Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux

COHOMOLOGIE ET K-TH´EORIE ´EQUIVARIANTES DES VARI´ET´ES DE BOTT-SAMELSON ET

DES VARI´ET´ES DE DRAPEAUX par Matthieu Willems

R´esum´e. — L’objet de cet article est de calculer la cohomologie et la K-th´eorie

´

equivariantes des vari´et´es de Bott-Samelson (th´eor`emes 3.3 et 4.3) et d’en d´eduire des r´esultats sur les vari´et´es de drapeaux des groupes de Kac-Moody. Dans la section 3, on retrouve la formule de restriction aux points fixes de la base{ξ!<sup>w</sup>}w∈W deH<sub>T</sub><sup>∗</sup>(G/B) (th´eor`eme 3.9) prouv´ee par Sara Billey dans [4]. Dans la section 4, on donne l’expression explicite de la restriction aux points fixes de la base{ψ!^w}w∈W deKT(G/B) d´efinie par Kostant et Kumar dans [13] (th´eor`eme 4.7). Dans le cas fini, cette ´etude nous permet ´egalement de calculer la matrice de changement de bases entre{ψ!<sup>w</sup>}w∈W et {∗[OXw]}w∈W (th´eor`eme 4.11).

Abstract(Equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties and flag varieties)

The aim of this text is to compute the equivariant cohomology and K-theory of Bott- Samelson varieties (theorem 3.3 and 4.3) and to deduce results about flag varieties of Kac-Moody groups. In section 3, we give a new proof of the formula for the restriction to fixed points of the basis{!ξ^w}w∈W ofH_T^∗(G/B) (theorem 3.9) proved by Sara Billey in [4]. In section 4, we give an explicit formula for the restriction to fixed points of the basis{ψ!^w}w∈W ofKT(G/B) defined by Kostant and Kumar in [13] (theorem 4.7). In the finite case, we describe how the basis{∗[O_Xw]}w∈W transforms with respect to the basis{ψ!^w}w∈W (theorem 4.11).

Texte re¸cu le 10 d´ecembre 2002, accept´e le 16 octobre 2003

Matthieu Willems, U.F.R. de Math´ematiques, Universit´e Paris 7 Denis Diderot, 2 place Jussieu, case 7012, 75251 Paris Cedex 05 (France) • E-mail :willems@math.jussieu.fr Classification math´ematique par sujets (2000). — 19L47, 55N91.

Mots clefs. — K-th´eorie, cohomologie ´equivariante.

BULLETIN DE LA SOCI ´ET´E MATH ´EMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2004/569/$ 5.00

#c Soci´et´e Math´ematique de France

En r´edigeant cet article, j’ai eu connaissance de r´esultats de William Graham qui prouve la formule du th´eor`eme 4.7 de deux mani`eres diff´erentes dans la pr´e- publication [9]. Une de ses deux d´emonstrations est similaire `a celle d´evelopp´ee dans la section 5, o`u on donne une d´emonstration purement combinatoire du th´eor`eme 4.7. Dans [9], William Graham donne ´egalement des formules expli- cites pour la restriction aux points fixes des classes [OXw].

Je remercie Mich`ele Vergne de m’avoir conseill´e de regarder ce probl`eme et Alberto Arabia de m’avoir fait comprendre la structure des vari´et´es de Bott- Samelson et de leur cohomologie.

1. Pr´eliminaires et notations

1.1. Alg`ebres de Kac-Moody. — Les d´efinitions et les r´esultats qui suivent sur les alg`ebres de Kac-Moody sont expos´es dans [11] et [15]. Soit A = (aij)1≤i,j≤r une matrice de Cartan g´en´eralis´ee (c’est-`a-dire telle que aii = 2,−aij ∈Nsii#=j, etaij= 0 si et seulement si aji= 0). On choisit un triplet (h, π, π<sup>∨</sup>) (unique `a isomorphisme pr`es), o`uh est unC-espace vectoriel de dimension 2r−rg(A), π = {αi}1≤i≤r ⊂ h^∗ et π^∨ = {hi}1≤i≤r ⊂ h sont des ensembles d’´el´ements lin´eairement ind´ependants v´erifiant αj(hi) = aij. L’alg`ebre de Kac-Moody g=g(A) est l’alg`ebre de Lie surCengendr´ee parh et par les symboles ei et fi (1 ≤ i ≤ r) soumis aux relations [h,h] = 0, [h, ei] = αi(h)ei, [h, fi] = −αi(h)fi pour tout h ∈ h et tout 1 ≤ i ≤ r, [ei, fj] =δijhj pour tout 1≤i, j≤r, et

(adei)^1−aij(ej) = 0 = (adfi)^1−aij(fj), pour tous 1≤i#=j≤r.

L’alg`ebrehs’injecte canoniquement dans g. On l’appelle la sous-alg`ebre de Cartan de g. On a la d´ecomposition

g=h⊕!

α∈∆+

(gα⊕g₋α),

o`u gλ = {x ∈ gtels que [h, x] = λ(h)x, ∀h ∈ h} pour λ ∈ h<sup>∗</sup>, et o`u on d´efinit ∆+ par ∆+ = {α ∈ "r

i=1Nαi tels queα #= 0 et gα #= 0}. On pose

∆ = ∆+ ∪∆₋ o`u ∆₋ = −∆+. On appelle ∆+ (respectivement ∆₋) l’en- semble des racines positives (respectivement n´egatives). Les racines{αi}1≤i≤r

sont appel´ees les racines simples. On d´efinit une sous-alg`ebre de Borel bde g parb=h⊕"

α∈∆+g_α.

