C TDn°1(2016)-TES/LRévisionsduBacLesFonctions

TD n°1 (2016) - TES/L Révisions du Bac

Les Fonctions

Point Bac

Les sujets du Bac ES/L de mathématiques comportent toujours au moins un exercice dont le thème porte sur les fonc- tions, parfois deux si on compte le QCM.

Les questions portant sur ce thème sont : 1. Lectures graphiques :

1. a. nombre dérivéf^′(a) : coeff. directeur de la tangente àC_f au point d’abscissea) ; 1. b. point d’inflexion ;

1. c. convexité ;

1. d. Lien entreF,f etf^′et parfoisf^′′. 2. Dérivée d’une fonction ln ou exp;

3. Étude du signe de la dérivée : inéquation et tableau de signe ;

4. Résolution d’une équation avec le TVI et recherche d’une valeur approchée de la (des) solution(s)α(etβ) ; Cette étude peut servir à déduire le signe de f à l’aide du tableau de variation et des solutionαetβde l’équation;

5. Étude de la convexité et point d’inflexion ;

6. Intégrale et primitive : calcul de la valeur moyenne ; 7. Une application souvent économique de l’étude.

N^o Lieu et date « Xcas » lect graph. exp ln TVI convexe intég. et prim. val moy divers

1 Métropole sept. 2016 × × × ×

2 Antilles juin 2016 × × × × ×

3 Asie 2016 × × × × Qcm

4 Pondichery avril 2016 × × Fct. affine, appli. éco.

5 Liban 2016 × × × Appli. eco.

6 Polynésie juin 2016 × Pb ouvert

7 Métropole juin 2016 × × × ×

8 Centres etrangers 2016 × × × Appli.

9 Amerique du nord 2016 × × × Appli. éco.

10 Nvelle Calédonie nov. 2016 × × × × × × Justifier affirmation

11 Amérique Sud nov. 2016 × × × × Application

12 Amérique Sud nov. 2015 × × × × Appli. éco.

Les exercices suivants dont l’intitulé est suivi du symbole (c) sont corrigés intégralement en fin du présent TD. Les autres présentent des éléments de réponses et un lien vers une correction détaillée sur www.math93.com

Exercice 1. Métropole, 14 septembre 2016 (Exercice 4) 6 points

Commun à tous les candidats

On définit une fonctiongsur l’intervalle [0,5 ; 5] par

g(x)=5x−3xlnx.

1. Montrer que pourxappartenant à [0,5 ; 5],g^′(x)=2−3lnx.

2. Étudier le signe deg^′(x) et en déduire le sens de variation degsur [0,5 ; 5].

3. En déduire pour quelle valeurx0, arrondie au centième, la fonctiongatteint un maximum.

4. Montrer que l’équationg(x)=4 admet deux solutions sur [0,5;5] que l’on noteα₁etα₂. En donner un encadrement d’amplitude 0,01.

5. Résoudreg(x)Ê4.

6. Montrer que la fonctionGdéfinie sur [0,5;5] par G(x)= −3

2x²lnx+13 4 x² est une primitive degsur [0,5 ; 5].

7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle [0,5 ; 5]. On donnera la valeur arrondie au millième.

Réponses

(3.)x0=e²³ ≈1,95 (7.)m≈4,405.

Le corrigé détaillé sur www.math93.com

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Exercice 2. (c) Antilles, 23 juin 2016 7 points

Commun à tous les candidats

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [0; 6].

ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2; 0) et le point C a pour coordonnées (4; 0).

0

−0,5

−1,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0

b b

b b

C B A

D

Partie A

Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d’une lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement l’inéquationf(x)>0.

2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonctionf sur l’inter- valle [0; 6].

3. Quel semble être le signe def^′(x) sur l’intervalle [2; 6] ? Justifier.

4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d’inflexion ? 5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de

Z4

1 f(x) dx.

Partie B

La fonctionf est la fonction définie sur l’intervalle [0; 6] par /

f(x)=(10x−5)e^−x.

Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : f^′(x)=(−10x+15)e^−x et f^′′(x)=(10x−25)e^−x.

1. Dresser le tableau de variation def en précisant la valeur de l’extremum et les valeurs aux bornes de l’ensemble de définition.

2. Étudier la convexité def sur l’intervalle [0; 6].

3. Montrer que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0; 6] parF(x)=(−10x−5)e^−xest une primitive def sur l’intervalle [0; 6].

4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de Z₄

2 f(x) dx.

5. On souhaiterait que l’aire du rectangle ABCD soit égale à l’aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.

Réponses

Le corrigé détaillé en fin de TD.

