Gradients de Heegaard sous-logarithmiques d’une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles

Actes du séminaire de

Théorie spectrale et géométrie

Claire R ENARD

Gradients de Heegaard sous-logarithmiques d’une variété hyperbolique de dimension trois et fibres virtuelles

Volume 29 (2010-2011), p. 97-131.

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Article mis en ligne dans le cadre du

Volume 29 (2010-2011) 97-131

GRADIENTS DE HEEGAARD

SOUS-LOGARITHMIQUES D’UNE VARI´ ET´ E HYPERBOLIQUE DE DIMENSION TROIS ET FIBRES

VIRTUELLES

Claire Renard

R´ esum´ e. — J. Maher a montr´ e qu’une vari´ et´ e hyperbolique de dimension 3 compacte sans bord, connexe et orientable fibre virtuellement sur le cercle si et seulement si elle admet une famille infinie de revˆ etements finis de genre de Hee- gaard born´ e. En s’appuyant sur la d´ emonstration de Maher, cet article pr´ esente un th´ eor` eme donnant une condition suffisante pour qu’un revˆ etement fini d’une vari´ et´ e hyperbolique compacte de dimension 3 contienne une fibre virtuelle, qui s’exprime en fonction du degr´ e d du revˆ etement et de son genre de Heegaard. On introduit des versions sous-logarithmiques des gradients de Heegaard de Lackenby. Dans ce contexte, on propose des analogues aux conjectures du gradient de Heegaard et du gradient de Heegaard fort de Lackenby.

Abstract. — J. Maher has proven that a closed, connected and orientable hy- perbolic 3-manifold M virtually fibers over the circle if and only if it admits an infinite family of finite covers with bounded Heegaard genus. Building on Maher’s proof, we present in this article a theorem giving a sufficient condition for a finite cover of a closed hyperbolic 3-manifold to contain a virtual fiber in terms of the cov- ering degree d and the Heegaard genus of the cover. We introduce sub-logarithmic versions of Lackenby’s infimal Heegaard gradients. In this setting, we expose the analogues of Lackenby’s Heegaard gradient and strong Heegaard gradient conjec- tures.

Introduction

La compr´ ehension des vari´ et´ es de dimension trois, en particulier des va- ri´ et´ es hyperboliques, a beaucoup progress´ e ces derni` eres ann´ ees, notamment grˆ ace ` a Perelman et la d´ emonstration du th´ eor` eme de g´ eom´ etrisation, mais

Mots-cl´ es : vari´ et´ e de dimension trois, fibration, revˆ etement fini, g´ eom´ etrie hyperbo- lique, corps en anses.

Classification math. : 57M27, 57M10, 57M50, 20F67.

aussi ` a l’´ etude des groupes kleiniens. Dans le cadre des vari´ et´ es hyper- boliques compl` etes et de volume fini, Thurston a propos´ e une conjecture frappante qui est toujours ouverte.

Conjecture 1 (Thurston) . — [26, Question 17 du paragraphe 6]

Toute vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, com- pl` ete et de volume fini poss` ede un revˆ etement fini qui est fibr´ e sur le cercle S ¹ .

Si une vari´ et´ e M de dimension trois poss` ede un revˆ etement fini fibr´ e sur le cercle S ¹ , on dit qu’elle est virtuellement fibr´ ee sur le cercle. Dans le cas des vari´ et´ es graph´ ees de Waldhausen (qui ne sont pas hyperboliques), elles sont virtuellement fibr´ ees si leur bord n’est pas vide, mais il existe des exemples de vari´ et´ es graph´ ees sans bord qui ne fibrent pas virtuellement sur le cercle.

La difficult´ e de la conjecture 1 de Thurston r´ eside en partie dans le fait qu’il n’existe que des crit` eres suffisants permettant de conclure qu’une vari´ et´ e de dimension trois est fibr´ ee sur le cercle. De plus, ceux-ci sont peu nombreux et d´ elicats ` a mettre en oeuvre en pratique. En particulier, il est difficile de savoir a priori quel type de revˆ etement consid´ erer parmi tous les revˆ etements finis de la vari´ et´ e.

Un autre point de vue concerne l’´ etude des scindements de Heegaard.

Notons χ ^h ₋ (M ) = 2g(M ) − 2 la caract´ eristique de Heegaard de M , o` u g(M ) est le genre de Heegaard de M . Un scindement de Heegaard est dit fortement irr´ eductible s’il n’existe aucun couple de disques m´ eridiens de part et d’autre de la surface de Heegaard et qui ne s’intersectent pas. La caract´ eristique de Heegaard forte de M , not´ ee χ ^sh ₋ (M ), est la borne inf´ erieure de 2g(F )−2 pour toute surface F qui est une surface de Heegaard de M fortement irr´ eductible, avec la convention que s’il n’existe aucun scindement de Heegaard de M fortement irr´ eductible, χ ^sh ₋ (M ) = +∞ (voir le paragraphe 1).

Lackenby [13] a propos´ e un programme pour relier les conjectures pr´ ec´ e- dentes au comportement de la caract´ eristique de Heegaard dans des revˆ e- tements finis d’une vari´ et´ e M . Pour ce faire, il a introduit deux nouveaux invariants qui contrˆ olent la croissance de la caract´ eristique de Heegaard dans des revˆ etements finis.

Il d´ efinit le gradient de Heegaard de M , not´ e ∇ ^h (M ), comme la borne inf´ erieure sur tous les revˆ etements finis M i → M du rapport ^χ

h

−

(M

)

d

. De

mˆ eme, il d´ efinit le gradient de Heegaard fort de M , not´ e ∇ ^sh (M ),

comme la borne inf´ erieure sur tous les revˆ etements finis M _i → M du rap- port ^χ

sh

−

(M

) d

.

La croissance de la caract´ eristique de Heegaard dans une tour de revˆ e- tements finis de M est au plus lin´ eaire en le degr´ e du revˆ etement, et le gradient de Heegaard d’une vari´ et´ e compacte, connexe, orientable et vir- tuellement fibr´ ee est nul. Dans le cas hyperbolique, Lackenby [13, p. 320]

conjecture que la r´ eciproque est vraie :

Conjecture 2 (du gradient de Heegaard) . — Le gradient de Heegaard d’une vari´ et´ e hyperbolique M de dimension trois, compacte, connexe et orientable est nul si et seulement si la vari´ et´ e M est virtuellement fibr´ ee sur le cercle.

Si la conjecture 1 est vraie, le gradient de Heegaard d’une vari´ et´ e hyper- bolique devrait toujours ˆ etre nul. Par contre, Lackenby conjecture que ce n’est pas le cas pour le gradient de Heegaard fort.

Conjecture 3 (du gradient de Heegaard fort) . — Le gradient de Hee- gaard fort des vari´ et´ es hyperboliques de dimension trois compactes, sans bord, connexes et orientables n’est jamais nul.

Un autre th´ eor` eme de Lackenby constitue une avanc´ ee vers la r´ esolution de la conjecture 1 de Thurston.

Th´ eor` eme. — [12, Th´ eor` eme 1 (3)]

Soit M une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord. Soit (M _i → M ) _i∈I une famille de revˆ etements finis de M galoisiens de degr´ es d i .

Si lim i→+∞

χ

(M

)

√

d

= 0, alors pour tout indice i assez grand, le revˆ ete- ment M i est fibr´ e sur le cercle.

Un des buts de notre travail de th` ese a ´ et´ e de sortir du cadre des re-

vˆ etements r´ eguliers et de s’int´ eresser au cas g´ en´ eral. Dans ce contexte,

Maher [14] montre qu’une vari´ et´ e hyperbolique et sans bord est virtuelle-

ment fibr´ ee sur le cercle si et seulement si elle admet une famille infinie de

revˆ etements finis, pas n´ ecessairement galoisiens, mais dont le genre de Hee-

gaard est uniform´ ement born´ e. Ce r´ esultat et sa m´ ethode de d´ emonstration

ont constitu´ e le point de d´ epart de notre travail. Le but de cet article est

d’exposer bri` evement un des r´ esultats de ce travail doctoral, en lien avec la

croissance du genre de Heegaard dans des revˆ etements finis.

D´ efinition 0.1. — Soit N une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord. Une surface T compacte, sans bord, orientable et plong´ ee dans N est appel´ ee fibre virtuelle si il existe un revˆ etement fini N ⁰ → N de N fibr´ e sur le cercle et dans lequel le relev´ e de T est une fibre.