On associe au couple (g,h) le groupe de WeylW ⊂Aut(h^∗), engendr´e par les r´eflexions simples {si}¹≤i≤r, o`u si(λ) = λ−λ(hi)αi pour tout λ ∈ h^∗. Le groupeW ´etant un groupe de Coxeter, on a une notion d’ordre de Bruhat qu’on noteu≤vet une notion de longueur qu’on note%(w). On note 1 l’´el´ement neutre deW et dans le cas fini (i.e.W fini⇔gde dimension finie), on notew0

le plus grand ´el´ement deW. Le groupe de Weyl pr´eserve ∆. On poseR=W π

o

et R⁺ =R∩∆+. Pourβ =wαi ∈ R⁺, on pose sβ = wsiw⁻¹ ∈W (qui est ind´ependant du choix du couple (w, αi) v´erifiantβ=wαi). Pour un ´el´ementw deW, on d´efinit l’ensemble ∆(w) des inversions dewpar ∆(w) = ∆+∩w⁻¹∆₋.

On fixe un r´eseauh_Z⊂htel que : (i) h_Z⊗ZC=h,

(ii) hi∈h_Z pour tout 1≤i≤r, (iii) h_Z/"r

i=1Zhi est sans torsion,

(iv) αi∈h^∗_Z= Hom(h_Z,Z) (⊂h^∗) pour tout 1≤i≤r.

On choisit des poids fondamentauxρi∈h^∗_Z(1≤i≤r) v´erifiantρi(hj) =δi,j, pour tous 1≤i, j≤r. On poseρ="r

i=1ρi.

1.2. Groupes de Kac-Moody et vari´et´es de drapeaux. — On note G=G(A) le groupe de Kac-Moody associ´e `agpar Kac et Peterson dans [12].

On note e l’´el´ement neutre de G. Dans le cas fini, G est un groupe de Lie semi-simple complexe connexe et simplement connexe. On noteH ⊂B⊂Gles sous-groupes de Gassoci´es respectivement `a h et b. SoitK la forme unitaire standard de G et T = K∩H le tore maximal de K associ´e `a h. On note t l’alg`ebre de Lie de T. Soit NG(H) le normalisateur de H dans G, le groupe quotientNG(H)/H s’identifie `aW. On poseX =G/B=K/T. On fait agirH sur X par multiplication `a gauche, ce qui induit une action de T surX. Pour w ∈W, on d´efinit C(w) =B∪BwB, et pour toute racine simpleα, on note Pαle sous-groupe deGd´efini parPα=C(sα) deG. On a la d´ecomposition de Bruhat G=#

w∈WBwB et si on poseXw =BwB/B,X =#

w∈WXw. Pour toutw∈W, l’adh´erenceXwde la celluleXwest une sous-vari´et´eT-invariante de X et Xw = #

w^"≤wXw^" (voir [15]). On obtient ainsi une d´ecomposition

cellulaire T-invariante deX.

1.3. Le mono¨ıde W. — On d´efinit le mono¨ıde W comme le mono¨ıde en- gendr´e par les ´el´ements{si}¹≤i≤rsoumis aux relations s²_i =si et aux mˆemes relations de tresses que les ´el´ementssi deW. D’apr`es l’´etude g´en´erale des al- g`ebres de Hecke, l’ensemble W s’identifie `a l’ensembleW. Pour un ´el´ementw deW, on note w l’´el´ement correspondant dansW d´efini par w=si1· · ·si! si w =si1· · ·si! est une d´ecomposition r´eduite dew, et pour v ∈ W, on notev l’´el´ement associ´e dansW. On a dans W les relations suivantes :

(1) w si =$

w si si wsi > w, w si wsi < w; (2) siw=$siw si siw > w, w si siw < w.

2. Vari´et´es de Bott-Samelson

Les vari´et´es de Bott-Samelson d´esingularisent les vari´et´es de Schubert. Elles ont une structure g´eom´etrique relativement simple et poss`edent en particulier des d´ecompositions cellulaires o`u chaque adh´erence de cellule est elle-mˆeme une vari´et´e de Bott-Samelson et est donc une sous-vari´et´e lisse. Le calcul de la cohomologie et de la K-th´eorie ´equivariantes de ces vari´et´es pourra donc ˆetre effectu´e `a l’aide de la formule de localisation.

Soit N un entier strictement positif. Consid´erons une suite de N racines simples µ1, . . ., µN non n´ecessairement distinctes. On pose Gi = Pµi pour 1≤i≤N. On d´efinit la vari´et´e de Bott-Samelson Γ(µ1, . . . , µN) par

Γ(µ1, . . . , µN) =G1×^BG2×^B· · · ×^BGN/B,

comme l’espace des orbites de B^N dans G1×G2× · · · ×GN, sous l’action `a droite deB^N d´efinie par

(g1, g2, . . . , gN)(b1, b2, . . . , bN) = (g1b1, b⁻₁¹g2b2, . . . , b⁻_N¹₋₁gNbN), o`ubi∈B et gi∈Gi. On note [g1, g2, . . . , gN] la classe de (g1, g2, . . . , gN) dans Γ(µ1, . . . , µN). On note gµi ∈ Gi un repr´esentant quelconque de la r´eflexion de NGi(H)/H. Dans la suite, on note Γ(µ1, . . . , µN) par Γ. C’est une vari´et´e projective irr´eductible et lisse.

On d´efinit une action `a gauche deH sur Γ par

h[g1, g2, . . . , gN] = [hg1, g2, . . . , gN], h∈H, gi∈Gi. On obtient ainsi une action deT par restriction.

On pose E = {0,1}^N. Pour ε ∈ E, on note Γε ⊂ Γ l’ensemble des classes [g1, g2, . . . , gN] qui v´erifient pour tout entiericompris entre 1 et N

gi∈B si εi= 0, gi∈/B si εi= 1.

On v´erifie imm´ediatement que cette d´efinition est bien compatible avec l’action de B^N. On munit E d’une structure de groupe en identifiant {0,1} avecZ/2Z. Pour ε∈ E, on noteπ+(ε) l’ensemble des entiersi tels queεi = 1 et π₋(ε) l’ensemble des entiers i tels queεi = 0. On pose%(ε) = card(π+(ε)).

