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1. concours général 1998 - exercice 1 énoncé
Un tétraèdreABCD vérifie les conditions suivantes 1. les arêtesAB, AC, AD sont deux à deux orthogonales 2. on a :AB= 3etCD=√
2.
Déterminer la valeur minimale deBC6+BD6−AC6−AD6.
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2. concours général 1998 - exercice 1 Solution 1
En utilisant l’identité :a3−b3= (a−b)(a2+ab+b2)on peut écrire : BC6−AC6 = BC2−AC2
BC4+BC2.AC2+AC4 BD6−AD6 = BD2−AD2
BD4+BD2.AD2+AD4
C’est la somme de ces deux quantités que l’on veut minimiser. En appliquant le théorème de Pythagore aux trois triangles :ABC,ABDetACD rectangles enA, on peut exprimer cette somme en fonction de la longueur des seules arêtes issues deA:
S=AB2h
AB2+AC22
+ AB2+AC2
AC2+AC4+ AB2+AD22
+ AB2+AD2
AD2+AD4i
S =AB2
2AB4+ 3 AC4+AD4
+ 3AB2 AD2+AC2
AB et AD2+AC2 =CD2 étant par hypothèses des constantes, nous exprimeronsS en fonction de la seule variableAC2, en remarquant que :
AC4+AD4 = AC2+AD22
− 2AC2AD2
AC4+AD4 = CD4 + 2AC2 AC2−CD2
S=AB2
2AB4+ 3CD4+ 6AC2 AC2−CD2
+ 3AB2CD2
le seul terme variable dansSest en effetAC2 AC2−CD2
,Sadmet donc bien un unique
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minimum là où le trinôme du second degréf(x) =x(x−CD2)admet un extremum, c’est à dire pour x = CD2
2 . Puisque f CD2
2
= −CD4
4 , la valeur minimale que l’on peut obtenir pourS est donc :
AB2
2AB4+3CD4
2 + 3AB2CD2
=AB2×AB4+ 3 AB2+CD22 2
Si l’on prend pour valeurs particulières :AB= 3etCD=√
2, la valeur minimale obtenue est :
9×81 + 3×112
2 = 9×222 =1998