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Exercice 3. Asie, 23 juin 2016 (Exercice 1) 6 points

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentativeC_f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 5]. On notef^′la fonction dérivée def. La courbeC_f passe par le pointA(0; 1) et par le pointBd’abscisse 1. La tangenteT0à la courbe au pointApasse par le pointC(2; 3) et la tangenteT1au pointBest parallèle à l’axe des abscisses.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1 2 3 4 5

−1

b

A

bB

bC

T0

T1

C_f

Partie A

Dans ce QCM, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.

Une bonne réponse rapporte0,75point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point.

Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur exacte def^′(1) est :

a. 0 b. 1 c.1,6 d. autre réponse

2. La valeur exacte def^′(0) est :

a. 0 b. 1 c.1,6 d. autre réponse

3. La valeur exacte def(1) est :

a. 0 b. 1 c.1,6 d. autre réponse

4. Un encadrement deR₂

0 f(x) dxpar des entiers naturels successifs est : a. 3ÉR2

0 f(x) dxÉ4 b. 2ÉR2

0 f(x) dxÉ3 c. 1ÉR₂

0 f(x) dxÉ2 d. autre réponse

Partie B

1. On admet que la fonctionFdéfinie sur [−1 ; 5] parF(x)= −(x²+4x+5)e^−xest une primitive de la fonctionf. 1. a. En déduire l’expression def(x) sur [−1 ; 5].

1. b. Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine du plan limité par la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=2.

2. Montrer que sur l’intervalle [−1 ; 5], l’équationf(x)=1 admet au moins une solution.

Réponses

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Exercice 4. Pondichery, 21 Avril 2016 6 points

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonctionCdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par : C(x)=0,3x²−x+e^−x+5

oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etC(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonctionRdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par : R(x)=3x

oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etR(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

• On définit parD(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recetteR(x) et le coûtC(x), oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe (page 6), on donneC et∆les représentations graphiques respectives des fonctionsCet Rdans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci.

Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.

2.

2. a. Déterminer les valeursC(6) etR(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.

2. b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidien- nement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par :

g(x)= −0,6x+4+e^−x+5

On admet que la fonctiongest dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on noteg^′sa fonction dérivée.

1.

1. a. Calculerg^′(x) pour tout réelxde l’intervalle [1; 15].

1. b. En déduire que la fonctiongest décroissante sur l’intervalle [1; 15].

2.

2. a. Dresser le tableau de variation de la fonctiong sur l’intervalle [1; 15], en précisant les valeursg(1) etg(15) arrondies à l’unité.

2. b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [1; 15].

Donner une valeur approchée deαà 0,1 près.

2. c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe deg(x) sur l’intervalle [1; 15].

Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle [1; 15], on a :

D(x)= −0,3x²+4x−e^−x+5

2. On admet que la fonctionDest dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on noteD^′sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle [1; 15], on aD^′(x)=g(x), oùgest la fonction étudiée dans la partie B.

3. En déduire les variations de la fonctionDsur l’intervalle [1; 15].

4.

4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.

4. b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.

ANNEXE

N’est pas à rendre avec la copie

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

∆ C

Réponses

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Exercice 5. Liban, 23 mai 2016

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [3; 13] par :

f(x)= −2x+20−e^−2x+10.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Montrer que la fonction dérivéef^′, de la fonctionf, définie pour toutxde l’intervalle [3; 13], a pour expression : f^′(x)=2¡

−1+e^−2x+10¢ . 2.

2. a. Résoudre dans l’intervalle [3; 13] l’inéquation :f^′(x)Ê0.

2. b. En déduire le signe def^′(x) sur l’intervalle [3; 13] et dresser le tableau de variations def sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10⁻³.

2. c. Calculer l’intégrale Z₁₃

3 f(x) dx.

On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻³près.

Partie B : Application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300.

On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente dexcentaines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3; 13] par la fonctionf.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bé- néfice, arrondi à l’euro.

2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le ré- sultat à l’euro.

Partie C : Rentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse.

Réponses

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Exercice 6. Polynésie, 10 juin 2016

Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 10] par :

f(x)=4e^−0,4x. Cette courbeC_f est tracée ci-dessous dans un repère d’origine O :

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(en mètres)

x(en mètres) C_f

A

D C

B

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbeC_f.

1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscissex=2.

Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6 m².

2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l’aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.

Réponses

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Exercice 7. Métropole, 22 juin 2016

La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5 ; 6]. Les pointsA(1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe (C). Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi repré- sentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. On notef^′la fonction dérivée def.

−1

−2 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

b

A

bB

(C)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude graphique

1. Déterminerf^′(1,5).

2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.

