TS : fonction exponentielle : exercices de bac (3)
I Polynésie juin 2014
Soientf etgles fonctions définies surRpar
f(x)=ex et g(x)=2ex2−1.
On noteCf etCgles courbes représentatives des fonc- tions f etgdans un repère orthogonal.
1. Démontrer que les courbes Cf etCg ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente ∆ dont on déterminera une équa- tion.
2. Étude de la position relative de la courbeCg et de la droite∆
Soithla fonction définie surRpar
h(x)=2ex2−x−2.
(a) Déterminer la limite de la fonctionhen−∞. (b) Justifier que, pour tout réelx,
h(x)=x Ãex2
x2
−1−2 x
! .
En déduire la limite de la fonctionhen+∞. (c) On noteh′la fonction dérivée de la fonctionh
surR.
Pour tout réel x, calculer h′(x) et étudier le signe deh′(x) suivant les valeurs dex.
(d) Dresser le tableau de variations de la fonctionh surR.
(e) En déduire que, pour tout réelx,
2ex2−1Êx+1.
(f) Que peut-on en déduire quant à la position re- lative de la courbeCget de la droite∆?
3. Étude de la position relative des courbesCf etCg (a) Pour tout réel x, développer l’expression
³ex2 −1´2
.
(b) Déterminer la position relative des courbesCf etCg.
II Métropole septembre 2014
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé³
O;−→ i ;−→
j´
, une courbeC et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0; 1) et (−1 ; 3).
A B
O −→
−1 ı
3
−
→
C
On désigne par f la fonction dérivable surR dont la courbe représentative estC.
On suppose, de plus, qu’il existe un réelatel que pour tout réelx,
f(x)=x+1+axe−x2.
1. (a) Justifier que la courbeC passe par le point A.
(b) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
(c) Démontrer que pour tout réelx, f′(x)=1−a¡
2x2−1¢ e−x2.
(d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbeC au point A.
Déterminer la valeur du réela.
2. D’après la question précédente, pour tout réelx,
f(x)=x+1−3xe−x2 et f′(x)=1+3¡
2x2−1¢ e−x2. (a) Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle
]−1 ; 0],f(x)>0.
(b) Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à−1,f′(x)>0.
(c) Démontrer qu’il existe un unique réelcde l’in- tervalle
·
−3 2;−1
¸
tel quef(c)=0.
Justifier quec< −3
2+2.10−2.