Une difficult´ e de la conjecture 1 de Thurston est de trouver explicitement un revˆ etement fini fibr´ e sur le cercle, ou tout au moins contenant une fibre virtuelle. Un des r´ esultats principaux de notre travail de th` ese est un th´ eo- r` eme qui donne un crit` ere explicite permettant d’´ etablir qu’un revˆ etement fini d’une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, com- pacte et sans bord contient une surface plong´ ee incompressible qui est une fibre virtuelle. Appliqu´ e aux scindements de Heegaard, ce th´ eor` eme plus g´ en´ eral peut se reformuler ainsi.

Th´ eor` eme 0.2. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois hyperbolique, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord. Soit = Inj(M )/2, o` u Inj(M ) est le rayon d’injectivit´ e de la vari´ et´ e M .

Il existe une constante k = k(, Vol(M )) ne d´ ependant que de et du volume de M telle que, pour tout revˆ etement fini M ⁰ → M de degr´ e d v´ erifiant χ ^h ₋ (M ⁰ ) ln χ ^h ₋ (M ⁰ )

/ ln ln d 6 k, le revˆ etement M ⁰ est fibr´ e sur le cercle ou est un I-fibr´ e tordu.

De plus, il contient une fibre qui est une surface plong´ ee incompressible de genre au plus g(M ⁰ ). En particulier, la vari´ et´ e M est virtuellement fibr´ ee sur le cercle S ¹ .

Ce th´ eor` eme a pour corollaire une version “sous-logarithmique” des con- jectures 2 et 3 de Lackenby sur les gradients de Heegaard.

D´ efinition 0.3. — Soit η ∈]0, 1[.

Le gradient de Heegaard η-sous-logarithmique de la vari´ et´ e M est d´ efini par :

∇ ^h _log,η (M ) = inf

χ ^h ₋ (M i ) (ln ln d i ) ^η

,

o` u la borne inf´ erieure porte sur l’ensemble (d´ enombrable) de tous les revˆ e- tements finis (M i → M ) _i∈I de M , de degr´ es d i .

De mˆ eme, on peut d´ efinir le gradient de Heegaard fort η-sous-loga- rithmique de la vari´ et´ e M par

∇ ^sh _log,η (M ) = inf

χ ^sh ₋ (M i ) (ln ln d i ) ^η

,

o` u la caract´ eristique de Heegaard du revˆ etement fini M _i → M est remplac´ ee par sa caract´ eristique de Heegaard forte.

Th´ eor` eme 0.4. — Soient M une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord, et η ∈]0, 1[.

(1) Le gradient de Heegaard η-sous-logarithmique ∇ ^h _log,η (M ) de M est nul si et seulement si M est virtuellement fibr´ ee sur le cercle S ¹ . (2) Le gradient de Heegaard fort η-sous-logarithmique de M est tou-

jours strictement positif : ∇ ^sh _log,η (M ) > 0.

Remarque 0.5. — L’expression explicite de la constante k apparaissant dans le th´ eor` eme 0.2 permet d’´ etudier son comportement. Lorsque le vo- lume Vol(M ) est fix´ e et que tend vers z´ ero, ou que est fix´ e et que Vol(M ) tend vers l’infini, k tend vers z´ ero. Ainsi, la condition suffisante devient de plus en plus difficile ` a v´ erifier ` a mesure que le rayon d’injecti- vit´ e diminue (par exemple lors de l’ouverture d’un cusp) ou que le volume augmente (comme lorsque l’on s’int´ eresse ` a des revˆ etements finis de M de grand degr´ e).

Le but de cet article est d’exposer bri` evement le contexte des scinde- ments de Heegaard qu’utilise le th´ eor` eme 0.2, et de donner une id´ ee de sa d´ emonstration. Il s’agit d’un r´ esum´ e des chapitres un et trois de la th` ese [19].

Apr` es quelques rappels sur la th´ eorie des scindements de Heegaard et des scindements g´ en´ eralis´ es dans le premier paragraphe, les paragraphes deux et trois sont consacr´ es ` a des ´ el´ ements de preuve du th´ eor` eme 0.2. Cette d´ emonstration s’effectue en deux ´ etapes principales : la construction dans la vari´ et´ e M ⁰ d’un produit ”long et fin”, d´ ecrite au paragraphe deux. Puis,

`

a partir de ce produit, on peut mettre en ´ evidence une fibre virtuelle : c’est l’objet du paragraphe trois. Enfin, le paragraphe quatre expose bri` evement l’id´ ee ` a la base du th´ eor` eme 0.4 (2) sur le gradient fort sous-logarithmique.

Remerciements : Je voudrais remercier de tout coeur mon directeur

de th` ese, Michel Boileau, pour ses encouragements, sa gentillesse et sa

grande disponibilit´ e. Un grand merci ´ egalement ` a Juan Souto, Nicolas Ber-

geron, Fr´ ed´ eric Paulin, Joan Porti, Jean-Marc Schlenker, Jean-Pierre Otal,

Vincent Guirardel, Cyril Lecuire, Steven Boyer, David Gabai, Dick Canary,

Thomas Haettel, Anne Berry et Genevi` eve Simonet pour des discussions

fructueuses.

1. Surfaces de Heegaard et scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es.

Nous renvoyons aux ouvrages [11], [10] et [1], ainsi qu’aux notes de Hat- cher [9] pour des rappels de topologie de dimension trois. Si non sp´ ecifi´ e, toutes les vari´ et´ es consid´ er´ ees seront suppos´ ees orientables.

Une vari´ et´ e M de dimension trois compacte, orient´ ee, est dite irr´ educ- tible si toute sph` ere S <sup>2</sup> proprement plong´ ee dans M borde une boule B <sup>3</sup> dans la vari´ et´ e M. Sinon, on dit que M est r´ eductible. On peut alors trouver une sph` ere S proprement plong´ ee dans M et qui ne borde aucune boule : une telle sph` ere est dite essentielle.

On rappelle ´ egalement qu’une surface F compacte, connexe, proprement plong´ ee dans M et qui n’est pas une sph` ere est incompressible si l’ap- plication i <sub>∗</sub> : π <sub>1</sub> (F, x <sub>0</sub> ) → π <sub>1</sub> (M, x <sub>0</sub> ) induite par l’inclusion i entre les groupes fondamentaux est injective (pour un point base x 0 sur la surface F). D’apr` es le Th´ eor` eme du Lacet (voir [10] ou [11]), cela revient ` a dire que le bord de tout disque D plong´ e dans M intersectant la surface F trans- versalement et tel que D ∩ F = ∂D borde un disque dans la surface F . Une vari´ et´ e de dimension trois connexe, compacte, orientable, irr´ eductible et contenant une surface incompressible est dite de Haken. Si une vari´ et´ e M de dimension trois connexe, compacte, orientable et irr´ eductible poss` ede un revˆ etement fini qui est de Haken, la vari´ et´ e M est dite virtuellement de Haken.

Dans toute la suite, M est une vari´ et´ e de dimension trois connexe, orien- t´ ee, compacte, et avec bord ´ eventuel.

1.1. Scindements de Heegaard.

Pour une introduction d´ etaill´ ee aux scindements de Heegaard, nous ren- voyons ` a l’article de Scharlemann [21].

1.1.1. D´ ecomposition en anses.

Soit M une vari´ et´ e de dimension 3 orient´ ee. Soit un entier p entre 0 et 3. Notons I = [0, 1].

Une p-anse sur M est la donn´ ee d’un entier p entre 0 et 3 et d’une

application d’attachement f : ∂ B ^p × B ^3−p → ∂M qui est un hom´ eo-

morphisme sur son image. Si p = 0, l’application d’attachement est vide.

Dans tous les cas, on dit alors que la vari´ et´ e M ⁰ = M ∪ f ( B ^p × B ^3−p ) de dimension 3 est obtenue ` a partir de la vari´ et´ e M par attachement d’une p-anse. Nous renvoyons ` a [20] pour plus de d´ etails sur les d´ ecompositions en anses.

Ainsi, une 0-anse est une boule B ³ munie de l’application d’attachement vide. Une 1-anse est un tube plein I × D ² rattach´ e le long des deux disques {0} × D ² et {1} × D ² . Son ˆ ame est l’arc I × {0} et sa coˆ ame est le disque { ¹ ₂ } × D ² . Une 2-anse est aussi un tube plein D ² × I, cette fois-ci rattach´ e le long de l’anneau ∂ D ² × I. Son ˆ ame est le disque D ² × { ¹ ₂ } et sa coˆ ame l’arc {0} × I. Une 3-anse est une boule B ³ rattach´ ee le long de son bord, qui est la sph` ere S ² .