3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2.

4. Déterminer la convexité de la fonctionf sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse.

Partie B : Étude analytique

On admet que la fonctionf est définie sur [0,5; 6] par

f(x)= −2x+5+3ln(x).

1. Pour tout réelxde [0,5; 6], calculerf^′(x) et montrer quef^′(x)=−2x+3

x .

2. Étudier le signe def^′sur [0,5; 6] puis dresser le tableau de variation def sur [0,5; 6].

3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet exactement une solutionαsur [0,5 ; 6].

Donner une valeur approchée deαà 10⁻²près.

4. En déduire le tableau de signe def sur [0,5; 6].

5. On considère la fonctionFdéfinie sur [0,5; 6] parF(x)= −x²+2x+3xln(x).

5. a. Montrer queFest une primitive def sur [0,5; 6].

5. b. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.

Réponses

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Exercice 8. Centres étrangers, 8 juin 2016 Partie A

Soitf la fonction définie sur [0; 8] par :f(x)= 0,4

20e^−x+1+0,4.

1. Montrer quef^′(x)= 8e^−x

(20e^−x+1)² oùf^′désigne la fonction dérivée de la fonctionf. 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1 f^′(x) :=8∗eˆ(−x)/(20∗eˆ(−x)+1)²

→f^′(x) : 8·e^−x 400(e^−x)²+40e^−x+1 2 g(x) :=Dérivée [f^′(x)]

→g(x) := 160(e^−x)²−8e^−x

8000(e^−x)³+1200(e^−x)²+60e^−x+1 3 Factoriser [g(x)]

→8e^−x· 20e^−x−1 (20e^−x+1)³

En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.

Partie B

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonctionf, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variablexreprésente la dis- tance horizontale, en kilomètres, depuis le village A etf(x) représente l’altitude associée, en kilomètres. La représentation graphiqueC_f de la fonctionf est donnée ci-dessous.

0 0,2 0,4 0,6 0,8

0 1 2 3 4 5 6 7

+

+

A

C_f B

x f(x)

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente àC_f en un pointMest appelé « pente en M ». On précise aussi qu’une pente enMde 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de f enMégal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point deC_f la pente ne dépasse 12 %.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

L’altitude du village B est 0,6 km.

Proposition 2

L ’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre.

Proposition 3

La pente en A vaut environ 1,8 %.

Proposition 4

Le projet de route ne sera pas accepté.

Réponses

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Exercice 9. Amérique du Nord, 1 juin 2016 Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0; 1,5] par :

f(x)=9x²(1−2lnx)+10.

La courbe représentative def est donnée ci-dessous :

0 5 10 15 20

0 0,5 1,0 1,5

1.

1. a. Montrer quef^′(x)= −36xlnx

oùf^′désigne la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0; 1,5].

1. b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle ]0; 1,5].

1. c. Déduire de la question précédente les variations de la fonctionf sur l’intervalle ]0; 1,5].

2. On admet quef^′′(x)= −36lnx−36

oùf^′′désigne la dérivée seconde de la fonctionf sur l’intervalle ]0; 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonctionf admet un point d’inflexion dont l’abscisse est e⁻¹. 3. SoitFla fonction définie sur l’intervalle ]0; 1,5] par :

F(x)=10x+5x³−6x³lnx.

3. a. Montrer queFest une primitive de la fonctionf sur ]0; 1,5].

3. b. Calculer Z_1,5

1 f(x) dx.

On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B : Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonctionf définie dans la partie A, oùxreprésente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse etf(x) représente le prix de l’action, exprimé en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1 :

« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. » Proposition 2 :

« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17e_{. »} Réponses

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Exercice 10. (c) Nouvelle Calédonnie, Novembre 2016

Commun à tous les candidats

La fonctionf est définie sur l’intervalle [0,5; 10] par :f(x)=ax+2+bln(x), oùaetbsont deux nombres réels.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

• la courbe représentativeΓde la fonctionf; la droitedtangente à la courbeΓau point A de coordonnées (1; 1) ; la droited^′tangente à la courbeΓau point B d’abscisse 3.

−1

−2 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−1

−2

−3

Γ d

d^′

A

B

E

b b

b

On sait de plus que : la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0 ;−1), la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A

1. Donner par lecture graphique la valeur def^′(1), puis celle def^′(3).

2. Calculerf^′(x).

3. En déduire les valeurs des nombresaetb.

Partie B

On admet que la fonctionf est définie sur l’intervalle [0,5; 10] par :f(x)= −x+2+3ln(x).

1. Montrer que pourxdans [0,5; 10] :f^′(x)=−x+3 x .

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbeΓau point A d’abscisse 1.

3. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle [0,5; 10], puis dresser le tableau de variations def sur cet intervalle.

4. Montrer que sur l’intervalle [0,5; 3] l’équationf(x)=0 admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1 intégrer [3ln(x)−x+2]

3xln(x)−x−x² 2 Calculer, en unités d’aire, l’aireSdu domaine délimité par la courbeΓ, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=8. On donnera la valeur exacte deSpuis sa valeur arrondie au centième.

Partie C

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative def est située en dessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme : « La courbe représentative def sur l’intervalle [0,5; 10] est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte.

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Exercice 11. (c) Amérique du Sud 24 novembre 2016

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [1; 45] par

g(x)= −20x+5xln(x)+30.

1.

1. a. On noteg^′la fonction dérivée deg.

Montrer que, pour toutxappartenant à [1; 45], on ag^′(x)= −15+5ln(x).

1. b. Montrer que l’inéquation−15+5ln(x)Ê0 est équivalente àxÊe³.

1. c. Dresser le tableau de variations de la fonctiong(les valeurs seront arrondies au centième si besoin).

2.

2. a. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [1; 45].

2. b. Donner un encadrement deαd’amplitude 0,01.

2. c. En déduire le signe deg(x) suivant les valeurs dexdans l’intervalle [1; 45].

3. On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [1; 45] par

G(x)= −11,25x²+2,5x²ln(x)+30x.

Montrer queGest une primitive de la fonctiongsur l’intervalle [1; 45].

4.

4. a. Calculer une valeur approchée au dixième de l’intégrale Z₄₅

10 g(x) dx.

4. b. Déduire de la question précédente la valeur moyenne degsur l’intervalle [10; 45]. Arrondir le résultat à l’unité.

Partie B

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu’à 45 km d’altitude.

On admet que la fonction g définie dans la partie A modélise la température de l’air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l’altitudexdu ballon sonde, exprimée en km.

À l’aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

1. Déterminer l’altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à 0 degré Celsius.

2. Déterminer la température minimale relevée par la sonde.

3. On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10 km et 45 km d’altitude.

Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera arrondi au degré.

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Exercice 12. (c) Nouvelle calédonie novembre 2015 6 points

Commun à tous les candidats

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0; 10] par

f(x)=(2x−5)e^−x+4+20.

Partie A

1. Montrer que, pour toutxde l’intervalle [0; 10],f^′(x)=(−2x+7)e^−x+4.

2. En déduire le sens de variation def et dresser le tableau de variation def sur l’intervalle [0; 10].

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.

3. Justifier que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur [0; 10] et déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 deα.

4. On admet que la fonctionFdéfinie sur [0; 10] par

F(x)=(−2x+3)e^−x+4+20x est une primitive def sur [0; 10].

Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle [0; 10]. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Une entreprise fabrique entre 0 et 1 000 objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vendxcentaines d’objets est modélisé par la fonctionf définie sur [0; 10] par :

f(x)=(2x−5)e^−x+4+20.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?

Quel est ce bénéfice maximal en euros ?

2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?

3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.

Corrections

Correction de l’exercice 2 : Antilles Juin 2016

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋.

ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2; 0) et le point C a pour coordonnées (4; 0).

0

−0,5

−1,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

b bb

b

C B A

D

Partie A

1. Résoudre graphiquement l’inéquationf(x)>0.

f(x)>0⇐⇒ x∈⌉⌋0,5 ; 6⌉⌋

2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonctionf sur l’in- tervalle [0; 6].

Une valeur approchée du maximum de la fonctionf sur⌊⌈0 ; 6⌋⌉est 2,2.

3. Quel semble être le signe def^′(x) sur l’intervalle⌊⌈2 ; 6⌋⌉?

Sur l’intervalle⌊⌈2 ; 6⌋⌉, la fonctionf est décroissante doncf^′(x) est négatif.

4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d’inflexion?

Pourx=1,5, la courbe est en dessous de sa tangente ; pourx=5, la courbe est au dessus-de sa tangente. Il semble donc qu’entre 1,5 et 5, la fonction va passer de concave à convexe et donc qu’il y aura un point d’inflexion sur⌊⌈1,5 ; 5⌋⌉. 5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de

Z₄

2 f(x) dx.

Comme la fonctionf est positive sur⌊⌈2 ; 4⌋⌉, Z₄

2 f(x) dxest, en unité d’aire, l’aire du domaine grisé sur le graphique. Il semble que :

2<

Z₄

2 f(x) dx<3

Partie B

La fonction f est la fonction définie sur l’intervalle⌊⌈0 ; 6⌋⌉par f(x)=(10x−5)e^−x. On donne f^′(x)=(−10x+15)e^−x et f^′′(x)=(10x−25)e^−x.

