de la figure, mais sur laquelle nous insistons parce qu'elle est à la base de l'organi- g r a m m e de calcul.
E n effet, partant des données initiales t = 0 où tous les points (A7 f j 0) sont connus, nous cal- culerons tous les points de fonctionnement (A,. J pour le temps 1 (ce qui correspond graphique- ment à la ligne t = 1). Puis, ligne par ligne, nous pourrons calculer les points pour des temps con- sécutifs.
Dans le cas général de deux plans de coordon- nées, la relation symbolique :
(A,c_lf -f (Afc+i, ,_!> -> (A*, t)
est encore valable. Mais les indices k et if n'ont plus la m ê m e signification.
t j
(3) Cela revient à négliger dans le seul plan (x, t) la vitesse d u courant devant la célérité et à prendre pour celle-ci u n e valeur m o y e n n e constante. L a fixité de la position des sections où s'effectue le calcul néces- site d'ailleurs u n e condition légèrement m o i n s restric- tive; il suffit de donner à la célérité en tous les points, la valeur m o y e n n e C m o y le long d u canal à chaque ins- tant. Bien entendu, o n néglige encore la vitesse v devant la célérité. L a représentation dans le plan (x, t) n'est plus formée de losanges. L a valeur de c„,oy
sur u n e ligne est donnée par la relation c„,„y = Vjhmoy.
N° SPÉCIAL B-1960 G U Y O T , N O U G A R O E T THIRRIOT 819
D a n s le cas précédent, ils permettaient la dé- termination de x et de t; maintenant, ce ne sont plus que des numéros de référence.
L a figure 3 aide à comprendre le processus.
Initialement, on connaît les points de fonc- tionnement pour certaines valeurs de x (qui n'ont pas besoin d'être équidistantes). L'on donne à ces points de fonctionnement u n numéro d'ordre k suivant les x croissants, par exemple. Le temps nul est repéré par t = 0.
A partir de deux points de fonctionnement (Af c_i,0) et ( Af c + ] j 0) . nous pouvons calculer le point de fonctionnement repéré par k. L'abscisse x,s sera comprise entre xk_1 et xk+i. Le temps sera calculé par les formules aux différences fi- nies; il sera généralement différent suivant les valeurs de k, mais nous pouvons le repérer quel que soit A- par le temps de référence t = 1 qui exprime que ces points (A,. t) sont calculés, à par- tir des points connus au temps t — 0.
Ainsi, nous calculons tous les points de fonc- tionnement correspondant à t = 1.
D e m ê m e , nous pourrons calculer les points de fonctionnement ( Af c 2) de la ligne t = 2 à par- tir des points (Af c i l) précédemment, calculés.
Ainsi, avec la définition des numéros de réfé- rence, k pour la position et t pour le temps, la relation symbolique :
+ ( Af c + l i (Af c, ()
est toujours valable.
Par convention, nous désignerons dorénavant par :
(A7 c > () le symbole du point de fonctionnement
(x-, t, q, S) ;
Akt l'image du point de fonctionnement dans le plan (.r, t) ;
A'kt l'image du point de fonctionnement dans le plan (q, S ) .
III. — P R I N C I P E D ' O R G A N I S A T I O N D U C A L C U L
I. Processus de calcul :
D'après la relation symbolique :
(A,c_i, t-i) + (Afc+i, t-i) ~* (Af t, t)
nous avons vu que l'on pouvait effectuer le cal- cul ligne par ligne. L e p r o g r a m m e de calcul sera la traduction de ce balayage de chaque ligne t du point de référence 7c = 0 au point de réfé- rence k = r0 (r0 étant la valeur supérieure de k).
Nous ne nous occuperons pas encore des pro- blèmes posés par le calcul des points (A0, {) et
(Ar o t) situés sur les frontières, ni de la question
du calcul inutile de certains points non atteints par la perturbation.
Le balayage intégral pour k variant de 1 en 1 est représenté par la figure 4.
Mais nous avons préféré utiliser, c o m m e il est traditionnel dans les épures de Bergeron, la va- riation de k de 2 en 2 (fig. 5).
Nous reviendrons plus loin sur l'opportunité de ce changement. L e calcul de kk< t exige la con- sultation des valeurs des points de fonctionne- ment au temps (i—-1). O n doit donc conserver en mémoire les résultats du calcul des points d'une ligne pour le calcul des points de la ligne suivante.
Lorsque la machine aura exécuté le calcul du
dernier point de la ligne, un test devra déclen- cher la modification de t et le passage à la ligne suivante t -j- 1.
0 1 2 3 4 5 6 k
F I G . 4
0 1 Z 3 4 5 6 K Fus. 5
820 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B-1960
2. Organisation d u p r o g r a m m e :
Nous devons faire la distinction entre le cal- cul numérique proprement dit, exécuté confor- m é m e n t aux équations aux différences finies et l'organisation logique qui permet ce calcul.
