Propagation des ondes en mécanique ondulatoire; exemple des ondes élastiques

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Propagation des ondes en mécanique ondulatoire;

exemple des ondes élastiques

L. Brillouin

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

PROPAGATION DES ONDES EN

MÉCANIQUE

ONDULATOIRE;

EXEMPLE DES ONDES

ÉLASTIQUES

Par L. BRILLOUIN.

Sommaire. - Le problème de la quantification des ondes est étudié sur l’exemple des ondes élastiques; l’introduction des coordonnées _{généralisées} de Waller ramène la quantification d’une onde à

celle d’un oscillateur _harmonique à deux _{dimensions, dégéneré.} Cette remarque est essentielle, car il existe pour cet oscillateur fictif une conservation du moment de _rotation, qui se _{traduit par la conservation} du

sens de _propagation des ondes libres.

L’oscillateur _{harmonique dégénéré} est traité d’une manière _gènérale; le type des fonctions d’onde est indiqué pour un nombre _quelconque de dimensions; les ondes sont complètement écrites pour deux

dimensions, ainsi que les matrices les plus importantes; on y retrouve, en _particulier, les matrices de Peierls; ces calculs justifient toute la théorie des conductibilités électrique et calorifique des métaux, et répondent aux _critiques de Wilson.

SÉRIE

VII.

TOME VI.

Pu 5. MAI

1935.

1. Introduction. - Le

_problème

de la

_propagation

des ondes

_{matérielles,}

du

_point

de vue de la

_mécanique

nouvelle,

a été étudié par

plusieurs

auteurs,

à propos du _{rôle que}

_jouent

ces ondes dans la théorie des corps

solides.

_{L’agitation thermique}

_{d’un corps solide}

s’ana-lyse

en ondes

_élastiques;

le calcul des chaleurs

spéci-fiques

(Born, Debye),

celui de la résistance

_électrique

(Bloch, Peierls)

et la théorie de la conductibilité

calori-fique

des corps isolants

(Peierls)

reposent

sur la

quan-tification des ondes

_élastiques.

Or ce dernier

_problème

a été traité d’une manière

_qui

ne _{semble pas x-raient}

satisfaisante,

et il en est résulté de nombreuses

obscu-rités ou contradictions dans les raisonnements des

divers chercheurs. C’est

_{pourquoi je}

crois utile de

reve-nir sur ce

_problème

essentiel. La méthode

_rigoureuse

de

résolution,

que

je

vais

_donner,

_{pourra d’ailleurs} s’étendre aussi au

_problème

des ondes

électromagné-tiques,

et y trouver

d’importantes applications.

2. Vibrations propres d’un corps

solide;

coordonnées

_{généralisées (mécanique}

clans-sique). -

Considérons un _{corps solide de volume}

V,

en forme de

_{parallélépipède}

_rectangle,

de côtés

Comme conditions

_limites,

nous

_adopterons

les conditions

_cycliques

de

_Born,

c’est-à dire que nous

raisonnerons comme si ce volume V faisait

_partie

d’un

solide

_infini,

où le mouvement se

_reproduirait

périodi-quement

dans les volumes

_adjacents

à

_{V ~}

le

déplace-ment d’un

_point

x, y, z devra être le même que celui d’un

_{point x}

_{+ nt,L,,}

_y

₊

ln2L2,

z

-+-

11l3L3’

où

rni rn2 Jn3 sont des entiers

_quelconques.

Pour

_simplifier

l’exposé,

nous raisonnerons comme _{si le corps solide}

avait les

_propriétés

du milieu

_élastique

_continu,

avec

deux coefficients d’élasticité

_A,

_~, constants. C’est

adop-ter la méthode

_simplifiée

de

_Debye

_{pour le calcul des} chaleurs

_spécifiques

des

_solides,

_{et supposer des vitesses} de

_propagation

_W1

et

_1~~~

_{constantes, pour les ondes}

longitudinales

ou transversales. Cette

_{simplification}

n’introduit

_guère

de

_changements,

_{pour le}

_problème

qui

nous _{occupera ;} l’extension au cas des réseaux cristallins réels se trouve

_{complètement}

_{traitée par}

Waller et

_{Born (1),}

et aboutit à des

_équations

tout à fait semblables.

