2Alg`ebredesfonctionsenescaliersur [ a,b ] 1Subdivisionsd’unsegment Tabledesmati`eres Int´egration

Int´ egration

Table des mati` eres

1 Subdivisions d’un segment 1

2 Alg`ebre des fonctions en escalier sur[a, b] 1

3 Sommes de Darboux 2

4 Exemples de fonctions int´egrables ou non 3

5 Sommes de Riemann. M´ethodes num´eriques 3

6 Primitives ; int´egrale fonction de la borne sup´erieure 4

7 Formule de la moyenne, in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 4

8 Changement de variable 4

9 Int´egration par parties. Formule de Taylor avec reste int´egral 5

1 Subdivisions d’un segment

D´efinition: soitn∈N^∗; unpartage (ousubdivision) d’un segment [a, b] deR enn sous-intervalles est une fonction strictement croissante s de [[1, n]] dans [a, b] telle que s(0) = a et s(n) = b. Notons x_k l’image de k∈[[1, n]], et s= (x0, . . . , x_n).

D´efinition: lemodule d’une subdivisions= (x0, . . . , xn) estµ(s) = max

16k6n|xk−xk−1|. On a doncµ(s)6b−a et, sib > a,µ(s)>0.

D´efinition: soit (n, p)∈(N^∗)², avecp > n; tune subdivision de [a, b] enpsous-intervalles, etsune subdivision de [a, b] ennsous-intervalles. Nous dirons quetestplus fine quess’il existe une injectionφde [[1, n]] dans [[1, p]]

telle que s=t◦φ. Les pointsxj de la subdivisions apparaissent donc parmi les pointsyk de la subdivisiont,

´eventuellement s´epar´es par des points de cette derni`ere : xk =yφ(k). Proposition: sitest plus fine ques, alorsµ(t)6µ(s).

Proposition: siset tsont deux subdivisions de [a, b], il existe une subdivisionuet une seule, plus fine ques et quet, et moins fine que toute subdivision plus fine queset que t.

D´efinition: une subdivision s de [a, b] en n sous-intervalles est `a pas constant si, pour tout k ∈ [[1, n]], xk−xk−1= b−a

n ; le pas de la subdivision esth= b−a

n et bien entenduµ(s) =h.

2 Alg` ebre des fonctions en escalier sur [ a, b ]

D´efinition: une fonction f de [a, b] dans R est en escalier s’il existe une subdivision s de [a, b] en n sous- intervalles, telle que la restriction de f `a chaque sous-intervalle ]xk−1, xk[ soit constante. On dit aussi : f est constante par morceaux.

Soit f en escalier sur [a, b]. Une subdivision s = (x0, x1, . . . , x_n) de [a, b] est adapt´ee `a f si, pour chaque k∈[[1, n]], la restriction def `a ]xk−1, xk[ est constante .

Proposition: l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] est une sous-alg`ebre de l’ensemble des fonctions de [a, b] dansR.

D´efinition: soit f en escalier sur [a, b] et s une subdivision adapt´ee. Notonsc_k la valeur constante de f sur chaque intervalle ]xk−1, x_k[. L’int´egrale def sur [a, b], not´ee

Z b

a

f(t)dt, est

n

X

k=1

(xk−x_k−1)ck. Cette d´efinition est intrins`eque : elle ne d´epend pas de la subdivision adapt´ee choisie.

Proposition: la fonction f → Z b

a

f(t)dt est une forme lin´eaire sur l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] ; elle est croissante, en ce sens que, sif 6g, alors

Z b

a

f(t)dt6 Z b

a

g(t)dt.

D´efinition: sia > b, on pose Z a

b

f(t)dt=− Z b

a

f(t)dt

Proposition: soienta,b,ctrois r´eels, etf en escalier sur l’intervalle¡

min(a, b, c),max(a, b, c)¢ . Alors

Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt

3 Sommes de Darboux

Proposition: l’ensemble des fonctions born´ees de [a, b] dansRest une sous-alg`ebre de l’ensemble des fonctions de [a, b] dansR.

D´efinition: soit f : [a, b] → R born´ee, ets = (x0, . . . , x_n) une subdivision de [a, b]. Pour tout k ∈ [[1, n]], notons m_k la borne inf´erieure de f et M_k la borne sup´erieure de f sur l’intervalle [xk−1, x_k]. On d´efinit les sommes de Darboux S₋(f, a, b, s) et S⁺(f, a, b, s) relatives `af et `a la subdivisionsde [a, b] par :

S₋(f, a, b, s) =

n

X

k=1

(xk−x_k−1)mk S+(f, a, b, s) =

n

X

k=1

(xk−x_k−1)Mk

On a, de fa¸con ´evidente : S₋(f, a, b, s) 6 S⁺(f, a, b, s). Si f est en escalier sur [a, b], alors S₋(f, a, b, s) = S⁺(f, a, b, s) =Rb

af(t)dt.