Cette organisation logique remplace toutes les opérations que fait le dessinateur quand il trace une épure de Bergeron, par exemple, choix des points de départ Af c_, ,_1 et Ak.,.lt t_1 pour dé- terminer (A,.it), utilisation des lois particulières sur les frontières, interrogation sur le sens des variations de débits, etc.
L a machine est aveugle mais douée de m é - moire et de logique acquise par l'intermédiaire du programme. Moyennant des tests ou ques- tions, elle saura faire u n choix et ainsi suivre u n déroulement de calcul m ê m e très complexe.
Les tests, les modifications de programme, les transports de résultats, les ordres de perforation ou de lecture constituent l'infrastructure du pro- g r a m m e , u n squelette dans lequel vient se loger le calcul. Et remarquons que cette armature reste valable si l'on modifie partiellement les équa- tions de base.
Pour employer une image taylorienne, l'orga- nisation est la fonction administrative dont le calcul est la fonction opérationnelle. Nous ver- rons en détail la construction de cette organisa- tion logique dans les cas particuliers étudiés plus loin.
3. Utilisation d'ensembles de calcul :
E n général, nous rencontrerons deux sortes de points de fonctionnement :
— - les points à l'intérieur du domaine (x, t) défi- nis par les limites;
— les points sur les frontières k = 0 et k = r„.
Cela nous a conduit à constituer trois ensem- bles de calcul :
— Calcul général suivant la relation :
(A-ic-i, t-d + (Afc+i, - » (As, »)
— Calcul particulier en 7c == 0. Le calcul se fera en tenant compte des conditions particuliè- res F0 (f, q, S) = 0 existant en k = 0 et de l'influence de (A1,f._1).
— Calcul particulier en 7c = r0. C o m m e ci-dessus, le calcul se fera à partir de (Ar„_1 et Fr„ (t, q, S) = 0.
Ces trois ensembles ne seront pas entièrement cloisonnés et des éléments de calcul valables pour les trois cas seront c o m m u n s . Ils seront établis en sous-programme. Ainsi, le calcul lui-même apparaîtra c o m m e u n ensemble à tiroirs.
Par exemple, le calcul de la largeur au miroir B en fonction de la section mouillée S, la déter- mination du coefficient de perte de charge fai- sant intervenir le calcul du rayon hydraulique, le cheminement suivant des caractéristiques cour- bes seront c o m m u n s aux trois calculs de (A,c t) ,
( A0 i t) et ( Ar„ , , ) .
IV. — O R G A N I G R A M M E D U C A L C U L
L a ligure 6 présente u n schéma simplifié de l'organisation du calcul. L a partie opérationnelle, résolution numérique des systèmes d'équations aux différences finies, est présentée globalement sous la rubrique « calcul général », « calcul
(A0 ( () », « calcul (A,.o ,) », ceci à la fois pour al-
léger l'organigramme et pour bien mettre en évidence l'interchangeabilité de la formule de calcul.
Dans le cas général du calcul, pour les r0 tron- çons, on effectuera plusieurs boucles pour des valeurs de 7c en progression arithmétique de rai- son 2. Les tests k = r0 — • 1 ou 7c == r0 décident de la fin des boucles. Notons encore deux détails :
1. Lorsque le phénomène transitoire s'amortit
par suite des frottements, les variations sont moins aiguës et l'on peut se contenter d'une moindre précision. Pour diminuer le temps de calcul, on peut faire u n balayage avec A7c > 2.
Cette nouvelle valeur p = A7c peut être assimilée à u n pas et l'on peut la faire croître plusieurs fois dans la suite du calcul.
2. Dans le cas de m a n œ u v r e linéaire, pour se rapprocher le plus possible de la linéarité (avoir en A0, t des variations A<7 assez petites), on peut ne considérer qu'une fraction du canal, décou- pée en r0 tronçons.
Lorsque la perturbation aura franchi cette por- tion de canal, on considérera une longueur plus
N " SPÉCIAL B - 1 9 G 0 G U Y O T , N O U G A R O E T T H I R R T O T 8 2 1
départ calcul
sortie de sortie de k0ett ko etr initialisation
translation
initialisation translation
F I G . G
grande, découpée en un m ô m e nombre de tron- Ce schéma n'est encore qu'une ébauche el l'on çons. Cette opération est réalisée par l'ensemble peut multiplier les opérations logiques pour ren-
« modification de longueur utile ». dre le programme plus souple et plus nuancé.
V . — É T U D E P R A T I Q U E D E L ' I N T É G R A T I O N N U M É R I Q U E
Nous obtenons le point de fonctionnement (Ak, A'k) par intersection des courbes intégrales pas- sant par les points A, A'l!_ht_-l el (A, A 'f t + 1 > et vérifiant les relations différentielles :
dx/dt = u-±z c :
(v — c) du — dq + g J 2 dt== 0
L e seul- m o y e n d'intégration le plus généralement possible est l'intégration numérique. Reste alors le choix de la méthode d'intégration qui peut dépendre du découpage adopté et des valeurs des paramètres caractéristiques d u cas traité (débit, pente du canal).
