Lycée Fénelon Ste-Marie – la Plaine-Monceau Classe de MP
Année 2019-2020 Mathématiques
Nom : Prénom :
Interrogation n ◦ 01 — 18 octobre
Durée : 20 minutes — 2 exercices à traiter — ni calculatrice ni document
Exercice CCINP n
◦94
1. On considère deux suites numériques (un)n∈
N et(vn)n∈
N telles que(vn)n∈N est non nulle à partir d’un certain rang etun ∼
+∞vn.
Démontrer queun etvn sont de même signe à partir d’un certain rang.
2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de :un =sh
1
n
−tan
1
n
.
1
Exercice CCP n
◦85
1. Soient n∈N∗,P ∈Rn[X]eta∈R.
(a) Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de P(X) dans la base 1, X−a,(X−a)2,· · ·,(X−a)n
. (b) Soitr∈N∗. En déduire que :
aest une racine deP d’ordre de multiplicitérsi et seulement siP(r)(a)6= 0et∀k∈[[0, r−1]],P(k)(a) = 0.
2. Déterminer deux réelsaetbpour que1soit racine double du polynômeP =X5+aX2+bX et factoriser alors ce polynôme dans R[X].
2