On note (i) ∈ E l’´el´ement de E d´efini par (i)j = δi,j et (1) l’´el´ement d´efini par (1)j = 1 pour toutj. Pourε∈ E, on pose

vi(ε) = %

1≤k≤i, k∈π+(ε)

sµk

(vi(ε) = 1 si {1 ≤k ≤i, k ∈ π+(ε)} =∅), v(ε) = vN(ε) et αi(ε) = vi(ε)µi. Pouri≤j, on d´efinit ´egalement

v^j_i(ε) = %

i≤k≤j, k∈π+(ε)

sµk.

o

De plus, sij < i, on posev^j_i(ε) = 1. On d´efinit de mˆeme v(ε) = %

1≤k≤N, k∈π+(ε)

sµk ∈W .

On d´efinit un ordre surE par

ε≤ε^% ⇐⇒ π+(ε)⊂π+(ε^%).

On d´emontre alors facilement la proposition suivante :

Proposition 2.1. — (i)Pour toutε∈ E,Γεest un espace affine de dimension r´eelle 2%(ε).

(ii) Pour toutε∈ E,Γε=&

ε^"≤εΓε^".

(iii) Γ =&

ε∈EΓε.

(iv) Pour tout ε∈ E,Γε est stable sous l’action de T.

(v) Pour tout ε∈ E,Γε s’identifie `a la vari´et´e Γ(µi, i∈π+(ε))et est donc une sous-vari´et´e irr´eductible lisse de Γ.

De plus, nous allons avoir besoin du lemme suivant dont la d´emonstration est imm´ediate :

Lemme 2.2. — (i) L’ensemble Γ^T des points fixes de T dans Γ est constitu´e des 2^N points [g1, g2, . . . , gN] o`ugi ∈ {e, gµi}. On identifiera donc Γ^T avec E en identifiant eavec 0et gµi avec 1.

(ii) Pour toutε∈ E, le point fixeε est l’unique point fixe deT dansΓε. (iii) Soit (ε, ε^%) ∈ E², alors ε ∈ Γε^" ´equivaut `a ε ≤ ε^%. Pour ε ≤ ε^%, on

note T_ε^ε" l’espace tangent `a Γε^" en ε. Les poids de la repr´esentation deh

dans T_ε^ε" induite par l’action de H surΓsont les {−αi(ε)}i∈π+(ε^").

Soit µ1, . . . , µk une suite quelconque de k racines simples. On d´efinit une application gµ1,...,µk de Γ(µ1, . . . , µk) dans X par multiplication (c’est-`a-dire gµ1,...,µk([g1, . . . , gk]) =g1∗· · ·∗gk[B]). Nous aurons besoin du lemme suivant : Lemme 2.3. — Soit µ1, . . . , µk une suite quelconque de k racines simples et soit w=sµ1· · ·sµk; alors l’image de l’applicationgµ1,...,µk est ´egale `a Xw. D´emonstration. — On poseXµ1,...,µk =gµ1,...,µk(Γ(µ1, . . . , µk)). Les vari´et´es Γ

´etant compactes,Xµ1,...,µk est ferm´ee.

Pour d´emontrer ce lemme, on utilisera les relations suivantes, valables pour tout v∈W (voir [15]) :

(3) C(si)C(v) =

'C(siv) sisiv > v, C(v)∪C(siv) sisiv < v.

On a en particulier

C(siv)⊂C(si)C(v) si siv > v, C(v)⊂C(si)C(v) si siv < v.

En utilisant ces derni`eres relations et les relations (2), on constate queBwB⊂ C(w)⊂Pµ1Pµ2· · ·Pµk, et on a doncXw⊂Xµ1,...,µk, d’o`uXw⊂Xµ1,...,µk.

Pour d´emontrer l’inclusion r´eciproque, on proc`ede par r´ecurrence sur k. Le r´esultat ´etant trivial pourk= 1, on le suppose v´erifi´e pour toute suite dek−1 racines simples. On note w<sup>%</sup> l’´el´ement de W tel que w<sup>%</sup> =sµ2· · ·sµk. Par hy- poth`ese de r´ecurrencePµ₂Pµ₃· · ·Pµk ⊂&

v≤w^"BvB. Il suffit donc de montrer

queC(sµ1)C(v)⊂&

u≤wBuB pour toutv≤w^%. Distinguons deux cas.

• Tout d’abord sisµ1w^%> w^%, alors on aw=sµ1w^%d’apr`es les relations (2) et le r´esultat est alors une cons´equence imm´ediate des relations (3), en remarquant que siv≤w^% alorssµ1v≤w.

• Sisµ1w^%< w^%, alors on aw=w^%d’apr`es les relations (2). Soitvun ´el´ement deW tel que v≤w:

) sisµ1v < v, alors on aC(sµ1)C(v) =C(v)∪C(sµ1v)⊂&

u≤wBuBd’apr`es les relations (3) ;

) si sµ1v > v, on a C(sµ1)C(v) = C(sµ1v) et il faut donc montrer que sµ1v ≤ w. Cela provient du fait que w = sµ1x avec sµ1x > x et v ≤ x car aucune d´ecomposition r´eduite devne commence parsµ1 puisquesµ1v > v.

De plus, le r´esultat suivant est prouv´e dans [10] dans le cas fini (voir [15]

pour la g´en´eralisation aux vari´et´es de Schubert des groupes de Kac-Moody) : Proposition 2.4. — Si w= sµ1· · ·sµk est une d´ecomposition r´eduite de w, l’application gµ1,...,µk est une d´esingularisation deXw.

3. Cohomologie ´equivariante

Soit M un espace topologique muni d’une action continue de T. Notons ET →BT le fibr´e universel deT et ET ×^T M l’espace topologique obtenu en quotientant ET ×M par l’action de T d´efinie par t(p, m) = (pt⁻¹, tm) pour tous p ∈ ET, m ∈ M et t ∈ T. Pour tout anneau commutatif A, on d´efinit la cohomologie T-´equivariante de X `a coefficients dans A, not´ee H<sub>T</sub><sup>∗</sup>(M, A), comme la cohomologie singuli`ere de ET ×^T M `a coefficients dans A. C’est une H<sub>T</sub><sup>∗</sup>(pt, A)-alg`ebre. Dans toute la suite on prendra pour A le corps des nombres complexes. Dans ce cas,H_T^∗(pt) s’identifie `a l’alg`ebre sym´etrique deh^∗ qu’on noteS.

