Interrogation d'octobre 2012

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Jeudi 25 Octobre 2012

Analyse R´ eelle

Dur´ee 2 h 15 – sans document I

Soient E etF deux espaces de Banach, etuune application lin´eaire continue de E dans F. Montrer que si ' est une forme lin´eaire continue sur F, ^tu(') =' u appartient au dual E⁰ deE, et en d´eduire que u est continue de E muni de la topologie faible (E, E⁰) dansF muni de la topologie faible (F, F⁰).

En d´eduire que si, de plus, E est r´eflexif, l’image par u de la boule unit´e ferm´ee B de E est faiblement compacte dans F, puis que u(B) est une partie ferm´ee de F.

II

Soit ' une fonction de R dans C, non identiquement nulle, continue en 0 et v´erifiant pour tout x et tout y de R : '(x+y) ='(x).'(y). On veut montrer qu’il existe un 2 C tel que '(x) = e ^.x.

1) Montrer qu’il existe un x tel que '(x) 6= 0 et que '(x) = '(0).'(x). En d´eduire que '(0) = 1, puis que pour tout y2R, on a '(y).'( y) = 1. Montrer que

|'(x) '(x₀)|=|'(x₀)|.|'(x x₀) 1| et en d´eduire que 'est continue en tout point x0.

Montrer qu’il existe ↵ >0 tel que, pour toutx 2Ron ait |x|6↵=) <e('(x))>0, et qu’il existe un⇢ >0 et un ✓ 2] ⇡

2,⇡

2[ tels que '(↵) =⇢e^i✓.

On pose, pour n 2 N : z_n = '(2 ⁿ↵). Montrer que, pour tout n, on a z_n+1² = z_n et

<e(zn+1)>0. En d´eduire que zn=⇢^{2 n}.e^i✓/2n. 2) On pose = 1

↵(ln⇢ +i✓). Montrer que pour tout n et tout p 2 Z, on doit avoir '(p↵

2ⁿ) =z_n^p = e ^p↵/2n. Conclure que l’ensemble {x2R:'(x) = e ^.x} est ferm´e et contient { p

2ⁿ.↵:p2Z, n2N}, et enfin que '(x) = e ^.x pour tout x 2R.

3) On suppose de plus que ' est born´ee sur R. Montrer qu’il existe alors ⇠ 2 R tel que '(x) = e ^ix.⇠ pour tout x2R.

4) On suppose maintenant que : R^d ! C est une fonction born´ee, continue en 0, non identiquement nulle et satisfaisant (x+y) = (x). (y) pour toutxet touty2R^d. Montrer que si (u₁, u₂, . . . , u_d) est la base canonique de R^d et si on note '_j la fonction d´efinie sur R par '_j(t) = (t.u_j), on a pour x = (x₁, x₂, . . . , x_d) : (x) = Qd

j=1'_j(x_j.). En d´eduire l’existence d’un ⇠2R^d tel que (x) = e ^ihx,⇠i pour tout x2R^d.

III

Soit une fonction d´efinie sur L¹(R^d) `a valeurs complexes, non identiquement nulle et satisfaisant pour tout 2C, pour pour toute f et toute g2L¹(R^d) :

(f+g) = (f) + (g) , ( .f) = . (f) , (f ⇤g) = (f). (g)

On se propose de montrer qu’il existe ⇠ 2R^d tel que (f) =Z

f(x) e ^ihx,⇠idx= ˆf(⇠).

1) Pour f 2 L¹(R^d) et n 2 N^⇤, on notera f^⇤n la n<sup>`eme</sup> puissance de convolution de f, c’est-`a-dire que f^⇤1 = f et f^⇤n+1 = f^⇤n⇤f. Montrer que pour z 2 C tel que |z| > kfk₁, la s´erie P₁

n=0z ⁿf^⇤n+1 converge normalement dans L¹(R^d) et que sa somme g satisfait g=f+z ¹.f⇤g.

En d´eduire qu’on a (g).(z (f)) = z. (f), puis que z 6= (f). Conclure que

| (f)|6kfk₁, que appartient au dual deL¹(R^d) et qu’il existe une fonctionw2L¹(R^d) satisfaisant kwk₁ 61 et (f) =Z

f(x).w(x)dxpour toute f 2L¹(R^d).

2) Pour f 2 L¹(R^d) et x 2 R^d, on notera ⌧xf la fonction t 7! f(t x) sur R^d. Montrer que pour f et g dans L¹(R^d) on a (⌧_xf)⇤g = f ⇤(⌧_xg), et en d´eduire que, si (f)6= 0, on doit avoir (⌧_xg) = (g). (⌧_xf)

(f) pour toute g2L¹(R^d).

On choisit f₀ 2 L¹(R^d) telle que (f₀) 6= 0 et on pose '(x) = (⌧_xf₀)

(f0) . Montrer que, pourg=⌧_yf₀, on a

(⌧_x+yf₀) = (⌧_xg) ='(x). (g) ='(x).'(y). (f₀) et en d´eduire que '(x+y) ='(x).'(y).

Montrer que |'(x)|6 k⌧_xf₀k1

| (f0)| = kf₀k1

| (f0)| et en d´eduire que la fonction'est born´ee sur R^d.

3) On veut montrer maintenant que, pour toutef 2L¹(R^d), on a limx!0k⌧_xf fk₁ = 0.

Soit donc" > 0. Remarquer qu’il existe une fonctiongcontinue `a support contenu dans une boule de rayonR telle que kf gk₁ < "

3 et que, par continuit´e uniforme deg, il existe un⌘2]0,1[ tel que|g(y) g(z)|< "

3M d`es queky zk< ⌘, o`uM est la mesure de la boule de rayon R+ 1. En d´eduire qu’alors k⌧_xg gk1 < "

3 si kxk< ⌘ et enfin que

k⌧_xf fk₁ 6k⌧_x(f g)k₁+k⌧_xg gk₁+kf gk₁ =k⌧_xg gk₁+ 2kf gk₁ < "

si kxk< ⌘. Conclure.

4) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que |'(x) 1|= | (⌧_xf₀) (f₀)|

| (f₀)| 6 k⌧xf0 f0k₁

| (f₀)| et que' est continue en 0, puis qu’il existe ⇠ 2R^d telle que '(x) = e ^ihx,⇠i (utiliser II).

Montrer que pour toute fonction f 2L¹(R^d) la fonctionh: (x, y)7!f(x)f₀(y x)w(y) est int´egrable sur R^d⇥R^d et en d´eduire, au moyen du th´eor`eme de Fubini, que

(f₀). (f) = (f₀⇤f) =Z

f₀⇤f(y).w(y)dy =Z

f(x). (⌧_xf₀)dx=Z

f(x). (f₀).'(x)dx donc que (f) =Z

f(x).'(x)dx=Z

f(x) e ^ihx,⇠idx= ˆf(⇠).