Par dualit´ e, en inversant l’ordre des facteurs, une 1-anse I × D ² peut ˆ etre vue comme une 2-anse et r´ eciproquement. Il en est de mˆ eme pour les 0- et 3-anses.

Un cobordisme (M, N ₀ , N ₁ ) est la donn´ ee d’une vari´ et´ e M de dimen- sion 3 et de deux sous-vari´ et´ es N 0 et N 1 de M disjointes de dimension 2,

´

eventuellement vides, et v´ erifiant ∂M = N ₀ t N ₁ .

Soit (M, N 0 , N 1 ) un cobordisme. On dit que H est une p-anse sur le cobordisme (M, N ₀ , N ₁ ) si H est une p-anse sur M et si l’application d’attachement de H est ` a valeurs dans N 1 , i.e. si H ∩ M ⊆ N 1 .

Une d´ ecomposition en anses du cobordisme (M, N 0 , N 1 ) est la don- n´ ee d’une d´ ecomposition de la forme M = C ₀ ∪ H ₁ ∪ H ₂ ∪ . . . ∪ H _k ∪ C ₁ telle que :

(1) La vari´ et´ e C 0 (respectivement C 1 ) est hom´ eomorphe ` a N 0 × I (res- pectivement N ₁ × I), et

(2) pour tout i entre 1 et k, H _i est une anse du cobordisme (C ₀ ∪ H ₁ ∪ . . . ∪ H i−1 , N 0 , ∂(C 0 ∪ H 1 ∪ . . . ∪ H i−1 )\ N 0 ), o` u l’on a identifi´ e N 0 ` a l’image de N 0 × {0} dans C 0 ∼ = N 0 × I, et N 1 ` a l’image de N 1 × {1}

dans C ₁ ∼ = N ₁ × I.

Par dualit´ e, une d´ ecomposition en anses du cobordisme (M, N ₀ , N ₁ ) peut ˆ

etre vue comme une d´ ecomposition en anses du cobordisme (M, N 1 , N 0 ) simplement en consid´ erant les anses duales attach´ ees “en sens contraire”.

Cette nouvelle d´ ecomposition est appel´ ee d´ ecomposition duale.

On a le lemme important (voir par exemple [20, “Reordering Lemma” 6.2 p. 76]) :

Lemme 1.1. — Soit M une vari´ et´ e de dimension 3 munie d’une d´ ecom- position en anses.

Apr` es isotopie, on peut toujours attacher une anse d’indice plus petit

avant une anse d’indice plus grand.

Par contre, si une 1-anse puis une 2-anse sont attach´ ees ` a M , on peut intervertir l’ordre dans lequel ces anses sont attach´ ees si et seulement si l’on peut disjoindre le bord de l’ˆ ame de la 2-anse du bord de la coˆ ame de la 1-anse (qui sont toutes les deux hom´ eomorphes ` a un disque).

D’apr` es le lemme 1.1, on peut r´ earranger toute d´ ecomposition en anses du cobordisme (M, N 0 , N 1 ) afin que les anses soient attach´ ees par indice croissant : d’abord les 0-anses, puis les 1-anses, puis les 2-anses, et pour terminer les 3-anses. Ceci conduit ` a la notion de scindement de Heegaard, que nous allons d´ ecrire ` a pr´ esent.

1.1.2. Corps en anses et scindements de Heegaard.

Un corps en anses, ou bretzel, est le voisinage r´ egulier tri-dimensionnel d’un graphe de genre g. On peut le voir ´ egalement comme une surface de genre g remplie, ou comme une boule de dimension trois ` a laquelle on a rattach´ e g 1-anses. Par exemple, si g = 1, on obtient un tore solide D <sup>2</sup> × S <sup>1</sup> . Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe, orient´ ee, compacte et sans bord. Un scindement de Heegaard de M est une d´ ecomposition de la vari´ et´ e M en deux corps ` a g anses H 0 et H 1 recoll´ es par un hom´ eo- morphisme de leur bord (qui est une surface S compacte, sans bord et de genre g). L’entier g est appel´ e le genre du scindement de Heegaard. La surface S est une surface de Heegaard de M . On note ce scindement M = H 0 ∪ S H 1 .

Si M est une vari´ et´ e de dimension trois connexe, orient´ ee, compacte et ` a bord non vide, on peut encore d´ efinir la notion de scindement de Heegaard de M , en utilisant des corps en anses creux.

D´ efinition 1.2 (Corps en anses creux) . — Pour obtenir un corps en

anses creux H, ou bretzel creux, on part d’une surface F compacte, sans

bord, non n´ ecessairement connexe. On construit le corps en anses creux H

en rattachant des 1-anses ` a F × I sur le bord F × {1}. Les composantes

du bord de H correspondant ` a F × {0} sont not´ ees ∂ ₋ H , appel´ ees le bord

n´ egatif de H . Les composantes de bord restantes, ∂H \ ∂ ₋ H, sont no-

t´ ees ∂ + H et appel´ ees bord positif de H. Par convention, un corps en

anses comme d´ efini au paragraphe pr´ ec´ edent (donc qui n’a qu’une seule

composante de bord) est un corps en anses dont le bord n´ egatif est vide.

On remarque que, comme ∂ ₊ H est obtenu ` a partir de ∂ <sub>−</sub> H en attachant des anses ` a cette surface, la caract´ eristique d’Euler de ∂ + H est n´ ecessaire- ment inf´ erieure ou ´ egale ` a celle de ∂ ₋ H . En particulier, le genre de ∂ ₊ H est sup´ erieur ou ´ egal au genre de ∂ − H .

D´ efinition 1.3 (Scindement de Heegaard) . — Soit (M, N ₀ , N ₁ ) un co- bordisme. Un scindement de Heegaard de M associ´ e au cobordisme (M, N 0 , N 1 ) est la donn´ ee de deux corps en anses H 0 et H 1 v´ erifiant :

(1) ∂ ₋ H ₀ = N ₀ , ∂ ₋ H ₁ = N ₁ ,

(2) ∂ ₊ H ₀ ∼ = ∂ ₊ H ₁ ∼ = S avec S une surface compacte sans bord, et (3) M = H ₀ ∪ S H ₁ est obtenue en recollant H ₀ et H ₁ par un hom´ eo-

morphisme de leur bord positif.

La surface S est encore appel´ ee surface de Heegaard de M et son genre est appel´ e le genre du scindement de Heegaard M = H ₀ ∪ S H ₁ . Remar- quons que N 0 ou N 1 peuvent ˆ etre vides.

Si la vari´ et´ e M n’est pas connexe, un scindement de Heegaard de M est un scindement de chacune des composantes connexes de M .

Deux scindements de Heegaard sont isotopes si les surfaces de Heegaard correspondantes sont isotopes dans la vari´ et´ e M . Ils sont hom´ eomorphes s’il existe un hom´ eomorphisme de M envoyant la premi` ere surface de Hee- gaard sur la seconde.

Soit H un corps en anses, ´ eventuellement creux. Un disque m´ eridien de H est un disque D proprement plong´ e dans H tel que ∂D est une courbe essentielle dans ∂ + H. Un syst` eme complet de disques m´ eridiens pour H est une famille D de disques m´ eridiens tels que si l’on coupe H le long des disques de D, on obtient une union disjointe de boules et ∂ − H × I.

Th´ eor` eme 1.4. — Toute vari´ et´ e M de dimension trois, orient´ ee et com- pacte admet un scindement de Heegaard.

Preuve du th´ eor` eme 1.4.

Ce th´ eor` eme d´ ecoule imm´ ediatement de l’existence d’une triangulation K de M (voir Moise [15]). Dans le cas o` u le bord de M est vide, un premier corps en anses s’obtient en prenant un petit voisinage r´ egulier de K ⁽¹⁾ , le 1- squelette de la triangulation. Le compl´ ementaire n’est autre qu’un voisinage r´ egulier de Γ, le 1-squelette dual de K, et fournit le second corps en anses.

Γ

K ⁽¹⁾

D´ efinition 1.5 (Genre de Heegaard) . — Soit M une vari´ et´ e de dimen- sion trois connexe, orient´ ee et compacte. On d´ efinit le genre de Heegaard de M comme le minimum des genres des surfaces de Heegaard de M . C’est un entier positif ou nul, not´ e g(M ).