SoitM^% un sous-espaceT-invariant deM admettant une structure deCW- complexe orient´e de dimension paire n, ne poss´edant pas de cellule de codi- mension 1. Alors, la fibrationT-´equivariante triviale :M^% →pt et l’int´egration

o

sur les fibres (voir [1] pour ces d´efinitions) permettent de d´efinir un homomor- phisme deS-modules gradu´es de degr´e−n

(

M^"

:H_T^∗(M)−→S.

Si M est une vari´et´e diff´erentiable, la cohomologie T-´equivariante de M s’identifie `a la cohomologie du complexe des formes diff´erentielles µ(Y) `a co- efficients complexes sur M d´ependant polynomialement de Y ∈ t et v´eri- fiant une condition de T-´equivariance ´evidente, muni de la diff´erentielle d− 2iπι(Y) (voir [1]). De plus, siM est compacte, connexe, et orient´ee, pour toute forme µ(Y), on peut d´efinir le polynˆome )

Mµ(Y) qui induit un morphisme en cohomologie. Si M^% est une sous-vari´et´e de M qui admet une structure de vari´et´e diff´erentiable compacte connexe et orient´ee (sans supposer que M ad- mette une telle structure), pour tout ´el´ement µ∈ H_T^∗(M), on peut d´efinir le polynˆome)

M^"µ(Y) obtenu en restreignantµ`aM^%puis en int´egrant surM^%. On

obtient ainsi un morphisme deS-modules gradu´es :H_T^∗(M)→Squi s’identifie

`a l’int´egration topologique d´efinie pr´ec´edemment.

3.1. Cohomologie ´equivariante des vari´et´es de Bott-Samelson. — On reprend les notations de la section 2. On noteF(E;S) laS-alg`ebre des fonctions deE`a valeurs dansSmunie de l’addition et de la multiplication point par point.

La d´ecomposition Γ = &

ε∈EΓε munit Γ d’une structure de CW-complexe T-´equivariant o`u toutes les cellules sont de dimension paire ; de plus l’ensemble des points fixes de l’action de T sur Γ est discret. On peut donc appliquer la proposition 2.5.1 de [1] et on a le r´esultat suivant :

Proposition 3.1. — (i) La cohomologie T-´equivariante de Γ^T s’identifie

`aF(E;S).

(ii) La restriction aux points fixesi^∗_T :H_T^∗(Γ)→F(E;S)est injective.

(iii) La cohomologie T-´equivariante de Γ est un S-module libre qui admet comme base la famille {*σε}^ε∈E caract´eris´ee par

(

Γε"

*

σε=δε^",ε.

D´efinition 3.2. — Pourε∈ E, on d´efinitσε∈F(E;S) par σε(ε^%) = (−1)^&(ε)%

i∈π+(ε)

αi(ε^%) si ε≤ε^%, σε(ε^%) = 0 sinon.

On a alors le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 3.3. — Pour toutε∈ E, on a i^∗_T(*σε) =σε.

D´emonstration. — En utilisant la formule de localisation [3], la proposition 2.1 et le lemme 2.2, on obtient pour toutσ*∈H_T^∗(Γ) :

(4) (

Γε

*

σ= (−1)^&(ε)!

ε^"≤ε

i^∗_T(*σ)(ε^%) +

i∈π+(ε)αi(ε^%)·

Soitε0∈ E, et soitσ^%_ε0 =i^∗_T(*σε0). Montrons par r´ecurrence sur la longueur de ε que σ_ε^%₀(ε) = σε0(ε), pour tout ε ∈ E. Grˆace `a la formule (4) et `a la caract´erisation deσ*ε0, on d´emontre facilement par r´ecurrence sur%(ε) que siε n’est pas plus grand que ε0, on a bienσ_ε^%₀(ε) = 0. On peut donc se limiter au cas o`u ε0≤ε. Siε=ε0, la formule (4) et le fait que)

Γε0*σε0 = 1 nous donne bien σ_ε^%₀(ε0) =σε0(ε0). Soitε > ε0; on suppose le r´esultat v´erifi´e pour toutε^% de longueur strictement plus petite que ε, on applique la formule (4) et le fait que)

Γε*σε0= 0 pour obtenir

!

ε₀≤ε"<ε

(−1)^&(ε0)+

i∈π+(ε0)αi(ε^%) +

i∈π+(ε)αi(ε^%) + σ^%_ε0(ε) +

i∈π+(ε)αi(ε) = 0, d’o`u l’on tire

!

ε0≤ε^"<ε

(−1)^&(ε0) +

i∈π+(ε)\π+(ε0)αi(ε^%)+ σ_ε^%₀(ε) +

i∈π+(ε)αi(ε) = 0.

Si on pose ˜ε=ε−(j), o`ujest le plus grand ´el´ement deπ+(ε)\π+(ε0), on a alors

!

ε0≤ε^"<ε

ε^"&=˜ε

(−1)^&(ε0) +

i∈π+(ε)\π+(ε0)αi(ε^%)− (−1)^l(ε0) +

i∈π+(ε)\π+(ε0)αi(ε)+ σ_ε^%₀(ε) +

i∈π+(ε)αi(ε) = 0.

En effet, commejest le plus grand ´el´ement deπ+(ε)\π+(ε0), pour toutidans π+(ε)\π+(ε0), on a αi(ε) =αi(˜ε) sii#=j et αj(ε) =−αj(˜ε). Pour les mˆemes raisons, on s’aper¸coit, en distinguant les termes qui ont un 1 enj-i`eme position et ceux qui ont un 0 enj-i`eme position, que la premi`ere somme est nulle et on obtient alors bienσ^%_ε0(ε) = (−1)^&(ε0)+

i∈π+(ε0)αi(ε).