1. Dresser le tableau de variation def en précisant la valeur de l’extremum et les valeurs aux bornes de l’ensemble de définition.

Pour tout réelxde l’intervalle⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋on a :

f^′(x)=(−10x+15)e^−x

Or on sait que, pour toutx, e^−x>0; doncf^′(x) est du signe de−10x+15. Or on a facilement :

∀x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋;

(−10x+15=0⇐⇒x=1,5

−10x+15>0⇐⇒x<1,5 et x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋ =⇒ −10x+15<0⇐⇒x>1,5 et x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋ On a :

f(x)=(10x−5)e^−x=⇒







f(0)= −5e⁰= −5 f(6)=55e⁻⁶≈0,14 f(1,5)=10e^−1,5≈2,23 Doncf(1,5) est le maximum de la fonctionf sur⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋, atteint pourx=1,5.

D’où le tableau de variation de la fonctionf :

x

Signe def^′(x)

Variations def

0 1.5 6

+ 0 −

−5

−5

10e^−1.5≈2.2 10e^−1.5≈2.2

55e⁻⁶≈0.14 55e⁻⁶≈0.14

2. Étudier la convexité def sur l’intervalle [0; 6].

La convexité de la fonctionf dépend du signe de sa dérivée secondef^′′.

f^′′(x)=(10x−25)e^−xet, pour toutx, e^−x>0 doncf^′′(x) est du signe de 10x−25 : Or on a facilement :

∀x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋;

(10x−25=0⇐⇒x=2,5

10x−25>0⇐⇒x>2,5 et x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋ =⇒10x−25<0⇐⇒x<2,5 et x∈ ⌈⌊0 ; 6⌉⌋

• Sur⌊⌈0 ; 2,5⌊⌈,f^′′(x)<0 donc la fonctionf est concave.

• Sur⌋⌉2,5 ; 6⌋⌉,f^′′(x)>0 donc la fonctionf est convexe.

• Enx=2,5, la fonctionf^′′s’annule et change de signe, donc la courbe représentant la fonctionf admet un point d’inflexion d’abscisse 2,5.

x Signe de f^′′(x)

Convexité

0 2.5 6

− 0 +

f concave f convexe

3. SoitFla fonction définie sur⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋parF(x)=(−10x−5)e^−x. Montrer queFest une primitive def. Sur⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋la fonctionFest dérivable et de la formeuv, donc de dérivéeu^′v+uv^′avec :

u(x)=(−10x−5) u^′(x)= −10 v(x)=e^−x v^′(x)= −e^−x Donc pour tout réelxde l’intervalle⌊⌈0 ; 6⌋⌉on a :

F^′(x)= −10e^−x+(−10x−5)(−1)e^−x

=(−10+10x+5)e^−x

=(10x−5)e^−x F^′(x)=f(x)

Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionf sur⌊0 ; 6⌉⌈ ⌋.

4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de Z₄

2 f(x)dx.

On en déduit que :

Z₄

2 f(x) dx=F(4)−F(2)

= −45e⁻⁴−¡

−25e⁻²¢

=25e⁻²−45e⁻⁴ Z₄

2 f(x) dx≈2,56 u.a.

5. On souhaite que l’aire du rectangle ABCD soit égale à l’aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.

L’aire du rectangle est AD×DC=2AD.

Cette aire doit être égale à l’aire grisée donc à 25e⁻²−45e⁻⁴:

2AD=25e⁻²−45e⁻⁴ ⇐⇒AD=12,5e⁻²−22,5e⁻⁴ donc

AD≈1,28 Remarque

La hauteur AD est la valeur moyenne de la fonction f sur⌊2 ; 4⌉⌈ ⌋: AD= 1 4−2

Z4

2 f(x)d x.

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Correction de l’exercice 10 : Nouvelle Calédonie Novembre 2016

La fonction f est définie sur l’intervalle⌊0,5 ; 10⌉⌈ ⌋par : f(x)=ax+2+bln(x, où a et b sont deux nombres réels. On note f^′la fonction dérivée de f . Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

La courbe représentativeΓde la fonction f ; la droite d tangente à la courbeΓau point A de coordonnées (1 ; 1) ; la droite d^′ tangente à la courbeΓau point B d’abscisse 3.

−1

−2 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−1

−2

−3

Γ d

d^′

A

B

E

b b

b

On sait de plus que : la tangente au point A passe par le point E de coordonnées(0 ;−1), la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A

1. Donner par lecture graphique la valeur def^′(1), puis celle def^′(3).

• Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 1 est 2 donc :f^′(1)=2.

• Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B d’abscisse 3 est 0 puisqu’elle est horizontale donc : f^′(3)=0.

2. Calculerf^′(x).

La fonctionf est dérivable sur⌊⌈0,5 ; 10⌋⌉et f^′(x)=a+b x . 3. En déduire les valeurs des nombresaetb.

On a : 





f^′(1)=2 ⇐⇒ a+b=2 f^′(3)=0 ⇐⇒ a=b

3 =0 On résout le système :







a+b = 2 a+b

3 = 0 ⇐⇒







a+b = 2 2b

3 = 2 ⇐⇒

( a = −1 b = 3

Partie B

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle⌊⌈0,5 ; 10⌋⌉par : f(x)= −x+2+3ln(x).

1. Montrer que pourxdans [0,5; 10] :f^′(x)=−x+3 x . La fonctionf est dérivable sur⌊⌈0,5 ; 10⌋⌉et

f^′(x)= −1+3

x=−x+3 x

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbeΓau point A d’abscisse 1.

La tangente à la courbeΓau point A d’abscisse 1 a pour équationy=f^′(1)(x−1)+f(1).

C’est-à-direy=2(x−1)+1 doncy=2x−1.

3. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle [0,5; 10], puis dresser le tableau de variations def sur cet intervalle.

La fonction dérivéef^′est du signe de−x+3 sur⌊0,5 ; 10⌉⌈ ⌋donc s’annule et change de signe pourx=3.







f(0,5)=1,5+3ln(0,5)≈ −0,58 f(3)= −1+3ln(3)≈2,30 f(10)= −8+3ln(10)≈ −1,09 On établit le tableau de variations de la fonctionf :

x 0,5 3 10

−x+3 +++ 0 −−−

f^′(x) +++ 0 −−−

3ln 3−1 f(x)

1,5+3ln 0,5 3ln 10−8

4. Montrer que sur l’intervalle [0,5; 3] l’équationf(x)=0 admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.

On sait quef(0,5)≈ −0,58<0 etf(3)≈2,30>0.

On complète le tableau de variations de la fonctionf :

x 0,5 3 10

3ln 3−1 f(x)

1,5+3ln 0,5 3ln 10−8

0 α

D’après le tableau de variations def, on peut dire que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle

⌈

⌊0,5 ; 3⌋⌉.

La calculatrice donne la valeur approchée de cette solution :αap pr ox0,63.

5. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

1 intégrer [3ln(x)−x+2]

3xln(x)−x−x² 2 Calculer, en unités d’aire, l’aireSdu domaine délimité par la courbeΓ, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1 etx=8. On donnera la valeur exacte deSpuis sa valeur arrondie au centième.

La fonction f est positive sur⌊⌈1 ; 8⌋⌉donc l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses, et les deux droites d’équationsx=1 etx=8 estA=

Z8

1 f(x)dx.

D’après le logiciel de calcul formel, la fonctionFdéfinie parF(x)=3xlnx−x−x²

2 est une primitive de la fonctionf. Donc

A=F(8)−F(1)= µ

24ln 8−8−64 2

¶

− µ

3ln 1−1−1 2

¶

=24ln 8−38,5≈11,41 u.a.

Partie C

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située en dessous des deux tangentes aux points A et 8. Il affirme : « La courbe représentative def sur l’intervalle⌊0,5 ; 10⌉⌈ ⌋est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte.

f^′(x)=−x+3

x = −1+3 x donc pour toutxde⌊0,5 ; 10⌉⌈ ⌋

f^′′(x)= − 3 x²<0

La fonctionf est donc concave sur⌊⌈0,5 ; 10⌋⌉ce qui veut dire que, sur cet intervalle, la courbe représentantf est entière- ment située en dessous de chacune de ses tangentes.

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Correction de l’exercice 11 : Amérique du Sud 24 novembre 2016 Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle⌊1 ; 45⌉⌈ ⌋par g(x)= −20x+5xln(x)+30.

1.

1. a. On noteg^′la fonction dérivée deg. Montrer que, pour toutxappartenant à [1; 45], on ag^′(x)= −15+5ln(x).

Pour toutxappartenant à [1; 45] on a :

g^′(x)= −20+ µ

5×ln(x)+5x×1 x

¶

= −20+5ln(x)+5= −15+5ln(x) 1. b. Montrer que l’inéquation−15+5ln(x)Ê0 est équivalente àxÊe³.