Exemple : Les seules vari´ et´ es compactes, connexes, sans bord, orientables et de genre de Heegaard inf´ erieur ou ´ egal ` a 1 sont la sph` ere S ³ , S ² × S ¹ et les espaces lenticulaires. En particulier, toute vari´ et´ e hyperbolique a un genre de Heegaard au moins ´ egal ` a 2.

Un scindement de Heegaard de M associ´ e au cobordisme (M, N ₀ , N ₁ ) peut ˆ etre vu comme une d´ ecomposition en anses particuli` ere o` u les anses sont attach´ ees par ordre croissant d’indice. En effet, les 0- et 1-anses consti- tuent le premier corps en anses, de bord n´ egatif N 0 . Les 2- et 3-anses correspondent par dualit´ e aux 1- et 0-anses du second corps en anses (de bord n´ egatif N 1 ). Consid´ erer la d´ ecomposition duale associ´ ee au cobordisme (M, N 1 , N 0 ) revient ainsi ` a intervertir l’ordre des corps en anses dans la d´ e- composition de Heegaard correspondante.

Avec ce point de vue, les disques m´ eridiens pour le premier corps en anses

correspondent aux coˆ ames des 1-anses et les disques m´ eridiens du second

corps en anses aux ˆ ames des 2-anses.

1.1.3. Le point de vue des fonctions de Morse.

Voir les d´ ecompositions de Heegaard comme des d´ ecompositions en anses permet de faire le lien avec les fonctions de Morse. En effet, prenons une fonction de Morse f associ´ ee au cobordisme (M, N 0 , N 1 ) telle qu’` a deux points critiques distincts correspondent des valeurs critiques distinctes, et que les valeurs critiques apparaissent par indice croissant. Autrement dit, f est une fonction de Morse ` a valeurs dans [0, 1] par exemple, v´ erifiant :

– les valeurs critiques de f sont 0 < a 1 < . . . < a k < b 1 < . . . < b ` < 1, – N ₀ = f ⁻¹ (0) si N ₀ 6= ∅, ou 0 est une valeur critique d’indice 0 si

N 0 = ∅,

– N 1 = f ⁻¹ (1) si N 1 6= ∅, ou 1 est une valeur critique d’indice 3 si N ₁ = ∅,

– pour tout i entre 1 et k, a i est une valeur critique associ´ ee ` a un point critique d’indice 1,

– pour tout j entre 1 et `, b j est une valeur critique associ´ ee ` a un point critique d’indice 2.

Alors pour tout t ∈]a k , b 1 [, la surface de niveau f ⁻¹ (t) est une surface de Heegaard de M , et si t ⁰ ∈]a k , b 1 [, les surfaces de niveau f ⁻¹ (t) et f ⁻¹ (t ⁰ ) sont isotopes. On a donc toute latitude pour placer la surface de Heegaard entre a k et b 1 . C’est ce qu’on appelle un balayage.

On peut visualiser ce qu’est un balayage en utilisant la notion d’´ echine.

Soit M = H 0 ∪ S H 1 un scindement de Heegaard de M . Pour i entre 0 et 1, si H _i est un corps en anses de bord n´ egatif vide, une ´ echine de H _i est un graphe Σ plong´ e dans H i tel que H i soit un voisinage r´ egulier de Σ. Si H i est un bretzel creux (i.e. ∂ ₋ H i 6= ∅), une ´ echine de H i est un graphe Σ proprement plong´ e dans H _i (donc tel que Σ ∩ ∂ ₋ H _i n’est constitu´ e que de sommets de valence 1), et tel que Σ ∪ ∂ ₋ H i soit un r´ etracte par d´ eformation de H i . Une ´ echine existe toujours. Par exemple, on peut en obtenir une ` a partir du 1-squelette d’une triangulation. Par d´ efinition, H i \ Σ est diff´ eomorphe au produit ∂ ₊ H × I.

∂ − H i

H i

Σ

Si Σ 0 et Σ 1 sont deux ´ echines de H ₀ et H ₁ respectivement pour le scin- dement de Heegaard consid´ er´ e, alors M \ (Σ 0 ∪ Σ 1 ) est diff´ eomorphe au produit S × I. On a ainsi obtenu une famille param´ etr´ ee par t ∈]0, 1[ de surfaces de Heegaard S × {t} de M , deux ` a deux isotopes, formant un balayage de la vari´ et´ e M .

1.2. Simplifier un scindement de Heegaard : stabilisation, r´ eductibilit´ e et r´ eductibilit´ e faible.

Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe, orient´ ee et compacte, et H 0 ∪ S H 1 un scindement de Heegaard de genre g de M . Il est assez facile de construire un scindement de Heegaard de M de genre g + 1 ` a partir de H 0 ∪ S H 1 comme suit.

Soit α un arc proprement plong´ e dans H 1 , avec ses deux extr´ emit´ es dans

∂ ₊ H ₁ ∼ = S et tel qu’il existe un disque D plong´ e dans H ₁ dont le bord est la r´ eunion de α et d’un arc de ∂ + H 1 .

On peut alors rajouter ` a H ₀ un voisinage r´ egulier de α, ce qui revient

`

a rajouter une 1-anse d’ˆ ame α ` a H 0 , qu’on enl` eve ` a H 1 . Par dualit´ e, c’est comme si l’on avait rajout´ e la 1-anse de coˆ ame D ` a H 1 . On obtient ainsi un nouveau scindement de Heegaard de M , de genre g + 1, obtenu ` a par- tir du scindement H 0 ∪ S H 1 par stabilisation. On remarque que deux scindements obtenus ` a partir de H ₀ ∪ S H ₁ par stabilisation sont isotopes.

Par contre, le th´ eor` eme de Reidemeister et Singer (voir par exemple [24]) montre que deux scindements de Heegaard d’une vari´ et´ e donn´ ee sont isotopes apr` es un certain nombre de stabilisations.

On peut ainsi toujours stabiliser un scindement. La question plus difficile est de savoir dans quel cas un scindement de Heegaard provient d’une stabilisation d’un scindement plus simple, i.e. dans quel cas un scindement de Heegaard peut-il ˆ etre d´ estabilis´ e ?

Lemme 1.6. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe, com- pacte et orientable.

Un scindement de Heegaard H ₀ ∪ S H ₁ de M peut ˆ etre d´ estabilis´ e si et seulement s’il existe deux disques D 0 et D 1 proprement plong´ es respecti- vement dans H ₀ et H ₁ et s’intersectant en un unique point.

Nous renvoyons au Lemme 3.1 de [21] pour une preuve de ce lemme.

α

S H 1 D

H ₀

stabilisation

α

S ⁰ H ₁ ⁰ D

H ₀ ⁰

D 0

D 1

S

Figure 1.1. Scindement de Heegaard pouvant ˆ etre d´ estabilis´ e.

On a la d´ efinition suivante :

D´ efinition 1.7. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe,

orient´ ee et compacte, et un scindement de Heegaard H ₀ ∪ _S H ₁ de M . Ce

scindement est dit r´ eductible s’il existe deux disques m´ eridiens D 0 et D 1

proprement plong´ es dans H ₀ et H ₁ respectivement et tels que leurs bords co¨ıncident : ∂D 0 = ∂D 1 ⊂ S.

Un scindement de Heegaard qui n’est pas r´ eductible est dit irr´ eductible.

Cette d´ efinition revient ` a dire que si le scindement de Heegaard est r´ e- ductible, alors il existe une sph` ere Σ (qui est l’union des deux disques pr´ ec´ edents) intersectant S en un unique cercle essentiel.

Σ D 1

D 0

S

Figure 1.2. Scindement de Heegaard r´ eductible.

Proposition 1.8. — Si M est une vari´ et´ e de dimension trois, connexe, compacte, orient´ ee, irr´ eductible qui n’est ni une sph` ere S <sup>3</sup> , ni une sph` ere trou´ ee, alors un scindement de Heegaard de M est r´ eductible si et seulement s’il peut ˆ etre d´ estabilis´ e.

Cette proposition utilise le th´ eor` eme de Waldhausen (voir [27], ainsi que [22] et [16]) : tout scindement de Heegaard de genre g > 0 de la sph` ere S ³ provient du scindement de genre 0 que l’on a stabilis´ e g fois.