Proposition: sitest une subdivision de [a, b] plus fine ques, alors :

S₋(f, a, b, s)6S₋(f, a, b, t) et S⁺(f, a, b, s)>S⁺(f, a, b, t)

Notons I₋(f, a, b) etI⁺(f, a, b) respectivement la borne sup´erieure desS₋(f, a, b, s) et la borne inf´erieure des S⁺(f, a, b, s), lorsquesd´ecrit l’ensemble de toutes les subdivisions de [a, b].

Nous avons ´evidemmentI₋(f, a, b)6I⁺(f, a, b).

Proposition: I₋(f, a, b) estla borne sup´erieure et la borne inf´erieure des Z b

a

g(t)dtlorsquegd´ecrit l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] qui minorentf. Mˆeme ´enonc´e en rempla¸cant I₋ parI⁺, et^≪minorent^≫par

≪majorent^≫.

D´efinition: on dit que f est int´egrable sur [a, b] lorsque I₋(f, a, b) = I⁺(f, a, b), la valeur commune est l’int´egrale def sur [a, b], not´ee

Z b

a

f(t)dt. On remarque qu’une fonction en escalier sur [a, b] est int´egrable sur [a, b], et que l’int´egrale que l’on vient de d´efinir est la mˆeme que celle d´efinie plus haut.

Proposition: f est int´egrable sur [a, b] ssi∀ε >0 il existe une subdivisionsde [a, b] telle queS⁺(f, a, b, s)− S₋(f, a, b, s)6ε.

Proposition: la fonctionf 7→

Z b

a

f(t)dtest une forme lin´eaire sur l’ensemble des fonctions born´ees de [a, b]

dansR; elle est croissante, en ce sens que, sif 6g, alors Z b

a

f(t)dt6 Z b

a

g(t)dt.

Proposition: sif etg sont int´egrables sur [a, b], alorsf g l’est aussi.

Preuve : en utilisant la lin´earit´e, on peut supposerf et g positives. SoientA >0 et B >0 tels quef 6Aet g 6B. Soient s et t des subdivisions de [a, b] telles que S⁺(f, a, b, s)−S₋(f, a, b, s) 6 _2B^ε et S⁺(g, a, b, s)− S₋(g, a, b, s)6_2A^ε . Soituplus fine queset t, alors

S⁺(f g, a, b, u)−S₋(f g, a, b, u) =

n

X

k=1

(xk−x_k−1)(sup

k

f g−inf

k f g)

≤

n

X

k=1

(xk−x_k−1)(sup

k

fsup

k

g−inf

k finf

k g)

=

n

X

k=1

(xk−xk−1)£ sup

k

f(supkg−inf

k g) + (supkf−inf

k f) inf

k g¤

≤ A ε

2A+B ε 2B =ε

Proposition: sif est int´egrable sur [a, b], alors|f|l’est aussi, et

¯

¯

¯

¯

¯ Z b

a

f(t)dt

¯

¯

¯

¯

¯ 6

Z b

a

|f(t)|dt.

D´efinition: sia > b, on pose Z a

b

f(t)dt=− Z b

a

f(t)dt

Proposition: soienta,b,c trois r´eels, etf born´ee et int´egrable sur ¡

min(a, b, c),max(a, b, c)¢ . Alors : Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt

4 Exemples de fonctions int´ egrables ou non

Ex : la fonction caract´eristique de Q∩[a, b] n’est pas int´egrable ; en effet, sur tout intervalle [xk−1, xk] d’amplitude non nulle, on auramk = 0 etMk= 1. Donc I₋(f, a, b) = 0 etI⁺(f, a, b) =b−a.

Proposition: toute fonction monotone est int´egrable.

Proposition: toute fonction continue sur [a, b] est int´egrable.

Proposition: sif est continue sur [a, b] et de signe constant, et si Z b

a

f(t)dt= 0, alorsf = 0.

Proposition: toute fonction continue par morceaux est int´egrable.

5 Sommes de Riemann. M´ ethodes num´ eriques

D´efinition: soit f d´efinie sur [a, b] et s = (x0, . . . , x_n) une subdivision de [a, b]. Choisissons, pour tout k ∈ [[1, n]], un ´el´ement ξ_k de [xk−1, x_k]. La somme de Riemann associ´ee `a f, `a la subdivisions, et au choix (ξk)16k6n de points, est la quantit´eS_n(f, a, b) =

n

X

k=1

(xk−x_k−1)f(ξk).

Proposition: soitf int´egrable sur [a, b] ; pour toutε >0, il existe unη >0 tel que, pour toute subdivisions de [a, b] de module inf´erieur `aη, et tout choixξde points dans cette subdivision, la diff´erence entre

Z b

a

f(t)dt et la somme deRiemannassoci´ee `af, `aset au choix ξ, soit, en valeur absolue, inf´erieure `aε.

En particulier, si, pour chaquen >0 on consid`ere la subdivision `a pas constanth=b−a

n et un choix quelconque, la suite des sommes deRiemannS_n(f, a, b) associ´ees tend vers

Z b

a

f(t)dtquandn→ ∞.