On pose σi = σ_(i) et *σi = *σ_(i). La structure multiplicative de H_T^∗(Γ) est donn´ee par la proposition suivante :

Proposition 3.4. — Pour tout ε∈ E, on a *σε=+

i∈π+(ε)*σi. De plus, on a la formule de multiplication suivante

* σiσ*ε=

'*σε+(i) sii∈π₋(ε),

σi(ε)*σε+ !

j<i, j∈π₋(ε)

sµjαⁱ_j(ε)−αⁱ_j(ε)

µj *σε*σj sii∈π+(ε), o`u on a pos´eαⁱ_j(ε) =v_j+1ⁱ⁻¹(ε)(µi).

o

D´emonstration. — Par injectivit´e de la restriction aux points fixes, il suffit de d´emontrer ces formules pour σi et σε. La premi`ere formule se voit imm´e- diatement sur la d´efinition desσε.

Pour la deuxi`eme formule, pour des raisons de degr´e et d’ordre surE, on sait que le produitσiσε s’´ecrit sous la forme

σiσε=Ciσε+ !

j&=i j∈π−(ε)

Cjσε+(j).

En ´evaluant enε, on trouve Ci puis en ´evaluant en ε+ (j), on trouve Cj = 0 sij > iet sij < i:

Cj =, %

1≤k<j k∈π+(ε)

sµk

-,sµjαⁱ_j(ε)−αⁱ_j(ε) µj

-=sµjαⁱ_j(ε)−αⁱ_j(ε) µj

,

car (sµjαⁱ_j(ε)−αⁱ_j(ε))/µj est un nombre, et on a bien la formule ´enonc´ee.

En particulier, si pour j < i, on notebj,i le nombre de Cartan associ´e aux racines µj et µi (i.e. bj,i =ak& o`u les entiersk et % sont d´efinis parµj = αk

et µi=α&), on a :

Proposition 3.5. — *σ_i²=µiσ*i−!

j<i

bj,i*σiσ*j. Grˆace `a la d´ecomposition cellulaire Γ =&

ε∈EΓε, une base de la cohomologie ordinaire de Γ est aussi index´ee parE. On la note (xε)ε∈E et on notexi=x(i). Soitv0:H_T^∗(Γ)→H^∗(Γ) l’´evaluation `a l’origine associ´ee `a la projection cano- niqueET ×Γ→ET×^T Γ. Le r´esultat suivant est prouv´e dans [1] :

Lemme 3.6. — L’´evaluation `a l’origine est l’homomorphisme d’anneaux d´efini par v0(f*σε) =f(0)xε.

Grˆace `a cet homomorphisme, on retrouve alors le r´esultat suivant prouv´e dans [5] :

Proposition 3.7. — La cohomologie ordinaire de Γ est engendr´ee par des

´el´ements (xi)_1≤i≤N de degr´e2 soumis aux relations x²_i +!

j<i

bj,ixixj = 0.

3.2. Cohomologie ´equivariante des vari´et´es de drapeaux. — La d´e- composition X = &

w∈WXw munit X d’une structure de CW complexe T-

´equivariant o`u toutes les cellules sont de dimension paire. De plus, l’ensemble X^T ≈W des points fixes deT dansX ´etant discret, on a la proposition sui- vante :

Proposition 3.8. — (i) La cohomologie T-´equivariante de X^T s’identifie `a la S-alg`ebre des fonctions de W `a valeurs dans S de degr´e born´e, qu’on note Fb(W;S).

(ii) La restriction aux points fixesi^∗_T :H_T^∗(X)→Fb(W;S)est injective.

(iii) La cohomologie T-´equivariante de X est un S-module libre qui admet comme base la famille {ξ*^w}w∈W caract´eris´ee par

(

Xw"

ξ*^w=δw^",w.

On pose ξ^w =i^∗_T(*ξ^w). Soit (w, v)∈W² et soit v =sµ1· · ·sµN une d´ecom- position non n´ecessairement r´eduite de v. On d´efinit, pour 1 ≤ j ≤ N, un

´el´ementβj deh^∗ parβj =sµ1· · ·sµj−1µj. La formule suivante est prouv´ee par Sara Billey dans [4] :

Th´eor`eme 3.9. — Soient(w, v)∈W² et m=%(w), on a ξ^w(v) =!

βj1· · ·βjm,

o`u la somme porte sur l’ensemble des entiers 1≤j1<· · ·< jm ≤N tels que w=sµj1· · ·sµ_jm.

Retrouvons cette formule grˆace aux r´esultats pr´ec´edents.

Soitv=sµ1· · ·sµN une d´ecomposition non n´ecessairement r´eduite d’un ´el´e- ment v de W. On pose Γ = Γ(µ1, . . . , µN) et g = gµ1,...,µN. La proposition suivante va nous permettre de retrouver le th´eor`eme 3.9 :

Proposition 3.10. — Soit w∈W; on a g^∗(*ξ^w) = !

ε∈E,

&(ε) =&(w), v(ε) =w

* σε.

D´emonstration. — Pour d´emontrer la proposition, il faut montrer : (

Γε

g^∗(*ξ^w) =δv(ε),wδ&(ε),&(w). Distinguons deux cas :

• Si ε correspond `a une d´ecomposition r´eduite de v(ε), comme g<sub>|Γε</sub> : Γε→ X s’identifie `a l’application gµi,i∈π+(ε), d’apr`es la proposition 2.4, on a )

Γεg^∗(*ξ^w) =)

X_v(ε)ξ*^w=δv(ε),w.