L'on peut décomposer la résolution du système intégral en deux parties :
— intégration des équations différentielles;
— résolution du système obtenu près de la solution en utilisant' les différences finies.
822 L A H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL B-1960
Soit d Fi = 0 l'une des quatre équations différentielles du système J à intégrer
/-AVi
dF,: = f"" d F, + f'"" d F, = F, (A»*.!) — F4 (Af c_x) + /"A* d F, Si AW,;.^ est suffisamment près de l'a solution Ak<t, on peut écrire :
f A * d F . = ( i ï ± ) d A
(f A est caractérisé par dx, dt, da et d I! ou, si l'on passe aux différences finies, par:
Ax =
X A XA0,±1
Af = Ag = A S =
Si
A°
ft_i
etA°
f c + 1 sont des valeurs approchées du point de fonctionnementA,.,,
(x, t, q, S), celui- ci sera solution du système :X ~ + { t — f A V x } iV + C )A »t_ j +
/ - A V At_t
(o -f c) dt = ()
x — x. + ( t — t .
tc).„ + / "'*(» — c)df = 0
(S — S ) ( y - c) l 0 + f^'" ^ — c) d S + a — * A 0 ) («7 J 23) + / *A V l </ J S df = 0
A*+ 1 A *+ 1 Aof c t l y A,
w( o 4 - c ) d S + ('-'A. ) ( ? J S )A 0 + / t + 1f f J S d f = 0 L a valeur ainsi trouvée pourra servir de point de départ à une itération.
Pour éviter la résolution d'un système de quatre équations aux inconnues x, t, q, S, on peut décomposer l'itération en deux opérations portant successivement sur le couple (x, t), puis sur le cou- ple (q, S).
Considérons le système différentiel :
d s - - ^ L
v±c v±c Pour alléger l'écriture, posons :
D=gJX = g
+ (g J S) = 0
kq2 . 1 3 S 3a
I • •
S ' B 3a 3x O n divise l'intégration des équations ci-dessus en deux parties :
J \ V±CJ jAk_( B ± C
L a seconde intégrale sera calculée par une moyenne pondérée
r p d t _ r_
J y r t e J V
D dx D
v2 — c2
Ax O n peut ainsi choisir l'expression simple :
C J A
N° SPÉCIAL B-1960 G U Y O T , N O U G A R O E T THIRRIOT 823
L'intégrale / d S — [dq/(v + c)] peut être calculée à l'aide d'une formule classique d'intégra- tion pas à pas. O n peut, par exemple, employer la formule de Runge Kutta utilisée dans la détermina- lion des courbes de remous. Mais la précision de cette méthode n'est pas nécessaire, car l'on ne doit pas oublier que les hypothèses simplificatrices de base introduisent des causes d'imprécision, et il est inutile de rechercher une exactitude mathématique qui n'aurait aucun rapport avec les possibilités de vérification expérimentale. L'on peul se contenter de la formule de la tangente ou au plus de la
méthode d'Euler.
Le cheminement, le long des courbes, reste encore valable dans le cas de l'hypothèse d'une faible incidence du terme complémentaire àt [ D / O -j- ec)]. Car, en toute rigueur, l'on ne peut séparer l'intégration de l'équation (5) en deux parties. Il y a interférence entre les A'aleurs de D et de S tout au long des courbes intégrales. Néanmoins, dans la plupart des cas traités, l'hypothèse simplificatrice se trouve bien vérifiée.
VI. — M É T H O D E N U M É R I Q U E S I M P L I F I É E N ' U T I L I S A N T Q U ' U N P L A N D E C O O R D O N N É E S
Dans l'étude sommaire de certains problèmes ou dans l'examen systématique d'avant-projet, il peut être intéressant de connaître rapidement l'évolution des phénomènes au cours du temps dans une section ou le long de l'ouvrage à une date déterminée.
Principe et hypothèses
L a méthode numérique d'étude d'intumescen- ces, précédemment exposée, nécessite pour l'ex- ploitation des résultats de porter les valeurs des points de fonctionnement dans le plan (x, t) et de procéder à des interpolations.
Ce but est atteint dans la méthode n'utilisant que le plan de coordonnées (S, q). Les hypothè- ses simplificatrices ont déjà été signalées dans la mise en évidence de la formule de récurrence de base.
1. L a position, le long du canal des profils où s'effectue le calcul, est fixe.
2. Le temps est déterminé approximativement à partir de la valeur moyenne de la célérité, à chaque instant, tout au long du canal.
cm(t)
Ces deux hypothèses montrent que, dans le plan (x, t), on néglige l'influence de la vitesse v du courant devant la célérité des ondes, que l'on considère indépendante de l'abscisse. Mais, no- tons que ces restrictions sont faites seulement pour les opérations portant sur le plan (x, t) et non le plan (q, S).
Celle méthode numérique est, avec l'utilisation des variables (q, S ) , l'analogue de la méthode graphique des caractéristiques courbes mise au point par l'un de nous.
