TERMINALE C MATHEMATIQUES

MATHEMATIQUES

TERMINALE C

Concepteur :

Edward BANKOUSSOU-MABIALA Etudiant à l’Ecole Normale Supérieure (ENS) Université Marien Ngouabi (UMNG)

Sous la direction de :

Rock MABONDZO Enseignant au Lycée Savorgnan De Brazza

Congo-Brazzaville

PRENUM -AC 2 01 3 - 2 0 14

0.1 Historique . . . 2

0.2 Objectifs pédagogiques . . . 2

0.3 Prés-requis . . . 2

1 Ensemble _n^Z_Z 4 1.1 Notion de Groupe, Anneaux et Corps . . . 4

1.1.1 Lois de compositions internes . . . 4

1.1.2 Structure de groupe . . . 4

1.1.3 Structure d'anneaux . . . 4

1.1.4 Structure de Corps . . . 5

1.2 Congruence modulo n . . . 5

1.2.1 Dénition et propriétés . . . 5

1.3 Congruences et division euclidienne . . . 6

1.4 Congruences et opérations . . . 6

1.5 Utilisation des congruences . . . 7

1.5.1 Détermination de restes dans une division euclidienne . . . 7

1.5.2 Congruences particulières . . . 9

1.6 Ensemble quotient . . . 11

1.6.1 Classe d'équivalence pour la relation de congruence . . . 11

Introduction

0.1 Historique

Arithmétique de Euclide à Gauss, de l'élémentaire au transcendant modulaire.

Le traité de Gauss, Disquisitiones arithmeticae, publié en 1801 constitue en quelques sorte la synthèse de toute la marche vers l'invention d'une arithmétique transcendante depuis le Livre V II des éléments d'Euclide, l'arithmétique de Diophante jusqu'aux travaux des mo- dernes comme Fermat, Euler, Lagrange et Legendre. Ce dernier publie en 1663 la quatrième édition de son traité intitulé l'arithmétique en sa perfection qui consiste à donner des rudiments pratiques pour les nanciers, banquiers et marchand mais aussi une arithmétique théorique dite algébrique. Euclide dénissait le nombre comme une multitude composée de plusieurs unités.

Cette dénition est restée valable jusqu'à Legendre qui reformule : le nombre est une multitude d'unités mises ensemble.

Après avoir déni l'addition la soustraction et la multiplication, Legendre donne une dénition de la division :

Diviser ou partager c'est séparer un nombre en ôtant de parties égales qu'il y a d'unités au diviseur. Ou autrement, diviser un nombre par un autre, c'est chercher combien de fois le divi- seur est contenu dans le nombre à diviser. Ce traité de Legendre servira de sources importantes pour les arithméticiens jusqu'à la n du XV IIIe siècle. La publication du traité en latin de Gauss cité plus haut sonnera le début de l'arithmétique modulaire.

En 1807 le traité de Gauss est traduit en français par Poullet-Delisle, professeur de mathéma- tiques au lycée d'Orléans sous le titre Recherches arithmétiques. On peut lire dans la première section de l'ouvrage, les premières dénitions de la congruence.

De nos jours la théorie des nombres a évolué et donné naissance à d'autres domaines comme la cryptographie et les théories générales de l'information.

0.2 Objectifs pédagogiques

A l'issu de ce cours l'élève doit être capable

• Utiliser les propriétés de congruences dans la détermination des restes dans une division euclidienne et de donner les critères de divisibilité des nombres

• de manipuler les éléments de l'ensemble quotient dans la résolution des problèmes.

0.3 Prés-requis

Pour assimiler ce cours ,l'apprenant doit être capable de :

? Faire les opérations dans l'ensembleZ et dans N,

2

? Dénir les multiples et les diviseurs d'un entier relatif,

? Maitriser le raisonnement par récurrence.

Chapitre 1 Ensemble _n ^Z _Z

1.1 Notion de Groupe, Anneaux et Corps

-Activité

Considérons l'ensemble des entiers relatifs Z, Calculer les expressions suivantes : A= (2 + 1) + 3 A⁰ = 1 + (2 + 3)

B =−3 + 0 B⁰ = 0−3 C = 2−2 A⁰ =−2 + 2 Quelle conclusion tirez-vous ?