• Siεne correspond pas `a une d´ecomposition r´eduite de v(ε), alors d’apr`es le lemme 2.3, g envoie Γε dans Xv(ε) qui est de dimension strictement plus petite que Γε, et donc pour toutξ*∈H_T^∗(X), on a)

Γεg^∗(*ξ) = 0. En particulier, on a donc bien )

Γεg^∗(*ξ^w) = 0.

o

On d´eduit de cette proposition que pour tout ´el´ement wdeW, on a ξ^w(v) = !

ε^"∈E

&(ε^")=&(w)

v(ε^")=w

σε^".

(1)/ ,

ce qui nous redonne bien le th´eor`eme 3.9, `a l’aide du th´eor`eme 3.3, en remar- quant queαi((1)) =−βi, pour tout entieri compris entre 1 etN.

4. K-th´eorie ´equivariante

Soit X[T] le groupe des caract`eres de T. On pose R[T] = Z[X[T]] et on note Q[T] le corps des fractions de R[T]. Pour un poids entier λ, on note e<sup>λ</sup>∈X[T] le caract`ere correspondant.

Soit Z un espace topologique compact muni d’une action continue de T. On d´efinit laK-th´eorieT-´equivariante deZ comme le groupe construit `a par- tir du semi-groupe des classes d’isomorphisme de fibr´es vectoriels complexes de dimension finie T-´equivariants au-dessus de Z. On munit ce groupe d’une structure d’anneau d´efinie `a l’aide du produit tensoriel. De plus comme la K- th´eorie T-´equivariante du point s’identifie `a R[T], on obtient une structure deR[T]-alg`ebre qu’on noteKT(Z).

4.1. K-th´eorie ´equivariante des vari´et´es de Bott-Samelson. — On reprend les notations de la section 2. On note F(E;R[T]) la R[T]-alg`ebre des fonctions deE `a valeurs dansR[T] munie de l’addition et de la multiplication point par point.

On d´emontre, par r´ecurrence sur la dimension de Γ, que KT(Γ) s’identi- fie `a K<sup>0</sup>(H,Γ) le groupe construit `a partir du semi-groupe des classes d’iso- morphisme de faisceaux H-´equivariants localement libres sur Γ (voir [13]). On identifiera dans la suite ces deux groupes. Soit ε ∈ E et soit F un faisceau H-´equivariant localement libre sur Γ ; on d´efinitχ( Γε,F)∈R[T] par

∀t∈T, χ( Γε,F)(t) =!

k

(−1)^kTr(t; H^k.Γε,F/Γε)/ .

Tout comme dans le cas de la cohomologie ´equivariante, la d´ecomposition Γ =&

ε∈EΓε donne une base de la K-th´eorie ´equivariante :

Proposition 4.1. — (i) La K-th´eorie T-´equivariante de Γ^T s’identifie `a F(E;R[T]).

(ii) La restriction aux points fixesi^∗_T :KT(Γ)→F(E;R[T])est injective.

(iii) La K-th´eorie T-´equivariante deΓ est un R[T]-module libre qui admet comme base la famille {*µε}ε∈E caract´eris´ee par χ( Γε^",µ*ε) =δε^",ε.

D´efinition 4.2. — Pourε∈ E, on d´efinitµε∈F(E;R[T]) par µε(ε^%) =





%

i∈π₊(ε^")

e^αi(ε") %

i∈π₊(ε)

(e^−αi(ε")−1) siε≤ε^%,

0 sinon.

On a alors le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 4.3. — Pour toutε∈ E, on a i^∗_T(*µε) =µε.

D´emonstration. — En utilisant la formule de localisation d’Atiyah-Bott [2]

(voir aussi la formule 5.11.9 de [7]), la proposition 2.1 et le lemme 2.2, on obtient pour toutµ*∈KT(Γ) et toutε∈ E :

(5) χ( Γε,*µ) = !

ε^"≤ε

i^∗_T(*µ)(ε^%) +

i∈π+(ε)(1−e^αi(ε"))·

Soitε0∈ E, on poseµ^%_ε0 =i^∗_T(µ*ε0). Montrons par r´ecurrence sur la longueur deεqueµ^%_ε0(ε) =µε0(ε), pour toutε∈ E. Grˆace `a la formule (5) et `a la carac- t´erisation deµ*ε0, on d´emontre facilement par r´ecurrence sur%(ε) que siεn’est pas plus grand que ε0, on a bien µ^%_ε0(ε) = 0. On peut donc se limiter au cas o`u ε0≤ε. Siε=ε0, la formule (5) et le fait que χ( Γε0,*µε0) = 1 nous donne bien µ^%_ε0(ε0) =µε0(ε0). Soitε > ε0. On suppose le r´esultat v´erifi´e pour toutε^% de longueur strictement plus petite que ε, on applique la formule (5) et le fait queχ( Γε,µ*ε0) = 0 pour obtenir

!

ε0≤ε^"<ε

%

i∈π₊(ε^")

e^αi(ε") %

i∈π₊(ε₀)

(e^−αi(ε")−1)

%

i∈π+(ε)

(1−e^αi(ε")) + µ^%_ε0(ε)

%

i∈π+(ε)

(1−e^αi(ε)) = 0, d’o`u l’on tire

µ^%_ε0(ε)

%

i∈π+(ε)

(1−e^αi(ε))=− !

ε0≤ε^"<ε

%

i∈π+(ε^")\π+(ε0)

e^αi(ε")

%

i∈π+(ε)\π+(ε0)

(1−e^αi(ε"))·

Si on pose ˜ε= ε−(j), o`u j est le plus grand ´el´ement de π+(ε)\π+(ε0), on a alors

µ^%_ε0(ε)

%

i∈π+(ε)

(1−e^αi(ε)) =

%

i∈π+(ε)\π+(ε0)

e^αi(ε)

%

i∈π+(ε)\π+(ε0)

(1−e^αi(ε))− !