Critiques et hypothèses
Les hypothèses admises faussent la position dans le plan des points de fonctionnement. Cette erreur a évidemment une incidence sur la déter- mination des valeurs de S et de q (à cause des pertes de charge, de la non-uniformité possible du régime initial et des singularités éventuelles du profil du canal) par l'intermédiaire du terme Af [D/(i7=tc)].
Nous étudierons plus loin l'importance de l'in- fluence de ces hypothèses et l'évolution de l'er- reur commise sur la détermination des points
A( a ) | t ). Nous indiquerons aussi une amélioration
possible dans la détermination du temps.
Cependant, nous pouvons déjà affirmer que, dans la plupart des cas rencontrés dans la prati- que industrielle, cet écart d'avec une détermina- tion plus rigoureuse de la position de A( a ! i {, reste dans des limites acceptables. L a meilleure preuve est la très bonne concordance des résultats d'es- sais numériques avec les mesures expérimen- tales.
Réalisation pratique
L a seule partie du p r o g r a m m e à modifier est le sous-programme de calcul de x et t dans l'en- semble calcul général.
x étant déterminé par k, il suffit de calculer une valeur approximative, de t.
8 2 4 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL B-1960
O n suppose que les dates de départ des ondes de Af t_l i t-i et Af c + 1 > t_1 sont identiques. Dans ces conditions, l'intervalle de temps sera en- viron :
"=-£(-4 — )
2 \w + c v-— cj
et l'on admettra pour valeur de t au point Af r i t : 2 ^ 2 \v + c D — CJ Cette valeur présente deux défauts :
— elle n'est pas rigoureusement exacte;
— elle n'est pas cohérente avec les hypothèses simplificatrices de base.
E n effet, celles-ci postulent que le temps est le m ê m e pour tous les points A;. d'une m ê m e ligne 1 et égale à fm o y.
Mais la formule proposée présente cependant u n intérêt. Etant plus proche de la réalité que la valeur tmoy, elle permet d'apprécier l'ordre de grandeur de l'approximation consentie pour l'emploi de la méthode simplifiée.
D e plus, il sera mis en évidence plus loin que cette détermination du temps ne détruit pas la simplification introduite par les hypothèses rap- pelées précédemment.
Emploi de caractéristiques rectilignes dans le plan
Lorsqu'on veut ajouter à la simplicité du dé- pouillement, la réduction du temps de calcul, on peut supprimer le cheminement le long des ca- ractéristiques courbes.
Cette économie peut être obtenue de deux manières :
— en shuntant dans le programme le sous- programine d'intégration pas à pas sur les caractéristiques du plan (q, S) ;
— en introduisant une valeur du pas &q supé- rieure à l'intervalle de variation du débit.
Ainsi le test q —qAo < àq dirigera tou- jours vers la dernière opération qui est la
détermination linéaire du point de fonction- nement.
D'après l'a confrontation des résultats obte- nus avec les essais sur modèle réduit, l'emploi de caractéristiques rectilignes donne des résul- tats peu précis, mais, dans le sens de la sé- curité, en ce qui concerne les ondes positives.
Cette méthode rapide convient donc pour une étude de l'ordre de grandeur des surélévations dues au passage d'une intumescence.
Comparaison de la m é t h o d e simplifiée et de la m é t h o d e complète
L a méthode fondée sur l'emploi de profils de calcul fixes est moins rigoureuse que la méthode générale utilisant quatre coordonnées x, t, q, S, pour définir u n point de fonctionnement.
Les résultats obtenus par la méthode simpli- fiée sont moins précis, surtout en ce qui concerne le temps, que ceux fournis par la méthode com- plexe. Mais l'exactitude permise est générale- ment suffisante dans la pratique, surtout si l'on remarque que les hypothèses fondamentales et le fait de négliger les oscillations secondaires introduisent des causes d'approximations impor- tantes dès l'établissement des équations de base de la théorie générale.
Les avantages principaux présentés par l'em- ploi de la méthode simplifiée sont les suivants :
— dépouillement rapide et aisé des essais n u m é - riques : la lecture des résultats permet la connaissance immédiate de l'évolution de l'écoulement en u n profil en fonction du temps;
— adaptation au cas de cours d'eau naturel en introduisant dans le groupe de mémoires- réserve d'un profil des paramètres caractéris- tiques d'un tronçon, largeur au radier, fruit des berges, coefficient de Strickler;
— localisation des singularités. Pour faciliter le calcul, il suffit de conserver dans le groupe des cellules-réserves, les grandeurs caracté- ristiques à gauche et à droite (ou amont el aval) du profil singulier.
Il y a donc intérêt, avant toute étude numéri- que, de juger si la distorsion due à la méthode simplifiée est acceptable.
