Correction de la feuille 3
I Polynésie juin 2014
Soientf etgles fonctions définies surRpar
f(x)=ex et g(x)=2ex2−1
On noteCf etCg les courbes représentatives des fonctionsf etgdans un repère orthogonal.
1. Intersection de deux courbes :
M(x; y)∈Cf∩Cg⇐⇒f(x)=g(x)⇐⇒ex=2ex2−1⇐⇒
½ X=ex2
X2−2X+1=(X−1)2=0 ⇐⇒ex2 =1⇐⇒ x=0 AinsiMa pour coordonnées (0; 1).
f′(x)=ex=⇒ f′(0)=1 ; g′(x)=ex2 =⇒ g′(0)=1 EnM, leurs tangentes ont, toutes deux le même coefficient directeur 1,
elles ont doncmême tangente∆d’équationy−1=1(x−0)⇐⇒y=x+1.
2. Étude de la position relative de la courbeCget de la droite∆ Soithla fonction définie surRparh(x)=2ex2−x−2.
(a) Limite de la fonctionhen−∞:
x→−∞lim h(x)= lim
x→−∞(−x)= +∞car lim
x→−∞ex2 =0 (b) Pour tout réelx6=0
x Ãex2
x 2
−1−2 x
!
=✚x×ex2 ×2
✚x−x−✚x2
✚x =2ex2−x−2=h(x) Limite de la fonctionhen+∞:
x→+∞lim h(x)= lim
x→+∞x×ex2
x2
= +∞, car lim
x→+∞
2
x=0 et lim
X=x2→+∞
eX X = +∞
(croissances comparées)
(c) Fonction dérivée de la fonctionhsurR:
h′(x)=2×1
2ex2−1= ex2 −1 h′(x)>0⇐⇒ex2 >1⇐⇒x
2>0⇐⇒x>0 eth′(x)<0⇐⇒ex2 <1⇐⇒x
2 <0⇐⇒ x<0 (d) Tableau de variationsde la fonctionhsurR:
x −∞ 0 +∞
h(x) ❅❅
❅
❘0
✒
(e) La fonctionhpossède un minimum en 0 qui est 0. Donc :
∀x,x∈R,h(x)Ê0⇐⇒2ex2−x−2=2ex2−1−x−1Ê0⇐⇒ 2ex2−1Êx+1 (f) Ainsi la courbeCgse trouve au dessus de la droite d’équationy=x+1 qui est la droite∆. 3. Étude de la position relative des courbesCf etCg
(a) On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout réelx,³
ex2−1´2
=f(x)−g(x)Ê0.
(b) Ainsi la courbeCf se trouve au dessus de la courbeCg. Ainsi,¯
¯f(x)−g(x)¯
¯=¡
f(x)−g(x)¢ .
II Métropole septembre 2014
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé³ O;−→
i ;−→ j´
, une courbeC et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0; 1) et (−1 ; 3).
A B
O −→
−1 ı
3
−
→
C
On désigne parf la fonction dérivable surRdont la courbe représentative estC. On suppose, de plus, qu’il existe un réelatel que pour tout réelx,f(x)=x+1+axe−x2. 1. (a) Le point A a pour abscisse 0;f(0)=1 doncC passe par le point A (0; 1).
(b) Le coefficient directeur de la droite (AB) est yB−yA
xB−xA = 3−1
−1−0= −2. (c) D’après la formule¡
eu¢′
=u′euet la dérivée d’une somme et d’un produit : f′(x)=1+0+ae−x2+ax(−2x)e−x2= 1−a¡
2x2−1¢ e−x2
(d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbeC au point A; cela veut dire que le coefficient directeur de (AB) est égal au nombre dérivé de la fonction f enxAsoitf′(0).
On a doncf′(0)= −2 ⇐⇒1−a(0−1) e0= −2 ⇐⇒1+a= −2⇐⇒ a= −3 2. D’après la question précédente, pour tout réelx,f(x)=x+1−3xe−x2 etf′(x)= 1+3¡
2x2−1¢ e−x2 . (a) ∀x∈R, e−x2>0
∀x∈]−1 ; 0],−3xÊ0 Par produit∀x∈]−1 ; 0],−3xe−x2Ê0
∀x∈]−1 ; 0], x+1>0 par somme,∀x∈]−1 ; 0], x+1−3xe−x2>0 Donc, pour toutxde ]−1 ; 0],f(x)>0.
(b) SixÉ −1, alorsx2Ê1 donc 2x2Ê2, donc 2x2−1Ê1 et donc 3¡
2x2−1¢ Ê3.
Comme pour toutx, e−x2>0, on peut dire que pour toutxÉ −1, 3¡
2x2−1¢
e−x2>0 (par produit). Donc, pour toutxÉ −1,f′(x)=1+3¡
2x2−1¢
e−x2>0.
(c) Sur ]−∞;−1], f′(x)>0 donc la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle donc sur l’intervalle
·
−3 2;−1
¸ . Or f
µ
−3 2
¶
≈ −0,026<0 et f(−1)≈1,10>0 donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermé- diaires, l’équation f(x)=0 admet une solution unique dans l’intervalle
·
−3 2;−1
¸
; on l’appellec.
Or f µ
−3
2+2.10−2
¶
≈0,017>0 doncc∈
·
−3 2;−3
2+2.10−2
·
et doncc< −3
2+2.10−2.