Je

_{reprendrai rapidement}

cette

_{partie classique}

l u

calcul,

que

j’ai

exposée

(2)

dans un fascicule consacré à

la théorie des

_métaux;

le début sera semblable

_(p.

15 à

17 de ce

_fascicule),

mais les conditions de

_{quantification}

(p.

9 ~)

étaient

_{incomplètement}

discutées,

et c’est là que nous aurons à

reprendre

utilement le

problème.

La densité

_d’énergie

_potentielle,

dans un solide

iso-trope,

s’écrit

(1) I. WALLER. Tllèse, Lpsala 91Ô ~1. BORX et ÙÎ. GÜI’PERT MAYER

Halldhuch der

_I)hysik,

Bd. XXIY, 2 j2e éd.. 1933), p. 645.

C) A. H. ~~’~tsoN. l’rOC. _Roy. 5’oc., A _{1932, 138, p.} 594;

L. BRILLOUIN. Cunducllbillte _eledrique et _thermique des ",étaux; Actualités scientifiques, n° _{89, Hermann,} Paria, 19~3. Ce fascicule

sera par la suite indiqué par l’abréviation L. B. Il. Sy.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - SÉRIE

VII. - _{T. VI.} - N° 5. - _MAI 1935. 13.

186

en se limitant aux termes du second

_degré

par

rapport

.

- aux dérivées du

_{déplacement il (composantes}

u,, U2,

u3),

ainsi

_quel

_{convient pour obtenir des ondes} se

propa-geant

sans

_{déformations ;}

les vitesses des ondes sont :

p, densité.

(3)

L’énergie cinétique

a _{pour densité}

Nous pourrons satisfaire à la condition

cyclique

en

posant

avec

L’indice r

_correspond

aux trois

_composantes

de z, ;

le

_déplacement

u doit être

réel,

ce

_qui

s’obtient en

prenant

L’astérique indique

l’imaginaire

conjuguée.

Les A sont des fonctions du

_temps,

_que nous _pourrons

consi-dérer comme de nouvelles

variables,

remplaçant

les

déplacements

u. La

_{décomposition (5)}

fait

_apparaître

des ondes

_planes,

sous

_{l’aspect exponentiel}

_{imaginaire ;}

+

a

_(a,

_b,

_c)

définit un vecteur normal au

_plan

d’onde.

Il nous faut calculer

l’énergie cinétique

et

_l’énergie

potentielle

totales,

pour le volume V.

Commençons

par

l’énergie cinétique.

Les et a’ étant définis en

_{(5), l’intégrale prise}

sur

~ est

nulle,

sauf si a’ ~ - _a, b’ ~ -

b,

c’ - - _{c ;} nous obtenons alors la valeur V.

Les

_{points indiquent}

les

dérivées 2013 ;

dans la somme

t

en

a b c,

le même terme se retrouve deux

fois,

pour a b c et pour -a -6 - r,’ regroupons ces deux

termes,

et

appelons 1’

une _{sommation faite pour toutes les} abc

valeurs

_positives

ou

_négatives

des

b, c,

tandis que a est

toujours positif.

C’est ce _que

_signifie

la formule

_(7).

Pour

_{l’énergie potentielle,}

nous aurons à suivre une

voie

_{analogue, l’intégration}

sur le volume V ne laissera

apparaitre

que des

produits A r, abc ~,2013a2013&2013c

de termes

_{imaginaires conjugués.}

D’autre

_part,

_les expres-sions

_{(div U)2}

_et

_{1 rot u 1 t-}

de la formule

₍₂₎

sont inva-riantes pour des rotations d’axes de coordonnées. Nous

venons de voir

_{qu’après l’intégration}

sur

_V,

il ne restera dans ces

_expressions

_{que des}

_produits

de termes a b c ,

-a -b -c

_{correspondant}

à un _{même vecteur de}

pro-+

pagation

a

_(aa

_signe

_{près) ;}

tous les termes mixtes de

+

produits

entre deux ondes a, a’ se sont éliminés. Dans

ce terme

_restant,

nous aurons

_avantage

à choisir des

axes

_{a p y (au}

lieu de x

_{y z) (fig.1)}

dont l’un _y est

longi-+

tudinal,

dirigé

suivant le

_{vecteur a,}

_{tandis que les} deux autres a

_et

sont

_{transversaux,}

_{perpendiculaires}

+

à a ; les nouvelles

composantes

de ce vecteur a seront donc

Fig, 4.