N" S P É C I A L B-19f)() G U Y O T , N O U G A R O E T THIRRIOT 825
VII. — C O N D I T I O N S A U X L I M I T E S
Détermination d u point de fonctionnement en front d'onde
L a méthode d'intégration qui précède s'appli- que au calcul du point de fonctionnement en corps d'onde ou éventuellement en front d'onde lorsque celui-ci est peu incliné.
Des modifications sont à introduire lorsque la lêle de l'intumescence est abrupte.
Le programme général de calcul est encore valable, mais il sera modifié en deux points : va- leur de la célérité et évaluation du terme D.
Les équations définissant le m o u v e m e n t du front d'onde sont apparemment différentes des équations régissant le m o u v e m e n t en corps d'in- tumescence résumées dans le système:
( dx
) v ± c dt
i
(v ± c) d S — dq + D di 0(D (2) Dans le plan (x, t), la première équation est en- core valable pour la propagation du front d'onde sauf à modifier la valeur de c.
Il faut remplacer la vitesse c = V<7 (S/B) d'une onde superficielle par la célérité ct.
L'équation de continuité (v0 =t cf) A S = A Q est la traduction en différences finies de la seconde relation différentielle où l'on néglige le terme D dt.
Cette analogie formelle suggère la possibilité d'utiliser le programme existant pour le calcul des conditions de fonctionnement en front d'onde.
Calcul des conditions de fonctionnement initiales
Le régime initial est caractérisé par une courbe de remous. L a détermination de la ligne d'eau initiale s'effectuera par intégration pas à pas de l'équation différentielle caractérisant le régime graduellement varié.
Cette équation, déjà rencontrée traitant des courbes de remous est :
rfs _ — g « — 7 + 7)3
ou, avec les notations déjà employées
d u
Ddx mn
L a programmation du calcul de d S / d r sera facilitée par l'emploi des sous-programmes de calcul de D, m et n existant déjà dans le pro- g r a m m e général.
x déterminée par h A x varie de 0 à ru A x — L.
Le calcul des valeurs des fonctions cherchées se fait dans les cellules-travail et les résultats sont envoyés dans les cellules-réserves corres- pondant à la valeur de k.
Calcul des points de fonctionnement aux limites
L a détermination des grandeurs t, q et S dans les sections amont et aval dépend des conditions de fonctionnement particulières en ces points.
t sera déterminé par intersection de la carac- téristique {x, t) issue du point At. t_x et de la loi x = Ct e.
S et q seront solution du système : 0 condition à la limite
dq , f D dx F (q, S, t)
f d ? +
/"-*£-+ / " _ P ^ - = o
J J v ±c J v~ ± c-
dx
E x a m e n s des conditions aux limites les plus fréquemment rencontrées
1. S E C T I O N D E M A N Œ U V R E À - = 0 :
Généralement, on impose une loi de débit : a) q — Ct e est la plus simple, mais aussi la plus fréquente, par exemple dans le cas du dé- clenchement brusque, q = 0. C'est l'hypothèse généralement la plus défavorable au point de vue sécurité et son étude permet de prévoir les limi- tes de surélévations.
b) q = / (t). L a forme de la loi la plus couram- ment rencontrée est la variation linéaire du débit.
Le débit sera alors caractérisé par le débit qn
à l'instant initial t = 0+ et l'accélération y, tel que q = q0 + yt.
c) Manœuvres superposées. — Si l'on consi- dère le cas d'une usine où l'on effectue des prises de charge entrecoupées de déclenchements brus- ques, la variation du débit peut être repré-
8 2 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL B - 1 9 G Û
3. I N F L U E N C E D ' U N E V A N N E D E F O N D :
L a loi de débit de la vanne est [q, 2 (t), t] ou / (q, 2, f) le temps intervenant dans la loi de le- vée de la vanne.
O n peut encore utiliser le procédé ci-dessiis en faisant intervenir dans l'itération le temps qui variera peu.
4. P A S S A G E E N C H A R G E D ' U N E I N T U M E S C E N C E :
D e u x cas intéressants de passage en charge d'une intumescence sont le raccordement d'un canal à écoulement libre avec une galerie et le passage en siphon entre deux canaux.
a) Jonction d'un canal et d'une galerie d'ame- née en charge. — Avec les notations représentées
sentée par la figure 7. L'amplitude des paliers et des variations dépend du nombre de grou- pes en fonctionnement et en régime instable (dé- clenchement). L a loi de débit, m ê m e complexe, peut être mise en mémoire dans l'ordinateur, mais
il est plus simple de prévoir une lecture de la valeur du débit q(0i t) lorsque va s'effectuer le calcul du point (t, q S) de la section de m a - nœuvre.
2. I N F L U E N C E D ' U N D É V E R S O I R :
L a condition à la limite, ici de forme f(q 2 ) = 0 a pour expression :
Q = khh VTgh ^Tg h^2 (S) O n emploie toujours le m ê m e processus :
détermination d'une valeur approchée par intersection de la caractéristique rectiligne issue de A,.o_li t_1 et de la courbe f (Q, S) = 0;
— cheminement sur une caractéristique courbe jusqu'à proximité de la solution;
— détermination de la solution c o m m e intersec- tion d'un segment rectiligne et de la courbe f (Q, 2) à l'aide du p r o g r a m m e déjà utilisé pour obtenir la solution approchée.
