2011–2012 http://maths.cnam.fr CNAM Paris Centre

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MVA101 T. Horsin

2011–2012 http://maths.cnam.fr CNAM Paris Centre

Février 2012, première session d’examen. Durée: 3h Tous documents autorisés, calculatrices interdites.

Le barême, donné à titre indicatif, pourra être modifié.

Exercice 1. (2 points)

Déterminer le rayon de convergence R des séries entières suivantes:

i.

∞

X

n=0

(n

+ n + 1)x

.

On a lim ( n + 1)

+ (n + 1) + 1

n

+ n + 1 = 1 donc R = 1. 1pt ii.

∞

X

n=0

x

3n + 1 . On a lim 3 n + 1

3n + 4 = 1 donc R = 1 1pt Exercice 2. (4 points)

On considère f une fonction deux fois dérivables sur R qui satisfait

∀ x ∈ R, 4xf

(x) + 2f

(x) − f (x) = 0.

On admet que f est développable en série entière.

i. Déterminer le développement en série entière de f , et donner son rayon de con- vergence. 2pts

On écrit pour | x | < R f (x) = P

n=0

a

x

où R est le rayon de convergence de la série entière considérée. Sur ] − R,R[ on peut dériver deux fois la série terme à terme, chose non évidente a priori.

Donc f

(x) =

∞

X

1

na

x

=

∞

X

0

(n + 1)a

x

. f

(x) =

∞

X

2

n(n − 1)a

x

=

∞

X

0

(n + 2)(n + 1)a

x

.

La relation sur f donne 4

∞

X

1

(n + 1)na

x

+ 2

∞

X

0

(n + 1)a

x

−

∞

X

0

a

x

= 0, ce qui par unicité conduit à

2a

− a

= 0. Puis 2(n + 1)(2n + 1)a

− a

= 0, soit a

= a

(2n + 2)(2n + 1) . Ceci conduit à a

= a

(2n + 2)! .

On en déduit que le rayon de convergence est + ∞ .

ii. Montrer que si x < 0 alors f (x) = f (0) cos( √

− x). 2pt On a alors ∀ x < 0, f (x) = a

∞

X

0

x

(2n)! , et comme on sait que ∀ x cos(x) =

∞

X

0

( − 1)

x

(2n)! , on obtient le résultat annoncé.

Exercice 3. (6 points)

Dans cet exercice la question i n’est pas utile pour les questions suivantes.

Soit A la matrice donnée par A := 2 1 1 − 2

.

i. Déterminer les valeurs propres de A et les vecteurs propres associés. 2pt

Les valeurs propres sont les solutions λ de l'équation det(A − λI) = 0, ce qui donne ici λ

− 5 = 0, ce qui donne λ = ±

√ 5. Pour λ = √ 5 alors si x

y

est un vecteur propre associé, on a (2 −

√ 5)x + y = 0 et on prend (par exemple) x = 1 et y = √

5 − 2. Pour λ = −

√ 5 alors on est conduit à x − (2 −

√ 5)y = 0 et on prend (par exemple) y = 1 et x = 2 −

√ 5.

ii. On considère 2 fonctions x et y dérivables sur R

, vérifiant

∀ t ∈ [0, + ∞ [,



 

 

 

 

 

 

x

(t) = 2x(t) + y(t) y

(t) = x(t) − 2y(t) x(0) = 1

y(0) = 2.

(1)

On note X et Y les transformées de Laplace de x et y. Déterminer le système d’équations vérifiées par X et Y. 2pt On a pX(p) − 1 = 2X(p) + Y(p)

pY(p) − 2 = X(p) − 2Y(p) . On obtient donc (2 − p)X(p) + Y(p) = − 1

− X(p) + (2 + p)Y(p) = 2 . iii. Déterminer X et Y, et en déduire x et y. 3pt

Le déterminant du système précédent est 5 − p

. Si l'on veut que les solutions existent, il faut qu'elles existent pour p assez grand. On prend donc p > √

On peut procéder par élimination: 5. (5 − p

)X(p) = − 4 − p et (5 − p

)Y(p) = 3 − 2p. Ainsi X(p) = − p + 4

5 − p

et Y(p) = 3 − 2p 5 − p

. On écrit X(p) = a

p −

√ 5 + b p + √

5 et Y(p) = c p −

√ 5 + d p + √

5 soit X(p) = (4 √

5 + 5) 10(p −

√ 5) + ( − 4 √

5 + 5) 10(p + √

5) et Y(p) = ( − 3 √

5 + 10) 10(p −

√ 5) + (3 √

5 + 10) 10(p + √

5) ce qui donne y(t) = ( − 3 √

5 + 10)

10 e

√5t

+ (3 √

5 + 10) 10 e

√5t

et x(t) = (4 √ 5 + 5)

10 e

√5t

+ ( − 4 √

5 + 5) 10 e

√5t

.

