Feuille d’Exercices 3

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 3

Int´egration

Exercice 3.1.— Int´egrales de Wallis.On consid`ere la suiteIn d´efinie parIn =R^π₂

0 sinⁿxdx.

1. Montrer que (In)n est positive d´ecroissante.

2. Montrer queIn+2= ⁿ⁺¹_n+2In et expliciterIn. En d´eduireR1

0(x²−1)ⁿdx.

3. Montrer queI_n∼I_n+1.

4. Calculer (n+ 1)InIn+1. Montrer queIn∼ rπ

2n.

Exercice 3.2.— Formule de Stirling.On consid`ere la suite (u_n)_n d´efinie, pourn∈N^∗, par

u_n= n!

√n e n

!ⁿ .

1. On pose νn = ln(un), pour n ∈ N^∗. En ´etudiant νn+1−νn, d´emontrer que la suite (νn)n

converge. En d´eduire que la suite (un) converge vers une certaine limitel.

2. A l’aide de la question` 4de l’exercice pr´ec´edent, d´emontrer que l=√ 2π.

3. En d´eduire la formule de Stirling :n!∼ n e

!n

√2πn.

Exercice 3.3.—Soitf : [a, b]→Rcontinue, positive etM = supf(x). Montrer que

n→∞lim Z b

a

f(x)ⁿdx

!_n¹

=M.

Exercice 3.4.— On consid`ere la suite de fonctions en escaliergn : [0,1]→Rtel quegn(x) = 0 six≥_n¹ et gn(x) =nsix < _n¹.

1. Existe-t-il une fonction born´ee d´efinie sur [0,1] qui soit limite de cette suite ? 2. Soit la suite (un) d´efinie par un =R1

0 f(x)gn(x)dx, o`u f est une fonction continue sur [0,1].

Calculer limn→∞un.

Exercice 3.5.— Soit f une application continue de [a, b] dans R. On suppose que pour toute applicationg∈E([a, b]) on aRb

a f(x)g(x)dx= 0. Montrer quef = 0.

Exercice 3.6.—Soitf une fonction r´egl´ee sur un intervalle [a, b]. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuit´e est d´enombrable.

Exercice 3.7.—Calculer les primitives des fonctions suivantes :

(i)a(t) = (t+ 1)e^2t, (ii)b(t) =t²e^t3, (iii) c(t) =e^2tcos(3t), (iv)d(t) = _t(1+t¹ 4), (v)e(t) = _t2(t²¹+1)², (vi)f(t) = _1+t^t34, (vii)g(t) =_1+cos^sin3(t)2(t), (viii)h(t) =_cos^sin42^(x)(x), (ix)i(t) = ^sh_ch(t)^2(t), (x)j(t) =^{√ t}

1−t², (xi)k(t) =t√ⁿ

1 +t, (xii)l(t) =

√3

1+√⁴

√ t t .

Exercice 3.8.—Soitf ∈C⁰([0, π],R).

1. Montrer `a l’aide d’un changement de variables que l’on a Z π

0

xf(sin(x))dx= π 2

Z π

0

f(sin(x))dx.

2. En d´eduire la valeur de

I= Z π

0

xsin(x) 1 + cos²(x)dx.

Exercice 3.9.—Soit∀x∈R+, I(x) =Rx 0

arctan(t)

1+t² dtet J(x) =Rx 0

arctan(t) (1+t)² dt.

1. a. D´eterminer la valeur de I(x) en fonction dex.

b. En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de la fonction Ien +∞.

2. a. D´eterminer la valeur de J(x) en fonction dex.

b. En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de la fonction J en +∞.

Exercice 3.10.—Soit∀x∈R, f(x) =Rx² x

cos(t)+1 1+t² dt.

1. Montrer quef est d´efinie et de classeC¹ surR.

2. Calculer la d´eriv´ee def et en d´eduire quef est de classeC^∞surR. 3. Montrer quef est positive sur ]− ∞,0] et [1,+∞[, et n´egative sur [0,1].

4. Pour quelles valeurs dexla fonctionf s’annule-t-elle ?

Exercice 3.11.—D´eterminer la nature des int´egrales suivantes : (i)R1

0 ln(1+t)

t dt; (ii)R^π₂

0

cos(t)−1

sin²(t) dt; (iii)R1 0

1−t² 1−√

tdt; (iv)R+∞

0 e^−t2dt; (v)R+∞

0

sin(t) 1+cos(t)+e^tdt; (vi)R+∞

0

t³−5t²+1

2t⁴+2t³+t²+1dt; (vii)R^π₂

0 tan(t)

t dt; (viii)R1 0

√ dt

t(1−t)²; (ix)R+∞

0

ln(t)²

√|t²−1|(√ t+2)dt; (x)R1

0 dt

t^α|ln(t)|^β, o`u α∈Ret β∈R; (xi)R+∞

0 t^α(1−e^−√1t)dt, o`uα∈R.