1.1.1 Lois de compositions internes

Dénition 1.1.1. On appelle loi de composition interne sur un ensemble E, toute application

? :E×E −→E.

Un sous-ensemble F de E est dit stable par rapport à la loi ? si et seulement si∀a, b ∈ F,a ? b∈F.

-Exemple

Dans Zla loi + est stable car pour tout éléments x, y ∈ Z, x+y ∈ Z

1.1.2 Structure de groupe

Dénition 1.1.2. On appelle groupe, tout ensemble non vide G muni d'une loi de composition interne ? tel que :

1.? est associative, c'est à dire x ?(y ? z) = (x ? y)? z pour tout x, y et z ∈ G 2.? possède un élément neutre e, c'est à dire x ? e=e ? y pour tout xin G

3. Tout élément de G est symetrisable, c'est à dire pour toutx ∈ G il existe x⁰ ∈ G tel que x ? x⁰ =x⁰? x=e

Si de plus ? est commutative c'est à dire x ? y=y ? x pour tout x, y ∈ G, on dit que (G, ?) est un groupe commutatif, ou groupe Abélien.

Exemple

Z muni de la loi +est un groupe commutatif et sera noté (Z, +).

1.1.3 Structure d'anneaux

Dénition 1.1.3. On appelle anneau, tout ensembleAmuni deux lois de compositions internes + et • telles que :

4

1.(A,+) est un groupe abélien (on notera 0 l'élément neutre de + 2.• est associative et distributive par rapport à +

Si de plus la loi • est commutative, on dit que (A,+,•) est anneaux commutatif.

1.1.4 Structure de Corps

Dénition 1.1.4. On dit qu'un anneau unitaire (K,+,•) est un corps si tout élément non nul de K est inversible. Si de plus • est commutative, on dit que K est un corps commutatif.

1.2 Congruence modulo n

1.2.1 Dénition et propriétés

-Activité

1. Déterminer la division euclidienne des nombres7et22par5et calculer22−7. Que observe t-on ?

2. Déterminer la division euclidienne des nombres 30 et 16 par 7 et calculer 30−16. Que observe t-on ?

Solution

1. Après la division euclidienne de7et22par5on obtient 7 = 5×1 + 2 et22 = 5×4 + 2. 7 et 22ont le même reste r = 2 dans la division euclidienne par5.

22−7 = 3×5, on observe que 22−7 est un multiple de 5.

2. Après la division euclidienne de 144 et 11 par 7 on obtient 144 = 20×7 + 4 et 11 = 1×7 + 4.

144 et11 ont le même reste r= 4 dans la division euclidienne par 7. 144−11 = 19×7, on observe que 144−11 est un multiple de 7 Dénition 1.2.1.

Soit un entier n≥2, a etb deux entiers relatifs.

On dit quea etb sont congrus modulon, et on note a≡b[n], si les divisions euclidiennes dea et b par n ont le même reste.

Exemple 1.2.1.

• 7 = 5×1 + 2 22 = 5×4 + 2, donc22≡7 [5]

• 144 = 20×7 + 4 11 = 1×7 + 4, donc144 ≡11 [7]

Propriété 1.2.1. Soit un entier n ≥2 , a et b deux entiers relatifs quelconques. On a (P1.) a≡b[n]⇐⇒ a−b est multiple de n.

(P₂.) Si n ≥2 est un entier et si n est multiple de n⁰ alors a ≡b[n] =⇒ a≡b[n⁰]

Démonstration. (P₁.) a≡b[n] d'après la dénition il existe trois entiers q, q⁰ et r tel que a=nq+r, b=nq⁰+r et 0≤r < n

On a donc a−b=nq+r−nq⁰−r=n(q−q⁰) et donca−b est multiple den.

Réciproquement, si a−b est multiple de n, alors il existe un entier k tel que a−b =kn soit a=b+kn

Si b=nq+r est la division euclidienne de b par n0≤r < net en substituant :

a=nq+r+kn=n(q+k) +r on obtient ainsi la division euclidienne de apar n, dont le reste estr comme dans la division euclidienne de b par n, on en déduit que a≡b[n].

(P₂.) a≡b[n], d'après la propriété(P₁.) a−b est multiple den; il existek tel quea−b=kn, commen est multiple den⁰ il existek⁰ tel quen=k⁰n⁰ alorsa−b =kk⁰n⁰ donc a≡b[n⁰].