Les

_{déplacements}

u,

rapportés

à ces axes

_{0153 ~}

_y, sont :

les

_opérations

div et rot se

_simplifient

ainsi :

Avec les variables

A,

nous n’avons pas mis

_l’énergie

potentielle

totale

₍₉₎

ni

_l’énergie

_cinétique

totale

₍₇₎

sous forme d’une somme de

_carrés;

ces variables ne

sont pas

indépendantes.

Nous obtiendrons des varia-bles

_{indépendantes (Waller)}

en

_séparant

les

_parties

réelles et

_imaginaires;

_posons

a

_symbolise

les trois

nombres a, b,

c;

opérons

de même sur

_{A~, a}

et

_{Ayez ;}

_{l’énergie cinétique}

s’écrit

~=

_{V p}

masse du solide de volume V.

Chaque

coordonnée 1

ou

correspond

à une masse

M

M

d . ,

apparente

M ===

2013,

ce

_qui

se

_{comprend-aisément,}

car

l’onde

stationnaire ~

ne met en mouvement que la

moitié de la masse totale

_(Cf.

_éq.

_14).

Pour

_l’énergie

potentielle,

nous mettrons en évidence les

_fréquences

propres des vibrations

longitudinales

y et

transver-sales a # :

Nous trouvons alors

Les

_énergies

sont mises sous formes de sommes de

carrés ;

nos § q représentent

bien des variables

indé-pendantes,

mais le

_problème

est essentiellement

dégé-néré,

car

_plusieurs

de ces variables ont mêmes fré-quences propres.

L’égalité

de Y, et _{v3 est}

_fortuite,

et tient à

_{l’isotropie}

du milieu

_élastique

_que

_j’ai

choisi;

dans un

_cristal,

on

aura en

_général

à choisir trois

_{axes a #}

y

obliques

sur

+

le vecteur de

_propagation

a, et les trois

fréquences

va ~3, ~ , seront

inégales.

Le facteur

_1/2

est

_{indispensable,}

dans le

_changement

de variables

_(10),

pour faire

apparaitre

le même coel-ficient de

masse #

dans les

_expressions

_{(1 i )}

₍₁₃₎

d’énergie

cinétique

et

_potentielle.

La

_quantité

de

mou-vement P

relative

_à

est -

_{’, de}

_{même pour} r,.

Rappelons

que les sommations 1~ sont

prises

sur les

b,

c

_quelconques

et a

positif;

à

chaque

jeu

de valeurs

a,

b,

c

_{correspondent}

deux variables : soient

_Aa,

b, c et

A-a,

-b, -c soient et rab c; le nombre des

varia-bles est double de celui des a,

b,

c ainsi

limités ;

cela

redonne le même nombre total de variables que si l’on

comptait

les a,

b,

c avec a

_positif

ou

_négatif,

soit il’

valeurs des a,

b,

c et 3 N’

degrés

de liberté pour un

cristal contenant IV atomes.

3. coordonnées

_{généralisées y}

et leur

dégénérescence. - L’existence

d’une

_{dégénérescence}

essentielle et

_qu’on

ne

_peut

lever par aucune

perturbation

connue, est d’une

importance

primor-diale dans la théorie des ondes. Je

_n’y

_{avais pas} assez

insisté,

dans

_l’exposé

antérieur

_(loc.

_cit.,

_p.

_{19); je}

signalais

seulement ce

_fait,

- mais ensuite

je

quanti-fiais

_séparément

les deux oscillateurs

_harmoniques

en

~

et "1). Or c’est la

_{dégénérescence}

_qui

cause toutes les

difficultés,

et les obscurités des mémoires antérieurs. Prenons un oscillateur

_harmonique

à deux

dimen-sions,

avec des

_fréquences

différentes suivant les deux

axes; la force de

rappel

n’est pas

centrale;

il

n’y

a _pas

de

_principe

de conservation du moment

_{d’impulsion;}

l’oscillateur

_{dégénéré,}

avec deux

_{fréquences égales}

sui-vant les deux axes, est le seul

_qui

_présente

des

_forces

centrales,

donc une conservation du rnoment de

_quantité

de mouvement.

