D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 I-Résoudre dansℝl'inéquation suivante:

4x²3x−1 3x² 5 x22

II-Étudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition des fonctions définies par : 1. fx=−2x³x²5x−4en−∞et en∞.

2. gx= x5 3−2x en3

2 ( x3

2 et x3

2 ), en−∞et en∞. 3. hx= 2x−3

−x²3x−2 en1( x1 et x1 ),en 2( x2 et x2 ) en−∞et en∞. III– Soit f la fonction définie surℝ−{2 ;3 }par fx=2 x³−9 x²4 x13

x²−5 x6 . On appelle

C

1. Démontrer que fxpeut s'écrire sous la forme : fx=2 x1 − 1 x−2− 2

x−3 .

2. Déterminer les limites de f en 2(x > 2 et x < 2 ), en 3(x > 3 et x < 3 ), en−∞ et en∞. 3. Démontrer que la courbe

C

D

est oblique.

4. Étudier la position de

C

D

IV-Soitu_nla suite définie par ^u0=1et u_n1=3 4 u_n2 . 1. Calculer u₁ et u₂.

2. Représenter graphiquement, à l'aide de la fonction f définie par fx=3

4 x2 , les trois premiers termes de cette suite.

3. On considère la suite vndéfinie par ^vn=un−8 . Démontrer que vnest une suite géomètrique dont on déterminera le premier terme^v0et la raison q.

4. En déduire l'expression de ^vn, puis celle de ^un,en fonction de n.

5. Démontrer, par récurrence que pour tout n1, u_n=







^

^

^

^



6. En déduire, le même résultat simplifié de ^un que dans la question 4.

V-SoitO ,i ,j,kun repère de l'espace. Soit S la shère de centre1,2,−1et de rayon 3.

1. Déterminer une équation cartésienne e S.

2. Donner une équation du plan P parallèle à_{O ,}i ,jpassant_.

3. Déterminer l'intersection de S avec le plan P. Donner les éléments caractéristiques de cette intersection.

4. Déterminer un système de représentation paramétrique de la droite D passant parde vecteur directeur_u2, −1, 3et déterminer le nombre de point d'intersection de D avec S ainsi que le ou les pararamètre(s) du ou des points d'intersection.