ε0≤ε^"<ε

ε^"&=˜ε

%

i∈π+(ε^")\π+(ε0)

e^αi(ε")

%

i∈π+(ε)\π+(ε0)

(1−e^αi(ε"))·

En effet, comme j est le plus grand ´el´ement de π+(ε)\π+(ε0), pour tout i ∈ π+(ε)\π+(ε0), αi(ε) = αi(˜ε) si i #= j et αj(ε) = −αj(˜ε), et on utilise

o

alors la relation 1/(1−e^−x) =−e^x/(1−e^x). Cette mˆeme relation montre, en distinguant les termes qui ont un 1 enj-i`eme position et ceux qui ont un 0 en j-i`eme position, que la deuxi`eme somme est nulle et on obtient alors bien

µ^%_ε0(ε) = %

i∈π+(ε)

e^αi(ε) %

i∈π+(ε0)

(e^−αi(ε)−1) =µε0(ε).

4.2. K-th´eorie ´equivariante des vari´et´es de drapeaux. — On d´efinit, pour tout entiern≥0,

Xn = 3

w∈W, &(w)≤n

Xw.

SoitF la filtration

F:∅=X₋₁⊂X0⊂X1⊂ · · ·. Alors :

1) chaqueXn est un sous espace compactT-stable deX et,

2) la topologie deX est la topologie limite induite par la filtrationF. Grˆace `a cette filtration, on d´efinit alors la K-th´eorie T-´equivariante deX, not´eeKT(X) par

KT(X) = lim

n→+∞←−

KT(Xn).

Cette d´efinition est ind´ependante de la filtrationF v´erifiant 1) et 2).

On noteF(W;R[T]) (resp.F(W;Q[T])) laR[T]-alg`ebre des fonctions deW

`a valeurs dans R[T] (resp. Q[T]) munie de l’addition et de la multiplication point par point. Pour tout 1≤i≤r, on d´efinit un op´erateur de DemazureDi

surF(W;Q[T]) par

(Dif)(v) = f(v)−f(vsi)e^−vαi 1−e^−vαi ·

Les op´erateurs de Demazure v´erifiant les relations de tresses deW, on peut d´efinir un op´erateur Dw pour tout w ∈ W. On note Ψ la sous-alg`ebre de F(W;R[T]) d´efinie par

Ψ =4

f ∈F(W;R[T]), telles que∀w∈W, Dwf ∈F(W;R[T])5 . L’injection deX^T dansX d´efinit une applicationi^∗_T :KT(X)→KT(X^T).

De plus, l’ensemble des points fixes X^T ≈ W ´etant discret, on peut identifier KT(X^T) avec F(W;R[T]) et on obtient ainsi une application i^∗_T :KT(X)→F(W;R[T]). On note ∗ l’involution de KT(X) induite par la dualit´e des espaces vectoriels, et on note de la mˆeme fa¸con l’involution deR[T] d´efinie sur les caract`eres par ∗(e^λ) = e^−λ, ce qui induit une involution de F(W;R[T]). On a ∗i^∗_T(τ) =i^∗_T(∗τ) pour tout ´el´ementτ ∈KT(X). Le r´esultat suivant est prouv´e dans [13] :

Proposition 4.4. — L’application i^∗_T est injective et l’image deKT(X) par cette application est ´egale `a Ψ. De plus, Ψ = +

w∈WR[T]ψ^w, o`u les fonc- tionsψ^w sont uniquement d´etermin´ees par les relations

∀(v, w)∈W², Dv(ψ^w)(1) =δv,w. De plus, les fonctions ψ^w v´erifient les propri´et´es suivantes :

(i) ψ^w(v) = 0 sauf siw≤v, (ii) ψ^w(w) =+

β∈∆(w⁻¹)(1−e^β),

(iii) Diψ^w=ψ^w+ψ^wsi siwsi< w et Diψ^w= 0siwsi> w, (iv) ∀v∈W,ψ¹(v) =e^ρ−vρ.

On poseψ*^w= (i^∗_T)⁻¹(ψ^w).

Remarque 4.5. — Un ´el´ementf = (aw)w∈W de+

w∈WR[T]ψ^w est bien une fonction deW `a valeurs dansR[T]. En effet soitv∈W, d’apr`es la propri´et´e (i),

"

w∈Wawψ^w(v) est une somme finie o`u les termes ´eventuellement non nuls correspondent aux ´el´ementsudeW qui v´erifientu≤v.

Remarque 4.6. — Les fonctionsψ^wsont uniquement d´etermin´ees par les pro- pri´et´es (i), (ii), (iii) et (iv) de la proposition pr´ec´edente.

Dans [13], B. Kostant et S. Kumar composenti^∗_T avec φ:F.

W;Q[T]/

−→F.

W;Q[T]/

d´efinie par φ(f)(w) = f(w⁻¹) pour tout ´element f de F(W;Q[T]) et tout w∈W. Ils trouvent alors la sous-alg`ebre Ψ^%(not´ee Ψ dans [13]) deF(W;R[T]) :

Ψ^% =4

f ∈F(W;R[T]), telles que∀w∈W, D^%_wf ∈F(W;R[T])5 , o`u les op´erateursD<sub>w</sub><sup>%</sup> sont d´efinis `a partir des op´erateursD^%_i donn´es par

(D^%_if)(v) = f(v)−f(siv)e^−v−1αi 1−e^−v−1αi ·

Ils consid`erent la baseψ<sup>%</sup><sub>w</sub>(not´eeψ<sup>w</sup> dans [13]) de Ψ<sup>%</sup> reli´ee `a la baseψ^wde la proposition 4.4 par la relationψ_w^% =φ(ψ^w−1). On aψ_w^% (v) =ψ^w−1(v⁻¹), pour tout couple (w, v)∈W².

Soit v ∈ W et soit v = sµ1· · ·sµN une d´ecomposition non n´ecessairement r´eduite de v. Comme dans le paragraphe 3.2, pour 1 ≤ j ≤ N, on note βj

l’´el´ement de h^∗ d´efini par βj =sµ1· · ·sµj−1µj.

Th´eor`eme 4.7. — Siw∈W est tel quew≤v, on a la formule suivante : ψ^w(v) =e^ρ−vρ !