D´ efinition 1.9. — Un scindement de Heegaard H 0 ∪ S H 1 de M est dit faiblement r´ eductible s’il existe deux disques m´ eridiens D ₀ dans H ₀ et D 1 dans H 1 dont les bords sont disjoints : ∂D 0 ∩ ∂D 1 = ∅.

Un scindement de Heegaard qui n’est pas faiblement r´ eductible est dit fortement irr´ eductible.

Remarque 1.10. — Tout scindement de Heegaard r´ eductible est faible-

ment r´ eductible.

En effet, soit un scindement de Heegaard r´ eductible M = H ₀ ∪ S H ₁ et deux disques m´ eridiens D 0 de H 0 , D 1 de H 1 dont les bords co¨ıncident :

∂D ₀ = ∂D ₁ . On peut toujours disjoindre dans S le bord de D ₀ du bord de D 1 .

D ₁

D ₀ S

Figure 1.3. Scindement de Heegaard r´ eductible, donc faiblement r´ e- ductible.

Th´ eor` eme 1.11 (Haken) . — Tout scindement de Heegaard d’une va- ri´ et´ e M de dimension trois, connexe, compacte, orient´ ee et r´ eductible, est r´ eductible.

Tout scindement de Heegaard d’une vari´ et´ e M de dimension trois, con- nexe, compacte, orient´ ee et dont le bord est compressible, est faiblement r´ eductible.

La preuve originelle de ce th´ eor` eme est bien sˆ ur due ` a Haken [8]. Jaco pro- pose une preuve plus simple au chapitre 2 de son ouvrage [11, paragraphe II.7 p. 20]. La version ` a bord est d´ emontr´ ee dans [2] et [3].

1.3. Scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es, complexit´ e et scindements minces.

Soit un scindement de Heegaard H ₀ ∪ _S H ₁ de M faiblement r´ eductible. Il

existe deux disques m´ eridiens D 0 dans H 0 et D 1 dans H 1 ne se rencontrant

pas. Soit une d´ ecomposition en anses associ´ ee au scindement de Heegaard M = H 0 ∪ S H 1 telle que D 0 soit la coˆ ame d’une 1-anse de M et D 1 l’ˆ ame d’une 2-anse de M . Le premier corps en anses H ₀ de M correspond aux 0- et 1-anses, et le second corps ` a anses H 1 aux 2- et 3-anses.

D’apr` es le lemme 1.1, on peut r´ earranger l’ordre d’attachement des anses dans la d´ ecomposition en anses de M en recollant la 2-anse d’ˆ ame D 1 avant la 1-anse de coˆ ame D 0 .

Plus g´ en´ eralement, prenons une d´ ecomposition en anses d’un cobordisme (M, N 0 , N 1 ) constitu´ ee de 0-anses, puis d’une s´ erie de 1-anses et de 2-anses, puis d’une deuxi` eme s´ erie de 1-anses et de 2-anses, etc, jusqu’` a la n-i` eme s´ e- rie de 1-anses et de 2-anses, puis des 3-anses. Notons F 1 le bord de la vari´ et´ e M <sub>1</sub> obtenue lorsque l’on n’a rattach´ e que les 0-anses et la premi` ere s´ erie de 1-anses, priv´ e de N 0 , F 2 le bord de la vari´ et´ e M 2 obtenue en rattachant la premi` ere s´ erie de 2-anses ` a M 1 priv´ e de N 0 , et ainsi de suite jusqu’` a F <sub>2n−1</sub> obtenue apr` es avoir rattach´ e la derni` ere s´ erie de 1-anses. Apr` es une petite isotopie, on peut disjoindre les surfaces {F 1 , F 2 , . . . , F _2n−1 }. Enlevons ´ ega- lement aux surfaces F _k les composantes qui sont des sph` eres bordant les 0- ou 3-anses.

Alors les surfaces paires F 2j divisent M en n vari´ et´ es M ₁ , . . . , M n , et pour tout j entre 1 et n, la surface impaire F 2j−1 est une surface de Hee- gaard pour la vari´ et´ e M j . Une telle d´ ecomposition H = (F 1 , F 2 , . . . , F _2n−1 ) est appel´ ee un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de M associ´ e au cobordisme (M, N 0 , N 1 ). L’entier n est appel´ e la longueur du scinde- ment. Un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de longueur 1 est un scinde- ment de Heegaard de M usuel.

On peut repr´ esenter ce scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e ` a l’aide du sch´ ema de la page suivante.

Etant donn´ ´ ee une vari´ et´ e M de dimension trois compacte, connexe et orientable, il y a beaucoup de latitude pour construire un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de M . Cependant, il est int´ eressant de trouver de tels scindements dont les surfaces paires et impaires sont les plus simples pos- sibles. C’est cette id´ ee que formalisent les notions de complexit´ e et de d´ e- compositions minces.

D´ efinition 1.12 (Complexit´ e d’une surface) . — Soit une surface F connexe, compacte, orientable et sans bord. La complexit´ e de F est d´ e- finie par :

c(F) =

( 0 si F ∼ = S ² ,

1 − χ(F ) = 2g(F ) − 1 sinon.

N 0 . F 1

F 2

F 3

F 4

.. . F _2n−2 F _2n−1

N 1

M 1

M 2

.. . M n

Si la surface F n’est pas connexe, la complexit´ e de F est la somme des complexit´ es de ses composantes connexes :

c(F ) = X

X∈π

(F)

c(X).

On remarque que pour toute telle surface F, −χ(F ) 6 c(F ) − 1.

La complexit´ e est une alternative ` a la caract´ eristique d’Euler. C’est un moyen de mesurer ` a quel point une surface est “compliqu´ ee”, en tenant compte ` a la fois du genre et du nombre de composantes connexes, tout en imposant ` a la sph` ere d’avoir une complexit´ e minimale et nulle.

Soit M une vari´ et´ e de dimension trois compacte, connexe et orientable, et H = (F 1 , F 2 , . . . , F 2n−1 ) un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de M . La largeur du scindement H est le n-uplet (c(F 1 ), c(F 3 ), . . . , c(F _2n−1 )), avec les r´ ep´ etitions ´ eventuelles, ordonn´ e par ordre d´ ecroissant. La complexit´ e du scindement H est c + (H) = max{c(F _2j−1 ), j = 1, . . . , n} − 1.

L’ensemble des largeurs des scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es de M peut ˆ etre muni de l’ordre lexicographique, qui est un bon ordre. En parti- culier, cet ensemble admet un minimum.

D´ efinition 1.13 (D´ ecomposition mince et complexit´ e de M ) . — Un

scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e dont la largeur r´ ealise le minimum des

largeurs des scindements de M est appel´ e une d´ ecomposition mince

de M .

La complexit´ e de la vari´ et´ e M est d´ efinie par :

c + (M ) := max{c(F 2j−1 ), j = 1, . . . , n} − 1 = c + (H), o` u H = (F 1 , F 2 , . . . , F _2n−1 ) une d´ ecomposition mince de M .

Les notions de complexit´ e d’un scindement de Heegaard et de d´ ecomposi- tion mince ont ´ et´ e utilis´ ees par Scharlemann et Thompson dans leur article [23]. Le lemme suivant donne une m´ ethode pour obtenir des d´ ecompositions minces.

Lemme 1.14. — Soit H = (F 1 , . . . , F _2n−1 ) un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e. Supposons qu’il existe un indice i pour lequel la surface F _2i−1 est faiblement r´ eductible.

Alors, il existe une op´ eration nomm´ ee chirurgie de scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es, permettant d’obtenir, ` a partir du scindement H, un nouveau scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e H ⁰ dont la largeur est stric- tement plus petite que celle de H.

Preuve du lemme 1.14.

Supposons qu’il existe une surface F _2i−1 faiblement r´ eductible. On peut trouver deux disques m´ eridiens D 0 et D 1 de part et d’autre de la surface de Heegaard F _2i−1 qui ne s’intersectent pas. Prenons une d´ ecomposition en anses de M _i associ´ ee au cobordisme (M _i , F _2i−2 , F _2i ) (avec les conventions F 0 = N 0 et F 2n = N 1 ) n’ayant que des 1- et 2-anses, telle que la surface impaire F _2i−1 s´ epare les 1-anses des 2-anses, et que le disque m´ eridien D ₀ corresponde ` a la coˆ ame d’une 1-anse et le disque D 1 ` a l’ˆ ame d’une 2-anse.