L'élément nouveau est donc la résolution du système :
Q — Q A " , ( f _ f Ar _ i) D
s — 2
, „ = m — — H °n mo yQ = kL V 2 g /rV2 (S)
Si OS(0/3Il(«-i)) < 1,
c'est-à-dire [(ArL VTgj/m] [(3/2) h] [3/i/92]<l, on peut employer une itération qui donnera à la fois Q et S."
i
S
/
F
i
S
/ Y
i
i
S
/ Y
! H
j
Y
! — — o
i
Y
\1 L !
F I G . 8
sur la figure 8, le système obéit au système d'équations :
dS — d
Q
, D dx „7,
T + IçT =
0d Y
F = Q - Q ,
C o m m e S et H sont liés de manière biunivo- que, ce système définit les trois inconnues Q, H et Y, compte tenu des conditions initiales.
L a condition à la limite en Aro, désignée par
Fn > (£, q, S ) , qui s'exprimait précédemment au
m o y e n d'une équation algébrique, est maintenant traduite de manière plus complexe par les équa- tions :
dt = H — Y — c Q2
dY
dt
Q — Qr
Mais le principe de résolution est toujours va- lable. L e point de fonctionnement (A,.o ,) est dé- terminé à partir de (Aro_ltt_1) et F,.o (t, q, q', 2).
Seule, la partie du p r o g r a m m e afférente au
N" SPÉCIAL B-19G0 G U Y O T , N O U G A R O E T THIRRIOT 827
« calcul A,.o » sera modifiée de façon à effectuer la résolution du système différentiel.
Le calcul de (Ar o i t) ne fait intervenir que des cellules — réserve dont on connaît la position, le
stockage des fonctions supplémentaires Y, Qc
qu'il faut consulter n'introduit donc aucune dif- ficulté.
L a résolution du système différentiel sera ef- fectuée par itération. U n e première approxima- tion localise la solution. Ensuite, après avoir effectué u n cheminement sur les courbes inté- grales, on peut, au voisinage de la solution, linéa- riser les équations et les transformer, après pas- sage aux différences finies, en u n système linéaire facile à résoudre.
b) Siphon reliant deux portions d'un même canal. — Le problème du passage en siphon d'une
intumescence présente une analogie formelle avec le problème précédent. Cependant, une dis- tinction s'impose. Il ne s'agit plus de condition à la limite, mais d'existence d'une singularité en cours d'ouvrage.
tion propre au siphon, le calcul de Ait t s'effectue suivant le schéma :
(•Â-j—i, t—i) ~T (A-i+i, t—i)
+ Fs (Q4,
H
h,
H.i2, () -> (A{1, t Af c, () Dans le traitement numérique, le siphon peut se réduire à une singularité ponctuelle. Tout se passe alors c o m m e si l'on avait u n profil unique où se produirait une discontinuité, avec des va- leurs différentes à droite et à gauche. Il est alors nécessaire pour ce profil de mettre en réserve deux groupes de valeurs Q, S, v, c correspondant aux caractéristiques du fonctionnement du point immédiatement à l'amont et immédiatement à l'aval.O n peut d'ailleurs généraliser cette façon de procéder à la plupart des singularités (piles de ponts, prises d'eau). L a distinction entre valeurs à droite et valeurs à gauche est particulièrement utile dans le cas de modification de section.
Revenons à la détermination du point de fonc- tionnement (Aiu t Af e ,,)•
Suivant la disposition dans le plan (x, t) des caractéristiques issues de At_x et Ai + l, il faut opérer une interpolation ou non.
U n point important dans la préparation du cal- cul est l'incidence du siphon sur le découpage du canal.
Si nous choisissons une méthode du second ordre, l'équation dynamique du siphon entre les instants t — 1 et t se traduit par :
(<?*-! + 9t) ht
F I G . 9
Avec les notations de la figure 9, les équations régissant le fonctionnement du siphon sont les suivantes :
L dQ
g S dt I L — H2 — c Q"
dQ , D t dx
d E-i
Vt C i
dQ
+
tV — c. = 0« 2 + C2 | V2
j__ Dj» dx _ Q
Notons que, dans ce cas, il apparaît deux équa- tions dues aux caractéristiques, ce qui va com- pliquer le problème, car il faut calculer en m ê m e temps les points de fonctionnement en A^ t et A4 2 et rien ne permet d'assurer, a priori, que dans le plan (x, t) les caractéristiques issues de
A ^ i , e t A;
+ i , t~i _i se rencontrent sur la droite Si on désigne par Fs (Q, H1 ; H2, t) = 0 l'équa-en posant
H , c Q2
U n e condition est à respecter : il ne faut pas que la variation A QS de débit soit trop grande et, en particulier, supérieure à la variation totale due à la manœuvre.