Fig. 2.

Revenons maintenant à nos

_ondes;

_prenons un

+

vecteur de

_propagation

a et un

_type

d’onde a; nous

trouvons deux variables

iua qua

qui

constituent un

oscillateur

_harmonique

fictif à 2

_dimensions,

_{dégénéré ;}

la

_fréquence

vja est la même

sur ~

et 14-

D’après (10)

et

(5),

on

_peut

_préciser

le sens

_physique

des

et r.

Chacune de ces variables

_correspond

à une

réparti-tion des

_{déplacements it}

_{qui forme,}

_{séparément,}

un

système

d’ondes stationnaires

_{(fig. 2).}

A tout mouvement du

_{point représentatii 1 .q}

dans

son

_{plan correspond}

une certaine

_répartition

des

dé-placements

u dans _{le corps}

_solide;

voici cette

188

TABLEAU 1.

A la conservation du moment

_{d’impulsion}

_{(plan ~ -~)}

correspond

la conservation de

_l’énergie

se

_propageant

sous forme d’onde

_libre,

dans le solide. La distinction

entre ondes stationnaires et _{ondes libres repose}

exclu-sivement sur la valeur de la

_phase

entre

~

et r. Or la

plupart

des méthodes

_{d’approximation,}

en

mécanique

ondulatoire,

négligent

les termes de

_phase,

sous

_prétexte

_{que leur rôle} est en

_général

inobserva-ble.

_Ici,

au

_contraire,

leur

_importance

est

essentielle;

nous _{y reviendrons}

_plus

loin.

Fig. 3.

4. L’oscillateur

dégénéré

à r dimensions en

mécanique

ondulatoire. - Nous sommes conduits

à considérer nos deux

variables 1 ,

_11, comme constituant

un oscillateur

_{harmonique fictif,}

dans un

_{plan ;}

sa

1

masse est

= §

Met sa

_{fréquence, v ; anticipons}

sur

la suite : le cas des ondes transversales en milieu

iso-trope

=

_v;)

nous conduira à un oscillateur

harmo-nique

à 4 dimensions

_(~~~~3).

Nous traiterons

_(~)

tout

d’abord l’oscillateur à r

_dimensions,

et nous

spécialise-rons _{ensuite pour} r = 2 ou 4.

(1) Quelques indications sur les cas à 2 et 3 dimensions sont données par CONDON et MoRSE. Quantum mp-chanics, Graw Hill, 1930, p.

L’équation

de

_mécanique

ondulatoire s’écrit

avec

Changeons

de variables :

nous trouvons

On

_disposera

alors de r - 1 variables

angulaires (1),

et du rayon s ;

l’équation

en s

_prendra

la forme

La constante A s’obtient _{par résolution des}

_équations

relatives aux variables

_{angulaires ;}

on trouve

La solution va faire intervenir les

Sonine

_qui

sont un cas

_particulier

de

_fonction

_hy

pergéo-métrique

coriflueîtie.

Ces

_polynômes

de Sonine

dé-pendent

de deux constantes m, n dont m

_peut

être un

nombre

_{positif quelconque,}

_{tandis que n doit être} un

entier

_{positif ;}

pour m =

±_ 1

on retombe sur les

polynômes

de Hermite,

bien connus _pour leur rôle dans l’oscillateur linéaire.