D’apr` es le lemme 1.1, on peut r´ earranger la d´ ecomposition en anses en rattachant la 2-anse d’ˆ ame D 1 avant la 1-anse de coˆ ame D 0 .

En inversant l’ordre d’attachement de la 1-anse de coˆ ame D 0 et de la 2- anse d’ˆ ame D ₁ , on a cr´ e´ e un nouveau scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de M : on attache sur les 0-anses la premi` ere s´ erie de 1- puis 2-anses, jusqu’` a la i-` eme s´ erie de 1-anses ` a l’exception de la 1-anse de coˆ ame D ₀ . Puis on attache la 2-anse d’ˆ ame D 1 , puis la 1-anse de coˆ ame D 0 , puis la i-i` eme s´ erie de 2-anses sauf celle d’ˆ ame D <sub>1</sub> qui est d´ ej` a attach´ ee. On termine la d´ ecomposition en attachant la (i + 1)-i` eme s´ erie de 1- et 2-anses, jusqu’` a la n-i` eme s´ erie de 1- et 2-anses, puis les 3-anses. On a donc introduit une s´ erie suppl´ ementaire de 1- et 2-anses, correspondant ` a la 1-anse de coˆ ame D ₀ et ` a la 2-anse d’ˆ ame D 1 . Notons G 1 la surface obtenue apr` es avoir attach´ e les anses jusqu’` a la i-i` eme s´ erie de 1-anses sauf la 1-anse de coˆ ame D ₀ , G 2 la surface obtenue apr` es avoir rattach´ e la 2-anse d’ˆ ame D 1 , puis G 3

la surface obtenue apr` es avoir rattach´ e la 1-anse restante, de coˆ ame D ₀ .

Comme pr´ ec´ edemment, on disjoint ces surfaces par une petite isotopie et

on enl` eve les composantes qui sont des sph` eres bordant des 0- et 3-anses.

Le nouveau scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e H ⁰ de M correspond alors aux surfaces (F ₁ , . . . , F _2i−2 , G ₁ , G ₂ , G ₃ , F _2i , F _2i+1 , . . . , F _2n−1 ).

F _2i−1 D 1

D 0

G ₂ G 3

G ₁

D´ efinition 1.15. — L’op´ eration d´ ecrite ci-dessus permettant d’obtenir

`

a partir du scindement H un nouveau scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e H ⁰ = (F 1 , . . . , F _2i−2 , G 1 , G 2 , G 3 , F 2i , F 2i+1 , . . . , F _2n−1 ) est appel´ ee une chi- rurgie de scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es.

La surface G ₁ est obtenue ` a partir de F _2i−1 en effectuant une chirurgie de long de D 0 . Ainsi, c(G 1 ) 6 c(F _2i−1 ) − 1.

La surface G ₃ est obtenue en effectuant une chirurgie de F _2i−1 le long du disque D 1 , donc on a aussi

c(G 3 ) 6 c(F _2i−1 ) − 1.

Comme la largeur du scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e

H ⁰ = (F ₁ , . . . , F _2i−2 , G ₁ , G ₂ , G ₃ , F _2i , F _2i+1 , . . . , F _2n−1 ) est le (n + 1)-uplet (c(F 1 ), . . . , c(F 2i−3 ), c(G 1 ), c(G 3 ), . . . , c(F 2i+1 ), . . . , c(F 2n−1 )) ordonn´ e par ordre d´ ecroissant, elle est strictement plus petite que la largeur de la d´ e-

composition H = (F 1 , . . . , F 2n−1 ).

D´ efinition 1.16. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe,

orient´ ee et compacte, et H = (F ₁ , . . . , F _2n−1 ) un scindement de Heegaard

g´ en´ eralis´ e de M .

Soit S H l’ensemble des scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es obtenus ` a partir de H par chirurgies de scindements de Heegaard g´ en´ eralis´ es. Un ´ el´ e- ment H ⁰ ∈ S _H minimisant la largeur est appel´ ee un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e H-mince.

Proposition 1.17. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois connexe, orient´ ee et compacte, et H un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e de M .

Tout scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e H-mince H ⁰ = (F ₁ , . . . , F _2n−1 ) v´ erifie les propri´ et´ es suivantes.

(1) Les surfaces impaires F _2i−1 correspondent ` a des surfaces de Hee- gaard fortement irr´ eductibles.

(2) Les surfaces paires F 2i sont des surfaces incompressibles de M . (3) De plus, si la vari´ et´ e M est irr´ eductible, alors aucune composante

des surfaces paires n’est une sph` ere.

La preuve de cette proposition est une cons´ equence du lemme 1.14. Nous renvoyons ` a [3] et [23].

Le corollaire suivant (voir par exemple [3, Th´ eor` eme 3.1 p. 280], ou [21, Th´ eor` eme 3.11 p.932]) se d´ eduit directement de la proposition 1.17.

Corollaire 1.18. — Soit M une vari´ et´ e de dimension trois compacte, connexe et orientable, et un scindement de Heegaard H 0 ∪ S H 1 de M fai- blement r´ eductible. Alors soit ce scindement est r´ eductible, soit M contient une surface incompressible.

Ce corollaire pourrait permettre d’´ etudier la conjecture sur les vari´ et´ es irr´ eductibles virtuellement de Haken : si on arrive ` a trouver un scindement de Heegaard de M irr´ eductible mais faiblement r´ eductible, alors M est de Haken.

2. Construire un produit “long et fin”.

Le but des deux paragraphes qui viennent est d’esquisser une d´ emons- tration du th´ eor` eme 0.2.

Soit donc M une vari´ et´ e de dimension trois hyperbolique, connexe, orien-

t´ ee, compacte et sans bord. Soit = Inj(M )/2, o` u Inj(M ) est le rayon d’in-

jectivit´ e de la vari´ et´ e M . Prenons M ⁰ → M un revˆ etement fini de M de

degr´ e d. Le but est de montrer que si le rapport χ ^h ₋ (M ⁰ ) ln χ ^h ₋ (M ⁰ )/ ln ln d est suffisamment petit, on peut construire dans M ⁰ une surface plong´ ee qui est une fibre virtuelle.

La d´ emonstration comporte deux ´ etapes. La premi` ere consiste ` a cons- truire dans le revˆ etement M ⁰ un produit “long et fin”. Plus pr´ ecis´ ement, il s’agit d’un produit T × [1, m] plong´ e dans le revˆ etement M ⁰ , o` u T est une surface connexe, compacte, sans bord et orientable. Ce produit est dit long et fin dans la mesure o` u l’entier m est grand, la distance entre deux surfaces fibre T × {i} et T × {i + 1} est uniform´ ement minor´ ee par une constante ne d´ ependant que de , et le diam` etre de chaque surface fibre T × {i} est uniform´ ement major´ e par une autre constante ne d´ ependant que de et du genre de T .

Pour ce faire, partons de S, une surface de Heegaard pour M ⁰ de genre minimal : g(S) = g(M ⁰ ). Soit H S le scindement de Heegaard de M ⁰ de surface S. A partir de H S , on peut obtenir un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e qui est une d´ ecomposition mince (voir [23], [13] et les rappels du paragraphe 1). En particulier, la complexit´ e de ce scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e est ´ egale ` a c + (S) 6 χ − (S) = χ <sup>h</sup> <sub>−</sub> (M <sup>0</sup> ). L’int´ erˆ et d’une d´ ecompo- sition en position mince est que l’union des surfaces qui la constituent a, ` a isotopie pr` es, une m´ etrique proche de celle de surfaces minimales. C’est ce que rappelle le th´ eor` eme suivant. Sa partie topologique (1) est une cons´ e- quence des travaux de Casson et Gordon, Scharlemann et Thompson ([3]

et [23]). La partie m´ etrique (2) provient de r´ esultats de Frohman, Freed- man, Hass et Scott concernant les surfaces incompressibles ([5] et [6]). La derni` ere partie (3) est un r´ esultat de Pitts et Rubinstein ([18], voir aussi [25], [4] et [17]).

Th´ eor` eme 2.1. — Soient N une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord, et H un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e en position mince. Alors H v´ erifie les propri´ et´ es sui- vantes.

(1) Chacune des surfaces paires est incompressible dans N et les sur- faces impaires forment des surfaces de Heegaard fortement irr´ educ- tibles pour les composantes connexes de la vari´ et´ e N d´ ecoup´ ee le long des surfaces paires.