Essayons de préciser cette condition : la va- leur de A QS maximale correspond à la valeur maximale de d Q/dt, soit :
dt
L H2)max = - j — A HA H est la surélévation maximale due à l'intu- mescence.
Or, d'après l'équation de continuité des intu- mescences :
AQmax # c A S # cB X A H il vient donc
AQs i p h„„ g (S/L) A H At g S A.r
A Q ,u a x i cB A H L B «s
8 2 8 LA H O W L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL B -1960
L a condition à vérifier A Qs i l ) h o n/ A Qm a x < 1 se traduit donc par (S/S) (Ax/L) < 1.
E n fait, dans le cas d'une détermination du second ordre :
A QS = -y(<p0 + <Pi)
Si A QS est m a x i m u m , ox# 0 ; donc, il suffit que :
S L
Cette inégalité permet de vérifier si la valeur du découpage choisie est correcte.
E x e m p l e numérique
Soit u n canal à profil trapézoïdal dont les ca- ractéristiques sont :
—- longueur 5 k m
— pente 2,5 %
— largeur au radier 5 m
— tirant d'eau normal 3,60 m
— fruit des berges 2
— débit 70 ms/ s
U n siphon de 340 m de long et de 25 m2 de section assure le passage d'un thalveg. Pour que le calcul soit valable, il faut envisager u n découpage qui peut être déterminé à l'aide d'un
calcul relativement simple et tenant compte de la présence d'un siphon.
Ici, il faut donc diviser le canal au m i n i m u m en huit tronçons. Si l'on désire avoir une varia- tion plus continue du débit à la traversée du si- phon, il faut, bien entendu, choisir u n nombre de tronçons plus grand.
5. C O N C L U S I O N S :
A u x limites, le calcul des points de fonction- nement s'effectue toujours suivant le m ê m e schéma symbolique :
( A V _L T ..O + F (S, q, t, y, z) -> (A°,.o, 0 ij, z représentant des grandeurs extérieures au canal (par exemple niveau dans une chambre d'équilibre, ouverture d'une vanne, etc.).
L a loi de fonctionnement sur la limite F (2, q, t, y, z) = 0 peut se présenter sous la forme d'expressions algébriques plus ou moins compliquées (par exemple q = CT E, q = m(t) H3/2)
ou sous la forme de relations différentielles uni- ques ou multiples.
Dans tous les cas, la méthode de résolution la plus générale et la plus aisée à mettre en œuvre est u n procédé itératif dont il faut évidemment vérifier la convergence.
L'itération peut se décomposer en plusieurs phases successives. Il faut d'abord chercher une solution approchée à l'aide d'une méthode du premier ordre, par exemple.
Puis, au voisinage de la solution, on transforme les équations algébriques ou différentielles en u n système d'équations linéaires obtenues en utili- sant des différences finies.
VIII. — E X E M P L E S D ' A P P L I C A T I O N
Le procédé de calcul précédemment exposé permet d'aboutir à deux méthodes numériques :
1. L u n e d'elles, méthode simplifiée, correspond à l'hypothèse, citée plus haut, de la fixité de la position des sections de calcul;
2. L'autre est l'application intégrale de la théo- rie des caractéristiques.
Nous ne pouvons pas, dans le cadre de cette communication, exposer en détail chacune d'el- les. Toutefois, il nous semble utile de fournir deux exemples d'utilisation.
1. Etude par la m é t h o d e simplifiée d'une fer- meture brusque d'un débit à l'aval d'un canal de section trapézoïdale
L'ouvrage présente les caractéristiques sui- vantes :
— longueur du canal 5 700 m
— section trapézoïdale : largeur
au radier 5,50 m
— fruit des berges 3/2
~ débit 130 m3/ s
0,5
1 4
0,5-
1 0 0
M é t h o d e n u m é r i q u e caractéristiques rectilignes
" 11 11 curvilignes
E n r e g i s t r e m e n t
t en s e c o n d e s
2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
Fia. 10
t en s e c o n d e s
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
F 1 0 . 11
j|5 56^5 73,5 83,6 92 en mètres
830 L A H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL B-1960
— coefficient de Strickler k = 57
— pente du radier i = 0,15 %0
L'état initial est caractérisé par la ligne d'eau H (x) correspondant à u n régime graduellement varié.
L a figure 10 établit la comparaison entre les résultats obtenus soit par expérience sur m o - dèle réduit, soit par calcul numérique.
Les courbes H (t) ont été tracées pour deux sections respectivement situées à 570 m et 1 140 m de l'aval.
2. Etude par la m é t h o d e complète d'une ou- verture lente de débit à l'amont d'une galerie de fuite de profil circulaire Les résultats présentés correspondent à une ouverture très lente, car les manœuvres rapides provoquent, dans les cas considérés, la mise en charge de la galerie dans le tiers aval.