−15+5ln(x)Ê0 ⇐⇒ 5ln(x)Ê15

⇐⇒ ln(x)Ê3

⇐⇒ xÊe³

1. c. Dresser le tableau de variations de la fonctiong(les valeurs seront arrondies au centième si besoin).







g(1)=10

g(e³= −20e³+5e³×3+30=30−5e³≈ −70,43

g(45)= −900+225ln(45)+30=225ln(45)−870≈ −13,50 On dresse le tableau de variations de la fonctiongsur⌊⌈1 ; 45⌋⌉:

x 1 e³ 45

g^′(x) −−− 0 +++

10 −13,50

g(x)

−70,43

2. 2. a. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [1; 45].

On complète le tableau de variations deg:

x 1 e³ 45

10 −13,50

g(x)

−70,43 0

α

D’après ce tableau de variations, on peut conclure que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαsur l’inter- valle⌊1 ; 45⌉⌈ ⌋.

2. b. Donner un encadrement deαd’amplitude 0,01.

On trouve à la calculatrice : g(1)=10>0

g(2)≈ −3,07<0 )

=⇒α∈ ⌈⌊1 ; 2⌋⌉ g(1,7)≈0,51>0

g(1,8)≈ −0,71<0 )

=⇒α∈ ⌈⌊1,7 ; 1,8⌋⌉ g(1,74)≈0,02>0

g(1,75)≈ −0,10<0 )

=⇒ α∈ ⌈⌊1,74 ; 1,75⌉⌋

2. c. En déduire le signe deg(x) suivant les valeurs dexdans l’intervalle [1; 45].

On peut donc déduire queg(x)>0 sur⌊1 ;⌈ α⌈⌊,g(α)=0 etg(x)<0 sur⌋α⌉ ; 45⌉⌋.

3. On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle⌊1 ; 45⌉⌈ ⌋parG(x)= −11,25x²+2,5x²ln(x)+30x.

Montrer queGest une primitive de la fonctiongsur l’intervalle [1; 45].

G(x)= −11,25x²+30x

| {z }

w(x)

+2,5x²ln(x)

La fonctionGest dérivable sur [1; 45] et de la formew+uvdonc de dérivéew^′+u^′v+uv^′avec pour tout réelxde cet intervalle :

w(x)= −11,25x²+30x u^′(x)= −22,5x+30 u(x)=2,5x² v^′(x)=5x

v(x)=ln(x) v^′(x)=_x¹ Donc pour tout réelxde [1; 45] :

G^′(x)= −11,25×2x+30+ µ

5x×ln(x)+2,5x²×1 x

¶

= −22,5x+30+5xln(x)+2,5x

= −20x+5xln(x)+30=g(x) DoncGest une primitive degsur⌊1 ; 45⌉⌈ ⌋.

4. 4. a. Calculer une valeur approchée au dixième de l’intégrale Z45

10 g(x) dx.

Z45

10 g(x) dx=G(45)−G(10)≈ −1910,7

4. b. Déduire de la question précédente la valeur moyenne deg sur l’intervalle [10; 45]. Arrondir le résultat à l’unité.

La valeur moyenne degsur l’intervalle⌊10 ; 45⌉⌈ ⌋est : 1 45−10

Z₄₅

10 g(x)dx≈ −55

Partie B

Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu’à 45 km d’alti- tude. On admet que la fonctiongdéfinie dans la partie A modélise la température de l’air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l’altitudexdu ballon sonde, exprimée en km. À l’aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

1. L’altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à 0 degré Celsius est la valeur dexpour laquelleg(x) devient négatif donc à partir dex=αsoit à peu près 1,74 km.

2. Déterminer la température minimale relevée par la sonde.

La température minimale relevée par la sonde est le minimum de la fonctiongsur⌊⌈1 ; 45⌋⌉soit approximativement

−70,4 degrés Celsius.

3. On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10 km et 45 km d’altitude.

La température moyenne de la stratosphère est la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle⌊⌈10 ; 45⌋⌉, c’est donc, d’après la questionA.3.,−55 degrés Celsius.

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Correction de l’exercice 12 : Nouvelle Calédonie Novembre 2015

Soit f la fonction définie sur l’intervalle⌊⌈0 ; 10⌋⌉par f(x)=(2x−5)e^−x+4+20.