&(w)≤m≤N

!(e^−βj1 −1)· · ·(e^−βjm −1),

o`u la deuxi`eme somme porte sur l’ensemble des entiers 1≤j1<· · ·< jm≤N tels que sµj1· · ·sµ_jm =w.

o

Donnons quelques exemples de calculs pour expliciter cette formule.

Tout d’abord pour tout v∈W, on retrouve bienψ¹(v) =e^ρ−vρ, puisque la seule fa¸con de trouver 1 en dessous dev est de prendre la suite vide.

Pla¸cons-nous dans le cas o`u G = SL4(C). Calculons ψ^w(v) avec w =s3s2

et v =s2s3s2s1s2. Il y a trois fa¸cons de «trouver w en dessous de v» : w = si2si3,w =si2si5 et w=si2si3si5. On trouve donc

ψ^w(v) =e^{α2+(α2+α3)+α3+(α1+α2+α3)+(α1+α2)}

×6(e^−(α2+α3)−1)(e^−α3−1)

+(e^−(α2+α3)−1)(e^−(α1+α2)−1)

+(e^−(α2+α3)−1)(e^−α3−1)(e^−(α1+α2)−1)7

=e^{2α1+4α2+3α3}

×61 +e^{−(α1+2α2+2α3)}−e^−(α2+α3)−e^{−(α1+α2+α3)}7

=e^{2α1+4α2+3α3}+e^α1+2α2+α3

−e^{2α1+3α2+2α3}−e^{α1+3α2+2α3}.

D´emonstration. — Soitv=sµ1· · ·sµN une d´ecomposition non n´ecessairement r´eduite d’un ´el´ement v de W. On pose Γ = Γ(µ1, . . . , µN) et g = gµ1,...,µN. Soitwun ´el´ement quelconque de W.

Une g´en´eralisation imm´ediate de la proposition 3.36 de [13], o`u le r´esultat n’est ´enonc´e que pour des d´ecompositions r´eduites, nous donne :

∀τ∈KT(X), χ.Γε, g^∗(∗τ)/=∗.

Dv(ε)i^∗_T(τ)/(1),

o`u pouru∈W, on a pos´eDu =Du. Or d’apr`es la d´efinition des fonctionsψ^w (proposition 4.4) :

∀(u, w)∈W², .

Du(ψ^w)/

(1) =δu,w.

On d´eduit des deux formules pr´ec´edentes que pour tout ε∈ E, on a (6) χ.Γε, g^∗(∗ψ*^w)/=δv(ε),w.

D’apr`es la caract´erisation de la base {*µε}ε∈E, on a donc g^∗(ψ*^w) = !

ε∈E, v(ε)=w

∗*µε, d’o`u on d´eduit

ψ^w(v) =.

i^∗_T(ψ*^w)/(v) = !

ε∈E,v(ε)=w

∗µε.(1)/ ,

ce qui nous donne bien le th´eor`eme 4.7 `a l’aide du th´eor`eme 4.3, grˆace `a la formule suivante (voir [6]) :

(7) ρ−vρ=

!N j=1

βj.

4.3. Une autre base de KT(X). — Dans ce paragraphe, on se place dans le cas fini (i.e.W fini⇔gde dimension finie). On notew0le plus grand ´el´ement deW. On choisitw0=sµ1· · ·sµN une d´ecomposition r´eduite dew0 et on pose Γ = Γ(µ1, . . . , µN) etg=gµ1,...,µN.

Comme dans le cas des vari´et´es de Bott-Samelson, KT(X) s’identifie `a K⁰(H, X) (voir [13]). De plus, comme X est lisse, K⁰(H, X) est isomorphe

`a K0(H, X) le groupe construit `a partir du semi-groupe des classes d’isomor- phisme de faisceauxH-´equivariants coh´erents surX(voir [7]). On identifie donc ces trois groupes.

Dans [13], Kostant et Kumar montrent que la d´ecomposition en cellules de Schubert X = &

w∈WXw fournit une base {[OXw]}^w∈W de K0(H, X). Les classes [OXw] sont d´efinies par le faisceau structural de Xw prolong´e par 0 surX\Xw. Pourw∈W, on pose ˆγ^w=∗[OXw]∈KT(X), etγ^w=i^∗_T(ˆγ^w). Le r´esultat suivant est prouv´e dans [13] :

Proposition 4.8. — Pour toutw∈W et tout entier1≤i≤r, Di(γ^w) =$

γ^w si wsi< w, γ^wsi si wsi> w.

On d´efinit les ´el´ements a^v_w ∈ R[T] par γ^w="

v∈Wa^v_wψ^v. On va donner une expression explicite de ces coefficients. Soitw∈W et soitsi une r´eflexion simple telle que wsi > w. Si on applique l’op´erateur Di `a la d´ecomposition γ^w="

v∈Wa^v_wψ^v, on obtient

γ^wsi=Di(γ^w) = !

v∈W

a^v_wDiψ^v.

En utilisant les relations v´erifi´ees par les fonctionsψ^v, on trouve alors :

!

v∈W

a^v_wsiψ^v= !

v∈W, vsi<v

a^v_w(ψ^v+ψ^vsi) = !

v∈W, vsi<v

a^v_wψ^v+ !

v∈W, vsi>v

a^vs_wⁱψ^v.

On obtient donc la relation de r´ecurrence suivante sur les coefficientsa^v_w: a^v_wsi =8a^v_w sivsi< v,

a^vs_wⁱ sivsi> v.

On d´eduit de ces relations, en utilisant les relations (1) et (2) : (8) ∀(w, v)∈W², a^v_w=a^{v w}₁ ⁻¹,

o`u pouru∈W, on a pos´ea^u₁ =a^u₁.

Il suffit donc de trouver la d´ecomposition de γ¹. Pour cela, on aura besoin des valeurs deγ¹ :

γ¹(1) = %

α∈∆+

(1−e^−α), γ¹(v) = 0 siv#= 1.

o