' ' H en centimètres
Les caractéristiques de la galerie sont les sui- vantes :
— longueur 92 m
— - diamètre 0,20
— coefficient de Strickler 100
-- débit 11,47
— durée d'ouverture 100 s L a figure 11 représente le plan (x, t) où ont été reportés les résultats x, t, S, q de l'essai numéri- que. O n notera la courbure des caractéristiques.
Par interpolation, on a déduit les courbes h (t) dans plusieurs sections (fig. 12) et les profils en long à divers instants (fig. 13). Ces deux cas m o n - trent ainsi nettement l'intérêt de ces méthodes numériques : le premier, par la concordance en- tre résultats théoriques et expérimentaux, le se- cond par la simplification du calcul.
h aval : 13,76
N " SPÉCIAL B - 1 9 0 0 G U Y 0 T , N O U G A R O E T THIRRIOT 831
C O N C L U S I O N S
E n conclusion, nous pouvons remarquer que les deux plus intéressantes caractéristiques de la méthode proposée sont la rapidité et la géné- ralité.
L a première qualité dépend plus particulière- ment de l'instrument de calcul. Par rapport aux procédés habituels, les calculatrices digitales per- mettent d'employer des méthodes dont la mise en œuvre nécessite des calculs très nombreux, longs et compliqués. Leur rapidité de calcul autorise la répétition de nombreuses boucles d'itération qui améliorent les approximations successives d'une solution et aussi le choix d'un découpage du domaine d'intégration en u n réseau de mail- les plus fines (ce qui correspond pratiquement à augmenter le nombre r0 de tronçons divisant le canal).
La précision offerte par l'ordinateur ne sera pas employée pleinement car, dans les problèmes intéressant l'hydraulicien, il est largement suffi- sant de connaître les résultats numériques à un pour cent près, car la théorie ne peut rendre exactement compte de la réalité. Mais, notons cependant que l'utilisation de huit chiffres si- gnificatifs (précision possible en langage F L E X ) permet de multiplier le nombre des opérations, tout en étant assuré d'une erreur relative infé- rieure au centième pour le résultat final.
Le second avantage essentiel de la méthode exposée est sa grande souplesse. Nous nous som- mes efforcés de donner au programme établi le
m a x i m u m de généralités. U n seul programme peut, moyennant quelques modifications, permet- tre de traiter la majorité des cas pratiques.
Il est très facile de faire varier les données physiques ou géométriques et ainsi étudier rapi- dement les conséquences de variation de débit, de durée de manœuvres ou de dimensions.
L'utilisation de la fonction S, section mouillée, permet sans difficulté l'emploi du m ê m e pro- g r a m m e pour différentes formes de section.
L'individualisation des calculs de (A0_ () et (A,.oi f) entraîne une facilité de modification des conditions aux limites (introduction d'un déver- soir, vanne de fond, etc.).
Et surtout le programme établi est valable quel que soit le type d'onde considérée, onde d'aval ou d'amont, onde positive ou négative. E n outre, u n calcul rapide permet de faire une étude de décou- page et de la convergence de l'intégration n u m é - rique. Ceci peut être très utile dans les construc- tions graphiques d'intumescences et peut s'étendre
d'ailleurs à la résolution de tout système d'équa- tions aux dérivées partielles du type hyperboli- que considéré.
Cet exposé n'est qu'un bref aperçu de la m é - thode que nous avons mise au point et qui s'avère d'ores et déjà très fructueuse. Les résultats que nous avons obtenus nous ont encouragés à pour- suivre l'exploration de multiples possibilités offertes par ce procédé de calcul d'intumescence.
D I S C U S S I O N Président : M R E M E N I E R A S
M. le Président remercie M . T H I R R I O T et note que la tendance actuelle est à la généralisation des méthodes de calcul à l'ordinateur électronique. D'aucuns pensent m ê m e que ce procédé supplantera à la longue le modèle réduit.
Le modèle réduit hydraulique classique n'est qu'un calculateur analogique établi pour résoudre u n problème bien déterminé. A u contraire, les méthodes telles que celle que vient de nous exposer M . T H I R R I O T peuvent s'adapter à des quantités de problèmes différents par la variation des formes analytiques et des grandeurs numériques.
M . P R E I S S M A N N d e m a n d e à M . T H I R R I O T s'il a eu des intumescences de front raide (mascaret o u réseau mobile) qui constituent des discontinuités de son réseau, et c o m m e n t il opère dans ce cas.
M . T H I R R I O T explique qu'il a rencontré des intumes-
cences à front raide dans le cas de galerie de fuite à profil
circulaire, et que, pour cela, il a utilisé le p r o g r a m m e général en introduisant la condition de front raide à l'abscisse atteinte par le front de l'intumescence, c'est- à-dire qu'il a employé des formules d u ressaut mobile pour déterminer la célérité. M . T H I R R I O T explique :
Aq
L a résolution d u système intégral présenté dans l'ex- posé se r a m è n e à u n c h e m i n e m e n t le long d'un tronçon sur les courbes intégrales (figure). Il a donc envisagé u n