Posons

nous _{trouvons pour la fonction}

_f

_{(z) l’équation}

diffé-rentielle

équation

à comparer à celle

qui

définit la fonction

hy-pergéométrique

confluente

(1) H. Partial _{différential equations o f} n2ath. _Phys.,

Cambridge Uni. Press. 1932, p. 385, p 450-460. Bateman traite le

problème de _{l’équation} du potentiel, dans un espace à r = n + 2

dimensions; tout ce qui dépend des _{angles s’applique} exactement

Nous cherchons une

_{fonction ~}

_qui

reste _{finie pour}

toute valeur

_positive

de z et

_disparaisse

exponentielle-ment à

_grande

_distance;

or la fonction

_,F1

se

com-porte

comme en à

_grande

distance _{sauf pour les valeurs} entières

_positives

de n, où se réduit à un

poly-nôme. On obtient en

_effet,

_d’après

_(18),

le

développe-ment

pour n entier

positif,

le

_{développement}

s’arrête au niéme

terme et l’on obtient le

_polynôme

de Sonine

Nous obtenons la solution

_générale

en

_comparant

(17) (18)

(19).

n

L’oscillateur

_{harmonique dégénéré}

à r dimensions

possède

/

_quanta

_{pour la}

_rotation,

et _{2n pour la}

vibra-tion,

soit .V comme

_total;

_l’énergie

minima est bien

r

comme on

_s’y

attendait. Le cas à une dimension

2

s’obtient pour r =

1, 1

=

_0,

_et les

_polynômes

_{de Sonine}

se ramènent alors à ceux de Hermite. La relation de récurrence suivante

_(Bateman,

loc.

_cit.,

_p.

₄₅₂₎

nous

sera utile.

ainsi que les

règles d’orthogonalité

5. L’oscillateur

plan.

formules détaillées. -Revenons au cas de deux

dimensions;

nous aurons une

coordonnée

_angulaire

6 et _{le rayon}

vecteurs,

avec

l’équation qui

se déduit directement de

_(i6)

posons

m, entier

positif

ou

_négatif

et nous trouvons

_{l’équation (16)}

en _~, avec

entier

_{positif. (24)}

Notre fonction d’onde est donc

L’orthogonalité des ~

est évidente sur

6,

et découle de

(22)

sur la

_{variable s ;}

il nous faut fixer la constante de normalisation Ii

Donc

Une telle

onde,

pour l’oscillateur

fictif , ri

donne une

énergie

et

_indique

211

_quanta

de

_vibration,

avec mi

quanta

de rotation. Si nous revenons au

_problème

des ondes

élas-tiques

dans un

_solide,

cette _{onde propre} nous donne

2ri

_quanta

d’ondes stationnaires avec mi

_quanta

pour

une onde libre se

_propageant

vers la droite

_(si

est

négatif

l’onde libre se _propage vers la

_gauche).

Un tel état

_peut

aussi être décrit comme

_{correspondant}

à

1l

₊

_rn1

_quanta

_{pour l’onde libre} vers la droite et n

quanta

pour l’onde libre vers la.

_gauche.

Le minimum de

_l’énergie

est hv

_lorsque

le nombre total de

_quanta

iN/

s’annule;

on

_peut

aussi dire

_qu’il

_y a un

minimum - 1

hv 2 pour l’onde libre vers la droite hv pour l’onde vers

2

190

6. Nature des matrices

_{représentant}

diverses observables. - Pour observer l’onde

_élastique,

il faut introduire un

_appareil

de mesure

_qui

_produit

une

perturbation;

la matrice

_{représentant}

la

_perturbation

nous

_indiquera

la nature des observations réalisables. Nous pouvons

imaginer,

en un

_{point r,}

_{y, z, des}

per-turbations

_{proportionnelles}

à u,

u2,

u3... où u est le

déplacement

local. C’est donc la matrice M et ses diverses

puissances qu’il

faut

former ;

or,

d’après (14),

l’expres-sion de u s’obtient à

_partir

des valeurs

_{de ( et q ,}

et nous

allons calculer les matrices

de 1

et de r, en

_partant

des combinaisons

d’après

(23).

Une de ces matrices aura _{pour éléments}

Les

_{fonctions ~}

sont _{données par}

_{(25) (26) ; l’intégration}

en 0 nous

_oblige

à

_prendre

si nous voulons avoir une

_intégrale

non

_nulle;

il nous

reste alors

Nous sommes

_obligés

de

_distinguer

les cas où nl1 est

positif

ou

_négatif;

commençons par mi > 0 et _posons

La formule de récurrence

₍₂₁₎

nous conduit aux

inté-grales

les conditions

_{d’orthoganalité}

₍₂₂₎

nous

_obligent

à choisir n’ = n

Prenons maintenant le cas de nii

_négatif

la formule de récurrence

_{(~~.) appliquée}

à fait

apparaître

les

_intégrales

’

et les conditions

d’orthogonalité (22)

nous font choisir

Si l’on calcule maintenant la matrice

_{de ~}

-

1.q,

on

est ramené aux mêmes

_intégrales.