Exercice 3.12.—Les int´egrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, calculer leur valeur.

(i)R∞ 0

arctan(t)

1+t² dt; (ii)R+∞

0

dt

(1+e^t)(1−e^−t); (iii) R^π₄

0 dt

tan²(t); (iv)R1 0

√dt

t(1−t); (v)R1

−1

√t 1−t²dt; (vi)R+∞

1 ln(t)

t^α dt, o`u α∈R; (vii)R+∞

0

dt (t+√

t²+1)^α, o`u α∈R.

Exercice 3.13.—Soitf ∈C⁰([a, b],R) avec (a, b)∈R². 1. D´eterminer la nature de l’int´egraleRb

a

√ f(t)

(b−t)(t−a)dt.

2. On suppose quef(b)6= 0. D´eterminer la nature de l’int´egrale Rb a

f(t)²ln(t−a) (b−t)² dt.

Exercice 3.14.—Soitf ∈C⁰([0,1],R). On suppose quef(0) = 0 et quef est d´erivable en 0.

1. Montrer que l’int´egraleR1 0

f(t) t³2

dtest convergente.

2. On suppose quef⁰(0)6= 0. Montrer que l’int´egraleR1 0

f(t)

t² dtest divergente.

Exercice 3.15.—SoitI=−R1 0

ln(t)

√t(1−t)³²dt.

1. Montrer que l’int´egraleI est convergente.

2. Calculer la d´eriv´ee de la fonctiont7→q

t

1−t sur l’intervalle ]0,1[.

3. En d´eduire que

I= 2π.

Exercice 3.16.— 1.Montrer que les deux int´egralesR1 0

ln(t)

1+t²dtetR+∞

1 ln(t)

1+t²dtsont convergentes.

2. En d´eduire que l’int´egraleR+∞

0 ln(t)

1+t²dtest convergente, et que sa valeur est ´egale `a Z +∞

0

ln(t)

1 +t²dt= 0.

3. Soita >0. A l’aide d’un changement de variables appropri´e, en d´eduire que Z +∞

0

ln(t)

a²+t²dt= π 2aln(a).

Exercice 3.17.— 1. Montrer que l’int´egraleR1 0

sin(t)

t dtest convergente.

2. Montrer que l’int´egraleR+∞

1

cos(t)

t² dtest convergente.

3. Soit∀x∈[1,+∞[, I(x) =Rx 1

sin(t) t dt.

a. Montrer que la fonctionIest d´efinie et de classeC¹sur [1,+∞[, et qu’elle a une limite en +∞.

b. En d´eduire que l’int´egraleR+∞

0

sin(t)

t dtest convergente.

Remarque. La valeur de l’int´egraleR+∞

0

sin(t)

t dtest ^π₂.

Exercice 3.18.—SoitI=R+∞

0

arctan(πt)−arctan(t)

t dt.

1. Montrer que l’int´egraleI est convergente.

2. a. Soit∀a∈R^∗+,Ra 0

arctan(πt)−arctan(t)

t dt. Montrer que

∀a >0, I(a) = Z πa

a

arctan(t)−^π₂

t dt+π

2ln(π).

b. Montrer que la fontion t7→ ^arctan(t)−_t ^π2 est int´egrable au voisinage de +∞.

c. En d´eduire que

I= π 2 ln(π).

Exercice 3.19.—Soit∀x∈R^∗+,Γ(x) =R+∞

0 t^x−1e^−tdt.

1. Montrer que la fonction Γ est d´efinie surR^∗+ et que Γ(1) = 1.

2. Montrer que

∀x >0,Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3. En d´eduire la valeur de Γ(n) pour tout entiern∈N^∗.

Exercice 3.20.—Soit∀n∈N, In=R+∞

0 tⁿe^−t2dt.

1. Montrer que la suite (In)n∈N est bien d´efinie.

2. Montrer que

∀n∈N, In+2= n+ 1 2 In. 3. En d´eduire la valeur deIn en fonction den.

Remarque. On admettra que R+∞

0 e^−t2dt=

√π 2 .