Partie A

1. Montrer que, pour toutxde l’intervalle⌊0 ; 10⌉⌈ ⌋,f^′(x)=(−2x+7)e^−x+4.

Pour toutxde l’intervalle⌊0 ; 10⌉⌈ ⌋, la fonction f est définie et dérivable. Elle est de la formeuv+20 donc de dérivée u^′v+uv^′avec :

u(x)=2x−5 u^′(x)=2 v(x)=e^−x+4 v(x)= −e^−x+4 Pour toutxde l’intervalle⌊⌈0 ; 10⌋⌉:

f^′(x)=2×e^−x+4+(2x−5)×(−1)e^−x+4+0=(−2x+7)e^−x+4

2. En déduire le sens de variation def et dresser le tableau de variation def sur l’intervalle [0; 10].

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.

Pour toutx, e^−x+4>9 doncf^′(x) est du signe de−2x+7 qui s’annule et change de signe pourx=3,5.

On calcule :







f(0)= −5e⁴+20≈ −252,991 f(3,5)=2e^0,5+20≈23,297 f(10)=15e⁻⁶+20≈20,037 D’où le tableau de variation de la fonctionf :

x 0 3,5 10

−2x+7 +++ 0 −−−

e^−x+4 +++ +++

f^′(x) +++ 0 −−−

23,297 f(x)

−252,991 20,037

3. Justifier que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur [0; 10] et déterminer un encadrement d’ampli- tude 0,01 deα.

On complète le tableau de variation de la fonctionf :

x 0 3,5 10

≈23,297 Variations def

≈ −252,991 ≈20,037

0 α

• Sur [3,5 ; 10] :

Sur [3,5 ; 10], la fonction f est décroissante et son minimum est strictement positif, f(10)≈20,037>0. Donc l’équationf(x)=0 n’admet pas de solution sur cet intervalle.

• Application du corollaire sur [0; 3.5] :

Si f est une fonction définie, continueet strictement monotonesur un intervalle [a;b],

alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet une unique solution dans [a;b].

Remarque: Le première démonstration rigoureuse de ce théorème est due au mathé- maticien autrichien Bernard Bolzano (1781-1848).

Théorème 1(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)

– La fonctionf estcontinueetstrictement croissantesur l’intervalle [0; 3.5] ; – Le réelk=0 est compris entref(0)≈ −252.991 etf(3.5)≈23,297

– Donc, d’après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαsur l’intervalle [0; 3.5].

• Valeur approchée.

Pour avoir un encadrement deα, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice.

– Avec un pas de∆=0.01 on obtient :

( f(1.59) ≈ −0,26<0 f(1.60) ≈ 0,16>0

¯¯

¯¯

¯

, donc 1.59 <α<1.60.

4. On admet que la fonctionFdéfinie sur [0; 10] parF(x)=(−2x+3)e^−x+4+20xest une primitive def sur [0; 10].

Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle [0; 10]. Arrondir le résultat au millième.

On admet que la fonctionFdéfinie sur⌊0 ; 10⌉⌈ ⌋parF(x)=(−2x+3)e^−x+4+20xest une primitive def sur⌊0 ; 10⌉⌈ ⌋. La valeur moyenne def sur l’intervalle⌊0 ; 10⌉⌈ ⌋est

m= 1

10−0 Z₁₀

0 f(t)dt= 1 10

³

F(10)−F(0)´

Or (

F(10)= −17e⁻⁶+200 F(0)=3e⁴

La valeur moyenne def sur l’intervalle⌊⌈0; 10⌋⌉est donc

m=200−17e⁻⁶−3e⁴

10 ≈3,616

Partie B

Une entreprise fabrique entre 0 et 1 000 objets par semaine. Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lors- qu’elle fabrique et vend x centaines d’objets est modélisé par la fonction f définie sur⌊⌈0 ; 10⌋⌉par : f(x)=(2x−5)e^−x+4+20.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?

Le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum correspond àx=3,5 centaines d’objets donc 350 objets.

Quel est ce bénéfice maximal en euros?

f(3,5)≈23,297 donc le bénéfice maximal réalisé est de 23297e_.

2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?

L’entreprise réalise un bénéfice quand il vend au moinsxcentaines d’objets avecf(x)>0. Or on a vu que :

x 0 3,5 10

≈23,297 Variations def

≈ −252,991 ≈20,037

0 α

D’après le tableau de variation de la fonctionf, on a :

f(x)>0⇐⇒x∈]α; 10]

Or d’après la question(A.3.)on a :

α∈ ⌈⌊1,59; 1,60⌋⌉et

(f(1,59)≈ −0,26<0 f(1,60)≈0,16>0 Donc il faut vendre au moins 160 objets pour réaliser un bénéfice.

3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.

La valeur moyenne de la fonctionf sur⌊0; 10⌉⌈ ⌋correspond au bénéfice moyen hebdomadaire ; en moyenne, le bénéfice sera d’environ : 3,616×1000=3616e_.