Les résultats se

ré-sument

_plus

clairement si l’on introduit les nombres

suivants,

positifs

tous deux :

Mi nombre des

_quanta

se

_propageant

de

_gauche

à

droite,

n2 nombre des

_quanta

se

_propageant

de droite à

gauche.

Si est

_{positif ;}

et si lnt _ - est

_négatif,

Le nombre total de

_quanta

est

_toujours

N = n

+

n _ n

₊

_m1

₁

E =

_{(’ --1)}

hv. On trouve alors

_{pour ~}

des matrices dont tous les éléments sont

nuls,

sauf les suivants :

émission d’un

_quantum

vers la

droite,

absorption

d’un

_quantum

venant

de

la

_droite

émission d’un

_quantum

vers la

_gauche,

absorption

d’un

_quantum

venant de la

_{gauche. ;}

₁

-’

Ces matrices ne _{sont pas}

_hermitiques,

ce

_qui

ne nous

E

qui

n’est pas réelle.

Voici,

par

exemple,

la matrice

Pour

_{(1 -}

_il)

ces matrices sont inversées.

Les matrices que nous venons d’écrire

_{représentent}

les variables

_{(éq. 10)}

Nous trouverons les

matrices ~

et r,

en formant

Ce

_qui

nous donne les tableaux suivants :

Rappelons

que, dans toutes ces

_formules,

_{d’après (15),}

Les facteurs de

_phase

de ~

et °1)

sont,

nous l’avons vu,

essentiels à conserver

_{e;plicitement ;}

si ~

est réel -,ri doit avoir ses coefficients -1-i

_qui

_indiquent

un

_déphasage

de~.

2

«

Nous avons,

jusqu’ici,

raisonné comme

_{Schrôdinger,}

avec

_des

fonctions

_{d’onde ~}

d’où l’on a retiré

l’exponen-tielle exp.

(- 2

x

_{qui indique}

le rôle du

_temps.

Pour nos

_{matrices 1}

± _2r,, il est intéressant de noter la

dépendance

du

_temps,

_qui

sera

exp. (- ~ ;~ i n t)

pour les transitions

ou

exp. (+ 2’iCÍ’Jt)

pour les transitions

192

Revenons aux

_{déplacements}

u des

_particules

_{du corps}

solide. Considérons un des

_types

(J.,

g,

~,

(ondes

longi-tudinales ou transversales

polarisées)

et une direction de

_propagation

_{définie par} a,

b,

c. Les

_{déplacements}

sont,

d’après

(5)

(33) (34)

(36)

Ces

_{expressions justifient}

nos

_{interprétations}

des

élé-ments

_(33),

_que nous avions basées sur les variations du

moment de rotation du vibrateur fictif

_1.q,

et sur les relations

_indiquées

_{au §3.}

Une

_{perturbation proportionnelle}

au

_déplacement

u

des atomes se

_traduirapar

des

_absorptions

ou émissions de 1

_quantum

_he;

les carrés des éléments

₍₃₇₎

donne-ront les

_{probabilités}

de ces transitions

Une

_{perturbation proportionnelle}

à u2 et u~ se

repré-sentera par une matrice carTée ou cube de la

_précédente

(37).

Pour u2 on aura des transitions

ou ou

avec émission ou

_absorption

de 2

quanta

à la fois. Une

perturbation u3

donne des

_absorptions

ou émissions de

1 ou 3

_quanta.

6. Discussion des résultats et

_{applications.}

- Le

point important

à

noter,

c’est la

_{réapparition}

des ondes en

_propagation

_libre,

sous la forme des éléments

de matrice

_(37).

Nous avons obtenu ce résultat en

appliquant,systé-matiquement

les méthodes usuelles de

_{quantification,}

d’après Schrôdinger.