Prenum-Ac/ ENS-U.M.NG. 2014 Ensemble _n^Z_Z

1.3 Congruences et division euclidienne

Propriété 1.3.1. Soit un entier n ≥2

Tout entier relatif a est congru modulo n à un unique entier r tel que 0≤r < n−1.

Démonstration. A l'aide de la division euclidienne de a par n, on sait qu'il existe un unique entier r ∈ {0,1· · · , n−1} tel que a=nq+r =⇒ a−r =nq alors a−r est un multiple de n donc a≡r[n].

Le reste r est donc l'unique entier compris entre 0 etn−1vériant a≡r[n].

1.4 Congruences et opérations

Théorème 1.4.1. Soit n un entier naturel non nul et a b c trois entiers relatifs

(1) a ≡a[n] la congruence modulo n est réexive.

(2) a ≡b[n]⇐⇒b ≡a[n] la congruence modulo n est symétrique.

(3) a ≡b[n]et b ≡c[n] alors a≡c[n] la congruence modulo n est transitive.

La relation de congruence modulo n est réexive, symétrique et transitive.

On dit alors que la relation de congruence modulo n est une relation d'équivalence sur Z.

Remarque : On a déja rencontré des relations d'équivalences, par exemple : dans l'ensemble des droites du plan la relation " parallèle à".

Théorème 1.4.2. Soit un entier n≥2 la relation de congruence modulon est compatible avec l'addition et la multiplication dans Z.

Autrement dit, a, a⁰b etb⁰ étant des entiers relatifs quelconques, on a : Sia≡a⁰[n] et b ≡b⁰[n], alors a+b≡a⁰ +b⁰[n] et ab≡a⁰b⁰[n].

Démonstration. Si a ≡ a⁰[n] et b ≡ b⁰[n], alors a−a⁰ et b−b⁰ sont des multiples de n. il existe k etk⁰ tel que a−a⁰ =kn etb−b⁰ =k⁰n.

(a+b)−(a⁰+b⁰) = (k+k⁰)n, (a+b)−(a⁰ +b⁰) est un multiple de n donc a+b ≡a⁰+b⁰[n]

d'après (P₁).

a =a⁰ +kn et b=b⁰+kn

ab= (a⁰ +kn)(b⁰+k⁰n) =a⁰b⁰+a⁰k⁰n+b⁰kn+kk⁰n² =a⁰b⁰+ (a⁰k⁰ +b⁰k+kk⁰n)n

ab−a⁰b⁰ = (a⁰k⁰+b⁰k+kk⁰n)n, ab−a⁰b⁰ est un multiple den doncab≡a⁰b⁰[n] d'après(P₁).

Remarque

(R₁.) Pour b =b⁰ on obtient

a≡a[n] =⇒a+b≡a⁰+b⁰[n] eta ≡a⁰[n] =⇒ab≡a⁰b[n].

(R₂.) en ce qui concerne le produit la réciproque de l'implication est fausse : 4×2≡ 7×2 [6]

et pourtant46= 7 [6].

Exercice 1.4.1. On considère les nombres a et b tels que a= 135 et b = 93.

Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b, ab et 2a−3b par 23.

Solution

On a : a≡20 [23] etb ≡1 [23]

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Donc a+b ≡21 [23]

or 0≤21<23 donc 21est le reste de la division euclidienne de a+b par 23 De même ab≡20 [23]

Or 0≤20<23donc 20est le reste de la division euclidienne de ab par 23

De même 2a−3b ≡ 39 [23] donc 2a−2b ≡ 16 [23] Or 0 ≤ 16< 23 donc 16 est le reste de la division euclidienne de 2a−3b par 23

Proposition 1.4.1. Soit a et b deux entiers relatifs et k, n deux entiers naturels non nuls.

(1) Si a≡b[n]; alors a^k ≡b^k[n]

(2) b^k−a^k est multiple deb−a.

Démonstration. (1) On suppose que a ≡ b[n] et on réalise une démonstration par récurrence surk.

Initialisation : pour k = 1, la propriété est vraie par hypothèse.

On suppose que la propriété est vraie au rang k>1 :a^k ≡b^k[n].