(2) Chaque surface paire, en tant que surface incompressible, est isotope

`

a une surface minimale ou au bord d’un petit voisinage r´ egulier d’une surface minimale non orientable.

(3) Chaque surface impaire, en tant que surface de Heegaard fortement

irr´ eductible, est isotope ` a une surface minimale ou au bord d’un

petit voisinage r´ egulier d’une surface minimale non orientable, avec un petit tube attach´ e verticalement dans la structure de I-fibr´ e.

D´ efinition 2.2 (Surface pseudo-minimale) . — Une surface S plong´ ee dans une vari´ et´ e riemannienne N de dimension trois est dite pseudo- minimale si elle v´ erifie les propri´ et´ es suivantes. La surface S est orientable, compacte, sans bord, et S est une surface minimale ou le bord d’un petit voisinage r´ egulier d’une surface minimale non orientable, avec ´ eventuelle- ment un petit tube attach´ e verticalement dans la structure de I-fibr´ e.

Lemme 2.3. — Soit N une vari´ et´ e hyperbolique de dimension trois, connexe, orient´ ee, compacte et sans bord. Soit S une surface de Heegaard pour N de genre minimal, H _S le scindement de Heegaard correspondant, et F la surface correspondant ` a un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e qui est une d´ ecomposition H S -mince. Alors F est une surface pseudo-minimale, qui divise la vari´ et´ e N en q 6 χ ^h ₋ (N ) + 2 corps en anses C ₁ , . . . , C _q avec χ ₋ (C j ) 6 c + (S) pour tout j entre 1 et q.

Preuve du lemme 2.3.

Sous ces hypoth` eses, la surface F est la r´ eunion des surfaces paires et impaires d’une d´ ecomposition H S -mince. D’apr` es le th´ eor` eme 2.1, quitte ` a isotoper F , on peut supposer que cette surface est pseudo-minimale.

Un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e peut ˆ etre vu comme une d´ ecom- position en anses de la vari´ et´ e N , o` u certaines 2-anses sont attach´ ees avant d’autres 1-anses. Partant d’une d´ ecomposition en anses associ´ ee au scin- dement de Heegaard de N de surface S, le scindement g´ en´ eralis´ e en po- sition mince de surface F est obtenu en changeant l’ordre dans lequel les 1-anses et les 2-anses sont attach´ ees. Comme au d´ epart le scindement de Heegaard correspondait ` a une d´ ecomposition avec g(S) = g(N ) 1-anses et g(N ) 2-anses, le scindement g´ en´ eralis´ e en position mince comporte ´ egale- ment g(N ) 1-anses et g(N ) 2-anses. Ainsi, la surface F d´ ecoupe la vari´ et´ e N en q 6 2g(N ) = χ ^h ₋ (N) + 2 corps en anses.

Par d´ efinition de la complexit´ e d’un scindement de Heegaard g´ en´ eralis´ e et comme la surface F correspond ` a une position mince, la caract´ eristique χ − (C) de chacun des corps en anses C de N \ F est major´ ee par c + (S).

Puisque le volume de M ⁰ est ´ egal ` a d Vol(M ) et qu’il y a q 6 χ ^h ₋ (M ⁰ ) + 2 corps en anses C 1 , . . . , C q , il en existe un, notons-le C, tel que

(2.1) Vol(C) > Vol(M ) d

χ ^h ₋ (M ⁰ ) + 2 .

Si δ est le diam` etre du corps en anses C, comme le volume de C est au plus celui d’une boule hyperbolique plong´ ee de rayon δ, on a la majoration (2.2) δ > 1

2 ln

d χ ^h ₋ (M ⁰ ) + 2

+ 1

2 ln

2Vol(M ) π

.

En particulier, si le rapport χ ^h ₋ (M ⁰ )/d est tr` es petit, le diam` etre δ est tr` es grand, et il y a “beaucoup de place” dans C. Le deuxi` eme logarithme de l’expression ln ln d du th´ eor` eme 0.2 provient de cette in´ egalit´ e reliant volume et diam` etre en g´ eom´ etrie hyperbolique.

Comme les surfaces consid´ er´ ees ne sont pas n´ ecessairement connexes, on utilise la notion de -diam` etre pour laquelle des surfaces non connexes mais dont les composantes connexes ont un petit diam` etre sont encore “petites”.

D´ efinition 2.4. — Soit > 0. Le -diam` etre d’une surface F (´ even- tuellement non connexe) est le nombre minimal de boules de rayon pour la m´ etrique de F n´ ecessaires pour recouvrir la surface F .

D’apr` es le lemme 2.3, le bord de C est une surface pseudo-minimale, dont on contrˆ ole le -diam` etre dans la vari´ et´ e M ⁰ lin´ eairement en fonction son genre. C’est le lemme suivant.

Lemme 2.5. — (Maher [14, Lemme 4.2 p. 2249] et [13, Proposition 6.1].) Soit S une surface pseudo-minimale plong´ ee dans N , une vari´ et´ e rie- mannienne de dimension trois, compacte, sans bord et dont la courbure sectionnelle est inf´ erieure ou ´ egale ` a −1. Soit 6 Inj(N )/2 et

a ⁰ = 6 21 4 + 3

4π + 3

4 + 2

sinh ² ( ₄ )

! .

Alors le -diam` etre de la surface S est major´ e par a <sup>0</sup> |χ(S)|, et S admet une triangulation ` a un seul sommet pour laquelle toute arˆ ete a longueur au plus 2a ⁰ |χ(S)|.

Comme ∂C est une surface pseudo-minimale, d’apr` es ce lemme, on sait que son -diam` etre est major´ e par une fonction lin´ eaire en χ ^h ₋ (M ⁰ ). De plus, comme C est un corps en anses, il existe un balayage S × [0, 1] entre l’union du bord n´ egatif ∂ ₋ C et d’un certain nombre d’arcs et le bord positif

∂ + C de C. A chaque instant t ∈]0, 1[, la surface de balayage S × {t} est

une surface plong´ ee hom´ eomorphe ` a ∂ <sub>+</sub> C. Comme le diam` etre δ de C est

grand, ces surfaces balaient une grande r´ egion. Ce balayage semble donc

constituer un bon point de d´ epart en vue de construire un produit long et fin dans le corps en anses C, et donc dans M ⁰ .

Cependant, le probl` eme est que l’on ne peut pas a priori contrˆ oler le diam` etre des surfaces de balayage S × {t} : il peut apparaˆıtre des tubes de Margulis longs et fins, qui soient le voisinage r´ egulier d’une g´ eod´ esique γ de S × {t} de longueur plus petite que le rayon d’injectivit´ e de M ⁰ . Mˆ eme en transformant ce balayage en un balayage simplicial, le probl` eme subsiste.

L’id´ ee est alors d’introduire ` a la suite de Maher [14] la notion de balayage g´ en´ eralis´ e et d’effectuer des chirurgies sur ces balayages g´ en´ eralis´ es. Il s’agit, chaque fois qu’apparaˆıt un tube de Margulis autour d’une g´ eod´ esique γ de longueur plus petite ou ´ egale ` a , de supprimer ce tube en effectuant une chirurgie de la surface de balayage (voir figure 2.1). Si ces chirurgies sont r´ ealis´ ees de mani` ere continue en le param` etre t, on obtient un balayage g´ en´ eralis´ e : c’est encore une famille ` a un param` etre de surfaces immerg´ ees,

`

a l’exception d’un nombre fini d’instants t ∈ [0, 1]. Ces surfaces ne sont plus n´ ecessairement connexes, mais leur -diam` etre est major´ e par une constante ne d´ ependant que de et lin´ eaire en le genre de ∂ ₊ C.

A γ

A γ

A γ

A γ A γ A γ A γ

γ A

A γ

d b

c

A γ γ

A

a t temps t

balayage après chirurgie balayage d’origine

Figure 2.1. Chirurgie de balayage g´ en´ eralis´ e

La construction est assez technique, pour plus de pr´ ecisions nous ren-

voyons ` a l’article de Maher [14] et au premier chapitre de la th` ese [19]. En

s´ electionnant certaines composantes connexes de ces surfaces immerg´ ees du

balayage g´ en´ eralis´ e et en les rempla¸ cant par des surfaces plong´ ees dans un

petit voisinage des surfaces immerg´ ees grˆ ace ` a un r´ esultat de Gabai [7], on obtient un produit long et fin. Plus pr´ ecis´ ement, on a le r´ esultat suivant.