Exercice 4. (5 points)

On considère la fonction 2π-périodique donnée sur [ − π,π] par f (x) := x − x

π

.

i. Montrer que f est dérivable en π et que f est C

sur R. 2pt On a f (π) = 0 = f ( − π). On a f

(π) = − 2 et f

(π) = − 2 ce qui prouve que f est dérivable

en π. Comme f est C

sur [ − π,π] f est C

sur R.

ii. Quesiton facultative: Montrer que Z

−1

sin(ax)(x − x

)dx = − 12 cos(a) a

− 4 sin(a)

a

+ 12 sin(a) a

. 2pt On intègra par parties trois fois

Z

−1

sin(ax)(x − x

)dx = [( − cos(ax)/a)(x − x

)]

+ 1 a

Z

−1

cos(ax)(1 − 3x

)dx = 1

a Z

−1

cos(ax)(1 − 3x

)dx = 1

a

[sin(ax)(1 − 3x

)]

− 1 a

Z

−1

sin(ax)(6x)dx = 1

a

[sin(ax)(1 − 3x

)]

+ 1

a

[cos(ax)(6x)]

+ 6

a

[sin(ax)]

, d'où le résultat.

iii. Déterminer la série de Fourier de f . 1,5pt

Puisque f est impaire, alors seuls les coefficients en sin sont à déter- miner.

b

= 1 π

Z

−π

(x − x

π

) sin(nx)dx = 1 π

Z

−1

(πu − πu

) sin(nπu)πdu = − 12π cos(n π ) n

π

iv. Comparer f ( π

2 ) et

∞

X

n=0

( − 1)

(2n + 1)

. 1,5pt

Puisque f est C

f est somme de sa série de Fourier au sens de la con- vergence simple au moins. Donc f (π/2) =

∞

X

1

− 12π cos(nπ)

n

π

sin(nπ/2). Fi- nalement f (π/2) =

∞

X

n=1

12π ( − 1)

(2n + 1)

π

Exercice 5. (6 points)

On considère (u

)

une suite de nombres réels strictement positifs. On suppose qu’il existe un nombre α > 0 tel que

u

u

= 1 − α n + 1

n

ε( 1 n )

où ε est une fonction telle que ∃ M > 0 tel que ∀ x ∈ [0,1], | ε(x) | ≤ M.

On définit les suites (v

) et (w

) définies par v

:= n

u

et w

:= ln(v

) − ln(v

).

i. Montrer que la suite (n

w

) est bornée. En déduire que la série de terme général w

est convergente ? 2pt

En effet w

= α ln(1 + 1/n) + ln( u

u

) = α(1 n − 1

2n

)) − α

n + α

2n

+ O( 1

n

). D'où le résultat. Il s'ensuit que | w

| ≤ K

n

pour K fixé. Donc (w

) est le terme générale d'une série convergence.

ii. Montrer que la suite v

a une limite k > 0. 1pt On en déduit que

N

X

k=1

w

= ln(v

) − ln(v

) admet une limite. Ainsi ln(v

) admet une limite et donc v

admet donc une limite > 0.

iii. En déduire que u

∼ k

n

. Si α > 1 la série de terme général (u

) est-elle conver- gente ? Et si α < 1 ? 2pt

n

u

→ k donc u

∼ k

n

. Ainsi si α > 1 la série (u

) est convergente et α < 1 la série diverge.

iv. Application : on prend u

= 2 × 4 × .... × 2n

1 × 3 × ... × (2n + 1) . Montrer que u

u

= 2 n + 2 2n + 3 = 1 − 1

2n + 3 et qu’on a donc α = 1/2. La série de terme général (u

) est-elle conver- gente ? 1pt

Non