On a ; par hypothèse ;a ≡b[n], et donc par multiplication, avec le théorème précédent a^k×a=b^k×b[n] c'est à dire a^k+1 =b^k+1[n]donc la propriété est vraie au rang k+ 1 La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.

On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturelk >1.

(2) La propriété est immédiate lorsque a =b, on suppose donc désormais que :a 6=b.

b−a est multiple de | b−a |6= 0, donc b ≡ a[b−a] donc b^k ≡ a^k[b−a], ce qui signie que b^k−a^k est multiple de|b−a| et donc de b−a.

Exercice 1.4.2. Démontrer que pour tout entier naturel n, 5³ⁿ−2²ⁿ est multiple de 121.

Solution

Soit n un entier naturel, on a :5³ⁿ−2²ⁿ = 5³ⁿ−2²ⁿ = 125ⁿ−4ⁿ, on sait que 125ⁿ−4ⁿ est multiple de 125−4 = 121 donc 5³ⁿ−2²ⁿ est multiple de121.

Théorème 1.4.3. Soit n un entier naturel non nul et a, b, c trois entiers relatifs.

Si a est premier avec n alors ab≡ac[n]⇐⇒b ≡c[n]

Démonstration. Si ab≡ac[n] =⇒ab−ac est un multiple de n.

a(b−c)est un multiple den, qui est aveca, d'après le théorème de Gauss,b−cest un multiple den, ce qui signie que b ≡c[n].

La réciproqueb ≡c[n],a ≡a[n] alors ab=ac[n].

1.5 Utilisation des congruences

1.5.1 Détermination de restes dans une division euclidienne

Activité :

1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de a par b dans chaque cas : a) a= 1984⁹⁷:b = 5

b) a= 2007²⁰⁰¹;b= 6

2. Déterminer les entiersn tels que 2ⁿ−1 soit divisible par 17.

3. Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division par 7de l'entier 3ⁿ. Solution

Prenum-Ac/ ENS-U.M.NG. 2014 Ensemble _n^Z_Z

1.

a= 1984⁹⁷;b = 5 Première étape

1984 = 5×396 + 4⇐⇒1984 ≡ 4 [5]

1984² ≡ 16 [5]

1984² ≡ 1 [5] car 16 = 5×3 + 1 Deuxième étape

97 = 48×2 + 1

1984⁹⁷ = (1984)^48×2+1

=

(1984)²48

×1984

≡ 1⁴⁸×1984 [5]

≡ 1984 [5]

1984⁹⁷ ≡ 4 [5] car 1984 = 5×5 + 4 0r 0≤4<5 donc le reste est r = 4

2.

a = 2007²⁰⁰¹;b = 6 2007 = 6×334 + 3,avec 9 = 6×1 + 3

2007 ≡ 3 [6]

2007² ≡ 9 [6]

2007² ≡ 3 [6]

2007³ ≡ 3 [6]

2007⁴ ≡ 3 [6]

2007⁵ ≡ 3 [6]

· · · ≡ · · · 2007ⁿ ≡ 3 [6]

Posons n = 2001 =⇒2007²⁰⁰¹ ≡ 3 [6]

0r0≤3<6 donc le reste est r = 3 3. Reste de la division par 7de 3ⁿ.

3⁰ ≡ 1 [7]

3¹ ≡ 3 [7]

3² ≡ 9 [7]

3² ≡ 2 [7]

3³ ≡ 6 [7]

3⁴ ≡ 4 [7]

3⁵ ≡ 5 [7]

3⁶ ≡ 1 [7]

NB : (3⁶)² ≡1 [7]

Pour n= 6k; r=1 Pour n= 6k+ 1; r=3

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Pour n= 6k+ 2; r=2 Pour n= 6k+ 3; r=6 Pour n= 6k+ 4; r=4 Pour n= 6k+ 5; r=5.

Exercices d'application

Manipuler les opérations élémentaires des congruences.

Exercice n1 : On suppose que a≡2 [7] et que b ≡3 [7]

Démontrer que 2a+b est un multiple de 7.

Exercice n2 : On suppose que a ≡2 [5] et b ≡3 [5].Déterminer le reste de la division eucli- dienne de a²+ 2b² par 5.

Utiliser la compatibilité des congruences avec les opérations Exercice n3 : Déterminer le reste de la division euclidienne de : a)56³⁵ par 8

b)10²⁹ par 9 c)155⁴⁹ par 13.