D´efinition: soit n ∈ N^∗, et f int´egrable sur [a, b]. La m´ethode de Newton-Cotes consiste `a approcher Z b

a

f(t)dt par Z b

a

P_n(t)dt o`uP<sub>n</sub> est le polynˆome d’interpolation de Lagrange, de degr´en, qui prend mˆeme valeur quef en chacun desn+ 1 points de la subdivision `a pas constant b−a

n .

Pourn= 1, on approche Z b

a

f(t)dt par b−a 2

¡f(a) +f(b)¢

, ce qui donne lam´ethode des trap`ezes.

Pourn= 2, on approche par b−a 6

³f(a) + 4f³a+b 2

´+f(b)´

, ce qui donne lam´ethode de Simpson. Pour n = 0, on convient en g´en´eral d’´evaluer f au point milieu, donc d’approcher par (b−a)f³a+b

2

´, ce qui donne la m´ethode des rectangles m´edians. Notons que le r´esultat obtenu est le mˆeme que celui fourni par la m´ethode de la tangente m´ediane, pour une fonction f d´erivable sur [a, b], laquelle consiste `a poser g(t) =g(m) +g^′(m)(t−m), avecm= a+b

2 , et `a approcher Z b

a

f(t)dtpar Z b

a

g(t)dt.

6 Primitives ; int´ egrale fonction de la borne sup´ erieure

D´efinition: soitf d´efinie sur un intervalleI deR; F, d´efinie surI, est uneprimitivedef lorsqueF^′ =f. Proposition: siF est une primitive def sur [a, b], alors l’ensemble des primitives def sur [a, b] est l’ensemble desF+Co`uC d´ecrit l’ensemble des fonctions constantes.

Consid´erons la relation ∼ d´efinie par : F ∼G lorsque F −G est une constante. On note Z

f(t)dt la classe d’´equivalence constitu´ee des primitives def. On calcule sur ces classes comme sur les fonctions.

Proposition: sif est continue sur [a, b], alorsx→ Z x

a

f(t)dtest la primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a.

D´efinition: la variation de F entre a et b est la quantit´eF(b)−F(a), not´ee £ F(t)¤b

a. On a donc, si f est continue sur [a, b] :

Z b

a

f(t)dt=¡ F(t)¢b

a pour toute primitive F def.

7 Formule de la moyenne, in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz

Proposition: soitf continue sur [a, b], etgint´egrable et positive sur [a, b]. Alors :

∃c∈]a, b[ : Z b

a

f(t)g(t)dt=f(c) Z b

a

g(t)dt

Proposition: soientf etg int´egrables sur [a, b]. Alors : ÃZ b

a

f(t)g(t)dt

!2

6 ÃZ b

a

f²(t)dt

!

× ÃZ b

a

g²(t)dt

!

8 Changement de variable

Proposition: soient : f une fonction continue sur [a, b] ; F une primitive de f sur [a, b] ; g une bijection continue et d´erivable de [α, β] sur [a, b]. AlorsF^′=f, puis (F◦g)^′=g^′×(f◦g). Ainsi,F◦g est une primitive deg^′×(f◦g) sur [α, β]. Avecg croissante, il vient :

Z g(β)

g(α)

f(u)du= Z b

a

F^′(u)du=F(b)−F(a) = (F◦g)(β)−(F◦g)(α) = Z β

α

(f◦g)(t)g^′(t)dt Formellement, ceci revient `a ´ecrire :

Z β

α

f£ g(t)¤

g^′(t)dt= Z g(β)

g(α)

f(u)du

donc, `a poser u= g(t), du =g<sup>′</sup>(t)dt, et `a remplacer les bornes de l’intervalle d’int´egration par leurs images respectives parg. On dit qu’on a effectu´e lechangement de variableu=g(t).

Proposition: sif est continue sur [−a, a] et paire, alors Z a

−a

f(t)dt= 2 Z a

0

f(t)dt.

Proposition: sif est continue sur [−a, a] et impaire, alors Z a

−a

f(t)dt= 0.

Proposition: sif est continue surRetT-p´eriodique, alors Z a+T

a

f(t)dtest ind´ependant dea.

9 Int´ egration par parties. Formule de Taylor avec reste int´ egral

Proposition: siuetvsont d´erivables sur un mˆeme intervalleI, alorsR

u(t)v^′(t)dt=u(t)v(t)−R

u^′(t)v(t)dt.

Formellement,R

u dv=uv−R

v du. SiI= [a, b], alors : Z b

a

u(t)v^′(t)dt=£

u(t)v(t)¤b a−

Z b

a

u^′(t)v(t)dt Proposition: soitf d´efinie et de classeCⁿ⁺¹ sur [a, b]. Alors :

f(b) =

n

X

k=0

(b−a)^k

k! f^k(a) + Z b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt Proposition: dans les mˆemes conditions, en notant Mn+1 = sup

a6t6b

¯

¯

¯f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)¯

¯

¯, nous avons l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange:

¯

¯

¯

¯

¯ f(b)−

n

X

k=0

(b−a)^k k! f^k(a)

¯

¯

¯

¯

¯

6 (b−a)ⁿ⁺¹ (n+ 1)! Mn+1

FIN

[Intgration] Version du 23 septembre 2010