Ces formules ont été

_employées

dans de nombreux

problèmes :

pour étudier la conductibilité

électrique

des électrons

_libres,

dans les

métaux,

on doit

recher-cher comment les ondes

_{élastiques d’agitation}

thermi-que influent sur le mouvement des

_{électrons ;}

il fant donc raisonner sur ces ondes

_{quantifiées,}

et l’on a

obtenu des formules

_{équivalentes}

à

_(37),

en utilisant un

simple

raisonnement de

_{correspondance}

_[L.

BRILLOUIN,

Statistiques

quantiques,

p. 272, éq.

61 et

_{p. ~ ï 3,}

_éq.

61.

II ;

Quantenstatistik,

p.

337,

éq.147, 149;

dans ce second

cas, on se méfiera que la notation k

_correspond

au dou-ble du /,

_employé

_ici].

Toute la théorie se

_justifie

donc sans

_changement,

et ses coefficients

_numériques

sont corrects.

Les matrices intermédiaires

₍₃₃₎

avaient été

indi-quées

par

Peierls,

dans un

_important

mémoire

_{(1 )}

sur

la conductibilité

_calorifique

dans les solides

_isolants;

sa déduction est frès différente de la

_nôtre,

et me

_paraît

moins sûre. Il

_décompose

le mouvement en _ondes

expo-nentielles

₍₃₎

et utilise les coordonnées

_{généralisées}

As,

a6c

(qu’il

loc.

cit.,

_p.

1061);

ces variables ne sont pas

séparées

comme nous l’avons

_remarqué.

Au

moyen d’une transformation

de , contact

(p. ~06 ~.)

Peierls introduit des variables a, caractérisées par

3 indices

_fglz

_{(équivalents}

à nos

_abc)

fixant la direction

de

_propagation;

un

_quatrième

_{indice j}

_joue

un rôle

très

_spécial.

Si les

_f,

_{g, h sont}

_positifs,

j=-f-1

donne une onde

_{se propageant vers}

la

_{droite )}

(38)

j=-1

- - -

la gauche

Si les

_{f, g, ja}

ont le

_{signe opposé,}

le sens de

_propagation

est inversé.

1,

Peierls

_prend

_{(1)(, +} et nf,+

1 positifs ;

pour j’- -- 1

il choisit

_négatifs;

la

corres-pondance

avec mes notations est la suivante :

L’énergie

totale s’écrit

Voici maintenant la définition des variables a de Peierls

notations Peierls

mes notations

_(~1)

C’est bien une transformation de

contact,

puisque

a

est défini en fonction

de 5

et

;

le

_signe

± de donne le double sens de la relation.

Pour

_quantifier,

Peierls

_remplace

les variables a _par

des

_{grandeurs quantiques}

non

commutables, qui

se

représentent

par des matrices ; ces matrices a devraient être

_identiques

à mes matrices 2 A

c’est-à-dire 1

± i _r. Ici intervient encore une différence de conventions. J’ai

pris

soin

_{(comme BBTaller)}

d’introduire dans les

équa-tion

_(7,

9, 1 i,

des sommations l’

_qui

ne

_comptent

qu’une

fois

_chaque

terme

a, 6,

c, et évitent la confusion d’un terme abc avec le terme

_{équivalent -}

a, -

b,

_-c.

Peierls

garde

des sommations ~ sans

_{restrictions,}

et

compte chaque

terme deux fois

_(loc.cit.,

_{p.l0"75, éq.}

_4~);

il

_prend

alors des éléments de matrice

_qui

sont 1_

fois

Y2

les

_miens;

là où

_j’ai

un coefficient

_(éq.

_3a3)

Peieris met un coefficient

(loc.

cit.,

_p.

_{10ï~, éq.}

_43).

Dans

_{l’expression}

de

_{l’énergie,}

on voit

_figurer

une

somme 1

_portant

sur des

_produits

de 2 éléments de

matrice;

Peierls

_{compte 2}

fois

_chaque

terme,

et

_chaque

terme est

soit

_{1/2 fois}

le

_{mien ; l’expression}

de

W2/

l’énergie

est ainsi retrouvée correctement.