Exercice n4 : Quel est le reste de la division euclidienne de 2006²⁰⁰⁸ par 2007?

1.5.2 Congruences particulières

Les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et parfois 11, ont été utilisés au collège. Nous allons généraliser et démontrer ces propriétés à l'aide des congruences.

Dans cette partie, x désigne un entier naturel non nul et anan−1· · ·a0 avecan6= 0 son écriture décimale. On a : x=a_n10ⁿ+an−110ⁿ⁻¹+· · ·+a₁10¹+a₀

Activité (Congruences modulo 5 )

1. Vérier que :∀p ∈ N^∗, 10^p ≡0 [5]. 2. a. En déduire que :x≡a0[5]

b. Application

Déterminer le reste de la division euclidienne par 5de 1738, 2352, 13325 et 32064512.

Solution

1. Soitp un élément deN^∗, on a 10^p = 5(2×10^p−1)et 2×10^p−1 ∈ Z; donc :10^p ≡0 [5]. 2. a. On a :x=a₀+

n

X

p=1

a_p10^p et

n

X

p=1

a_p10^p est une somme de multiple de5, donc

n

X

p=1

a_p10^p

est multiple de 5, c'est à dire x−a₀ est multiple de5; d'où : x≡a₀[5]

b. Application

Les restes de la division euclidienne par5 de1738, 2352, 13325 et32064512 sont respec- tivement les meme restes que pour 8,2, 5, 2; ces reste sont respectivement 3, 2, 0, 2.

Remarque :

En utilisons la congruence modulo 2, on établit de meme que : x≡a₀[2].

Dénition 1.5.1. a) x est divisible par 2 si et seulement si son chire des unités est pair.

b) x est divisible par 5 si et seulement si son chire des unités est 0 ou 5.

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Activité (Congruences modulo 4 )

1. Vérier que :∀p ∈ N− {0; 1}, 10^p ≡0 [4]. 2. a. En déduire que :x≡a₁a₀[4]

b. Application

Déterminer le reste de la division euclidienne par 4de 1738, 2352, 13325 et 32064512.

Solution

1. Soitpun élément deN−−{0; 1}, on a10^p = 4(25×10^p−2)et25×10^p−2 ∈ Z; donc :10^p ≡ 0 [4].

2. a. On a :x=a₀a₁+

n

X

p=2

a_p10^p et

n

X

p=2

a_p10^p est une somme de multiple de4, donc

n

X

p=2

a_p10^p

est multiple de 4, c'est à dire x−a₀a₁ est multiple de 4; d'où : x≡a₀a₁[4]

b. Application

Les restes de la division euclidienne par4 de1738, 2352, 13325 et32064512 sont respec- tivement les même restes que pour38, 52, 25, 12; ces reste sont respectivement2, 0, 1, 0.

Remarque :

En utilisons la congruence modulo 25, on établit de même que : x≡a₀a₁[25].

Dénition 1.5.2. a) x est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chires est divisible par 4.

b) x est divisible par 25si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chires est divisible par 25.

Activité (Congruences modulo 9 )

1. Vérier que :∀p ∈ N, 10^p ≡1 [9]. 2. a. En déduire que :x≡

n

X

p=0

ap[9]

b. Application

Déterminer le reste de la division euclidienne par 9de 1738, 2352, 13325 et 32064512.

Solution

1. Soitp un élément deN.

Sip= 0, on a10⁰ = 1; donc 10^p ≡1 [9].

Sip6= 0, on a :10^p−1^p = (10−1)(10^p−1×1⁰+ 10p−2×1¹+· · ·+ 10¹×1^p−2+ 10⁰×1^p−1);

donc : 10^p ≡1 [9].

2. a. On a : x = a_n10ⁿ+an−110ⁿ⁻¹ +· · ·+a₁10¹ +a₀ et ∀p ∈ N, a_p10^p ≡ [9] ; donc par somme :x=

n

X

p=0

a_p[9].

b. Application

On a : 1738 ≡ 1 + 7 + 3 + 8 [9] et 1 + 7 + 3 + 8 = 19 = 2×9 + 1; donc le reste de la division de 1738 par 9 est 1. De même, les restes de la division par 9 de 2352, 13325, et 32064512 sont respectivement 3,5, et5.