Proposition 2.6 (des Surfaces Parall` eles) . — Il existe deux constantes r = r() et k 0 = k 0 (, Vol(M )), ainsi que deux fonctions de la caract´ eris- tique χ ^h ₋ (M ⁰ ) et du degr´ e d du revˆ etement, not´ ees

K(χ ^h ₋ (M ⁰ )) = K()(χ ^h ₋ (M ⁰ )) lin´ eaire en χ ^h ₋ (M ⁰ ) et

m(χ ^h ₋ (M ⁰ ), d) = m(, Vol(M ))(χ ^h ₋ (M ⁰ ), d), telles que si le rapport

χ ^h ₋ (M ⁰ ) ln χ ^h ₋ (M ⁰ ) ln ln d

est plus petit que k 0 , alors il existe un produit T × [0, m] plong´ e dans le corps en anses C et long et fin au sens suivant.

(1) La surface fibre T est une surface connexe, compacte, sans bord et orientable, dont le genre est major´ e par le genre de Heegaard du revˆ etement M ⁰ .

(2) Pour tout j entre 0 et m, la surface fibre T j := T × {j} peut ˆ etre recouverte par au plus K boules plong´ ees dans M ⁰ de rayon 2.

(3) Si j 6= `, les surfaces T <sub>j</sub> et T <sub>`</sub> sont s´ epar´ ees par une distance d’au moins r.

De plus, les expressions des constantes r, k 0 , et des fonctions K et m sont explicites et ne d´ ependent que de et du volume de M .

3. Trouver une fibration virtuelle.

Une fois ce produit construit, l’id´ ee est de s’en servir pour montrer que si dans le revˆ etement fini M ⁰ → M , le rapport χ ^h ₋ (M ⁰ ) ln χ ^h ₋ (M ⁰ )/ ln ln d est suffisamment petit, il existe un revˆ etement fini de M ⁰ dans lequel la surface fibre T _j se rel` eve en la fibre d’une fibration sur le cercle.

C’est ce que permet la proposition suivante, qui constitue une version quantitative du Lemme 4.12 p. 2258 de [14].

Proposition 3.1 (des Motifs) . — Supposons l’existence d’un produit

long et fin T × [0, m] dans M ⁰ , un revˆ etement fini de M , comme ` a la

proposition 2.6 des Surfaces Parall` eles. Les (m + 1) surfaces T j = T ×

{j} pour j = 0, . . . , m sont disjointes, deux ` a deux parall` eles, connexes, orientables, plong´ ees dans le revˆ etement M ⁰ , et s´ epar´ ees les unes des autres par une distance d’au moins r > 0. Supposons de plus que chacune de ces surfaces peut ˆ etre recouverte par au plus K boules plong´ ees dans M ⁰ de rayon 2 6 Inj(M ).

Il existe une fonction explicite f de r et de K, dont l’expression ne d´ epend que de et du volume de M , et telle que si m > f (r, K), alors la vari´ et´ e de d´ epart M est virtuellement fibr´ ee sur le cercle S ¹ , et les (m + 1) surfaces parall` eles dans M ⁰ sont des fibres virtuelles.

Preuve de la proposition 3.1 des Motifs.

Soit D un poly` edre fondamental de Dirichlet pour la vari´ et´ e M , plong´ e dans le revˆ etement universel M f ' H <sup>3</sup> . Les translat´ es de D par les transfor- mations de revˆ etement forment un pavage du revˆ etement universel H <sup>3</sup> . En projetant ce pavage par l’application de revˆ etement H <sup>3</sup> → M <sup>0</sup> , on obtient un pavage du revˆ etement fini M <sup>0</sup> → M par d copies de D. Chacune des (m + 1) surfaces plong´ ees et parall` eles T ₀ , . . . , T _m dans M ⁰ obtenues ` a la proposition 2.6 intersecte un certain nombre de copies de D.

D´ efinition 3.2. — La r´ eunion dans M ⁰ des copies de D que l’une des surfaces T j intersecte est appel´ ee un motif (de domaines fondamen- taux) pour T _j , not´ e P _j .

Comme la surface est connexe, un motif est un 3-complexe connexe. On peut supposer que chacune des surfaces plong´ ees intersecte le 2-squelette du pavage transversalement. Plus pr´ ecis´ ement, on peut supposer qu’aucune des surfaces ne rencontre un sommet des poly` edres fondamentaux, qu’elles intersectent les arˆ etes en des points isol´ es et que leurs intersections avec les faces de dimension 2 des poly` edres sont transverses. Ainsi, un motif est une r´ eunion connexe d’un certain nombre de copies de D recoll´ ees le long de leurs faces de dimension 2.

Lemme 3.3. — Soit D un poly` edre fondamental de Dirichlet pour la vari´ et´ e M plong´ e dans le revˆ etement universel M f ' H ³ . Soit 6 Inj(M )/2.

Il existe une constante explicite D = D(, Vol(M )) ne d´ ependant que de et du volume de M majorant le diam` etre de D.

Si T est une surface plong´ ee dans M ⁰ un revˆ etement fini de M , qui peut ˆ etre recouverte par au plus K boules plong´ ees dans M ⁰ de rayon 2, alors T intersecte au plus σK images de D dans M ⁰ , o` u σ = σ(, Vol(M )) ne d´ epend que de et du volume de M .

D’autre part, si L ∈ N est fix´ e, le nombre de motifs de domaines fonda-

mentaux possibles dans M ⁰ constitu´ es d’au plus L poly` edres fondamentaux

est major´ e par une fonction B(L) = (α √

2L) ^αL , o` u α = α(, Vol(M )) est un majorant du nombre de faces de D de dimension 2.

Ce lemme combinatoire est prouv´ e dans [19, Lemmes 1.10 et 1.11].

Si la distance r s´ eparant les surfaces fibres privil´ egi´ ees T j est sup´ erieure ou ´ egale ` a 2D + 1 > 2 diam(D), les motifs de domaines fondamentaux P j

sont deux ` a deux disjoints. Sinon, en ne consid´ erant qu’une surface sur

2D+1

r , on obtient b _2D+1 ^r mc > 2D+1 ^r m − 1 surfaces T j dont les motifs de domaines fondamentaux P _j correspondants ne s’intersectent pas.

Supposons que l’entier m est suffisamment grand pour que le nombre de surfaces restantes soit dans les deux cas sup´ erieur ou ´ egal ` a 4α ² L ² B(L).

Lemme 3.4. — Il existe un motif de domaines fondamentaux “abstrait”

P , et au moins 4α ² L ² motifs de domaines fondamentaux P _j , deux ` a deux disjoints, et hom´ eomorphes ` a P. Plus pr´ ecis´ ement, pour au moins 4α ² L ² indices j pr´ ec´ edents pour lesquels les motifs de domaines fondamentaux correspondants sont deux ` a deux disjoints, il existe un hom´ eomorphisme ϕ j : P j → P qui pr´ eserve la d´ ecomposition poly´ edrale et les isom´ etries de recollements de faces des domaines fondamentaux.

Preuve du lemme 3.4.

La preuve est imm´ ediate. En effet, comme un motif est compos´ e d’au plus L domaines fondamentaux, il y a au plus B(L) motifs possibles. Parmi les 4α ² L ² B(L) motifs disjoints pr´ ec´ edents, il en existe au moins 4α ² L ² qui

correspondent ` a un mˆ eme motif abstrait P.

D´ esormais, nous ne retenons que 4α ² L ² indices j v´ erifiant les conclusions du lemme pr´ ec´ edent.

Lemme 3.5. — Le nombre de composantes connexes du bord du motif P est compris entre 2 et αL.

Preuve du lemme 3.5.

Chaque poly` edre composant le motif P a α faces. Comme P est constitu´ e d’au plus L poly` edres, il a au plus αL faces. C’est un majorant du nombre de composantes connexes du bord de P.

Pour voir qu’il y a au moins deux composantes connexes dans le bord de

P , il suffit de montrer par exemple que ∂P ₁ a au moins deux composantes

connexes. Mais comme la surface T 1 est contenue dans l’int´ erieur du motif

P ₁ , P ₁ ∩ (T × [0, 1]) 6= ∅ et P ₁ ∩ (T × [1, 2]) 6= ∅. Comme le motif P ₁ est

disjoint de T 0 et T 2 , les r´ egions produits T × [0, 1] et T × [1, 2] ne sont