Mais dans le calcul de la conductibilité

_thermique,

on aune

_perturbation

du 3~

_degré,

_{qui s’exprime}

par une somme de

_produits

d’éléments de matrice 3

_{par 3;}

les

notations de Peierls lui donneront là une erreur

de B/ 2;

cela n’a d’ailleurs

_qu’une

_importance

_minime,

car la formule finale contient un facteur

arbitraire,

qu’on

ne

détermine pas

quantitativement

(loc.

cit.,

p.

1076,

éq. 4;)).

Revenons à la

_question

du choix des variables

_gêné

ralisées

_{représentant l’agitation thermique}

du solide. dans sa théorie de la chaleur

_spécifique

des

solide

Born utilisait les variables

A,

c’est-à-dire une

décompo-sition en ondes

_libres;

Waller a

_poussé

_jusqu’aux

variables

_{ç, ’t1,}

et raisonné sur les ondes

_{statioiiii-aires;}

la

_{dégénérescence}

_{essentielle que}

_{j’ai signalée}

n’avait pas été

indiquée.

Dans le

_problème

de la conductibilité

_électrique

des

métaux,

presque tous les auteurs ont

_employé

la

décomposition

en ondes libres

_(variables

_A)

que

j’ai

justifiée

plus

haut. Wilson

₍₁₎

_reprit

le calcul avec les variables

_{ç, 1¡}

des ondes stationnaires et trouva un

{1) A. H. ’VU.SON. Proc _Roy. Soc, A 1932, t. 138, p. 594.

résultat

différent,

Peierls et Bloch

₍₁₎

montrèrent alors

qu’avec

ces

variables ;

_r, il faut faire très attention au

rôle des

_phases,

et

_qu’une

certaine relation de

conser-vation des

_impulsions

des ondes se _{traduit par} une

con-ervation du moment

_{d’impulsion}

dans

_l’espace

fictif

_~,

_r.

_Pourquoi

cette relation avait-elle

_échappée

à

Wilson ? Cela tient essentiellement à la manière dont

on fait les calculs de

_perturb1tion

au _moyen des

équa-tions de Dirac

_(2).

Soient

_~k

_(x,

t)

les fonctions d’onde d’un

_système,

et

TV la

_{perturbation ;}

Dirac établit les

_équations

rigou-reuses

Ces

_équations

tiennent

_compte

du rôle des

_phases

relatives des

_(1)if’

mais,

pour

simplifier

le

problème,

on

suppose ordinairement que ces

_phases

ne

_jouent

aucun

rôle;

on

_prend

les _lnoyenlles

_{correspondantes}

ce

_qui

donne

et _{l’on admet que cette formule donne le nombre des}

transitions

_{- j}

sous l’effet de la

_perturbation

Jf7.

Puisqu’on

fait une _flloyennc sur les

_phases,

il n’est pas indifférent d’admettre que les

phases

des ondes libres ou celles des ondes stationnaires soient ainsi

inobservables,

car l’onde libre résulte d’une différence

de phase

déterminée entre

_{les ;,}

_Yj

_qui

définissent les ondes stationnaires

_(L.

B. H.

_89,

_p.

5,

p.

19,

p.

25).

Refaisant les calculs

_{d’après Wilson,}

_{j’avais indiqué}

dans ce fascicule

_89,

les

_{points précis}

ou les deux

méthodes

_diffèrent;

les

_{possibilités}

de transition

sem-blent

_doublée-;,

dans le cas des ondes

stationnaires,

et

le coefficient

_numérique

de la conductibilité

_électrique

serait divisé par deux. Cet

article, complétant

celui de F. Bloch de

_1933,

me

_parait

résoudre

clairement cette

clueslion.

Je reviendrai

_{prochainement}

sur le cas des ondes transversales

_qui

se ramène à la

_{quantification}

d’un oscillateur

dégénéré

à 4 dimensions.

(1) R PEtERLs. Z. _{19:~3, 81,} p. 697 ; F. BLOCH. J.

_Phys.,

1933, 4, p 486.

(2) L. BR1LLOL’lN. (,’onduelibilité des métaux, Actualités

scienli-fiques, Herinann, 1934, vol. 89. En _abrégé, L. B. H. 89.