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Remarque :

En utilisons la congruence modulo 3, on établit de même que : x=

n

X

p=0

a_p[3].

Dénition 1.5.3. a) x est divisible par 3 si et seulement si la somme des chires est un multiple de 3.

b) x est divisible par 9 si et seulement si la somme des chires est divisible par 9.

Activité (Congruences modulo 11 )

1. Vérier que :∀p ∈ N, 10^p ≡(−1)^p[11]. 2. a. En déduire que :x≡

n

X

p=0

(−1)^pa_p[11]

b. Application

Déterminer le reste de la division euclidienne par 11de1738,2352,13325 et 32064512.

Solution

1. Soitp un élément deN.

On a : 10≡ −1 [11]; donc pour tout entier naturel p :10^p ≡(−1)^p[11]

2. a. On a :x=ap10^p+ap−110^p−1+· · ·+a110¹+a0 et∀p ∈N, ap10^p ≡ap(−1)^p[11] ; donc par somme :x=

n

X

p=0

(−1)^pa_p[11]. b. Application

On a : 1738 ≡ −1 + 7−3 + 8 [11] et −1 + 7−3 + 8 = 11 ≡ 0 [11]; donc le reste de la division de 1738 par 11 est 0. De même, les restes de la division par 11 de 2352, 13325, et32064512 sont respectivement9, 4,et 7.

Dénition 1.5.4. x est divisible par11si et seulement si la diérence des sommes des chires de rang pair et impair est divisible par 11.

1.6 Ensemble quotient

1.6.1 Classe d'équivalence pour la relation de congruence Dénition

Soient a et n deux entiers naturels, on appelle classe de a modulo n,on note a˙ l'ensemble d'entiers relatifs x ∈ Z congru à a modulo n.

˙

a={x ∈ Z/ x=a[n]}

Prenum-Ac/ ENS-U.M.NG. 2014 Ensemble _n^Z_Z

Exemple

Pour n = 5, n ∈ N

˙0 = {x ∈ Z/ x= 0 [5]}

˙1 = {x ∈ Z/ x= 1 [5]}

˙2 = {x ∈ Z/ x= 2 [5]}

˙3 = {x ∈ Z/ x= 3 [5]}

˙4 = {x ∈ Z/ x= 4 [5]}

NB : 5 = 0 [n] d'où ˙5 = ˙0 et ˙6 = ˙1 a- Dénition

Soitnun entier naturel , on appelle ensemble quotient, l'ensemble de classes d'équivalence pour la relation de congruence modulo n, on le note

Z nZ =n

˙0, ˙2 · · · ˙ (n−1)o b- Opérations dans _n^Z_Z

Dans l'ensemble _n^Z_Z on dénit : L'addition + par :

∀x˙ ∈ _n^Z

Z, ∀y˙ ∈ _n^Z

Z,

˙

x+ ˙y= ˙ (x+y) et la multiplication ×par :

∀x˙ ∈ _nZ^Z , ∀y˙ ∈ _nZ^Z ,

˙

x.y˙ = ˙ (xy) Exemple ₄^Z_Z =

˙0,˙1,˙2,˙3

Activité

1. Dresser les table d'addition et de multiplication dans ₄^Z_Z 2. Résoudre dans _4Z^Z les équations suivantes

1) x+ 3 = 0 2) 2x−5 = 0 3) 3x+ 3 = 0 4) x²−4 = 0 5) 3x²−x= 0 6) 2x²+x+ 2 = 0

Solution

1. Dressons les tables d'addition et de multiplication dans ₄^Z_Z Table d'addition dans ₄^Z_Z

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Table d'addition de multiplication dans₄^Z_Z

2. Résolvons les équations suivantes dans ₄^Z_Z

1) x+ 3 = 0 =⇒x=−3 =−4 + 1 = 1 donc x= 1.

2) 2x−5 = 0 =⇒2x= 5 = 1 =⇒x= ¹₂ 2 n'est pas inversible dans _4Z^Z donc S =∅

Remarque : comme 2 6= 0 et que cette élément n'est pas inversible on dira que l'anneau (₄^Z

Z,+,×) n'est un corps.

3) 3x−3 = 0 =⇒3x= 3 =⇒x= 3× ¹₃ = 3×3 = 9 = 1