Cnam-Paris 2008-2009 CSC012 F.Guiraud
1 Lundi 1 Décembre 2008
Méthode de Newton-Cotes
Cette méthode utilise n points, x
i, répartis régulièrement sur [-1,1], avec des poids w
i. Le Pb est de déterminer la position et la valeur des poids pour avoir une intégration exacte dans certains cas donc
La méthode de Simpson est la méthode de Newton Cotes avec trois points.
Exemple1 : on prend x
1
= -1 et x
2
= 1, on détermine les poids pour que la formule soit juste pour un polynôme de degré le plus élevé possible.
Si f(x) = 1, ⌡ ⌠
-1 1
f(x)dx = 2 = w
1
+ w
2 ;
si f(x) = x, ⌡ ⌠
-1 1
f(x)dx = 0 = w
1
- w
2 ,
on a donc w
1
= w
2
= 1 Si f(x) = x
2 ,⌡ ⌠
-1 1
f(x)dx = 2 3 = w
1
+ w
2
incompatible avec les autres relations donc la formule
est vraie pour un polynôme de degré 1 seulement.
⌡ ⌠
-1 1
f(x)dx = f(-1) + f(1) soit en faisant le changement de variable t = b-a
2 x + b+a 2 :
⌡ ⌠
a b
f(t)dt = b-a
2 [ f(a) +f(b)], il s’agit de la méthode des trapèzes.
Exemple 2 : x
1
= -1, x
2
= -0.5, x
3
= 0, x
4
= 0.5, x
5
= 1 . Calculer les poids pour que la formule soit juste pour un polynôme de degré le plus élevé possible.
En déduire une formule pour une valeur approchée de l’intégrale sur un intervalle [a, b]
quelconque.
Solution : w 1 = w
5 = 7 45 ; w
2
= w
4
= 32 45 ; w
3 = 4 15
⌡ ⌠
a b
f(t)dt # b-a 2 ( 7
45 f(a) + 32
45 f ( b+3a 4 ) + 4
15 f ( a+b 2 ) + 32
45 f ( 3b+a 4 ) + 7
45 f (b))
Donner une valeur approchée de ⌡ ⌠
0 π 2
cos(x) dx à l’aide de cette formule. Comparer avec la valeur exacte 1.
⌡ ⌠
0 π 2
cos(x) dx = π 4 [ 7
45 + 32 45 cos( π
8 ) + 4 15 cos( π
4 ) + 32
45 cos( 3π
8 ) ] = 0.9999..
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2 Formule composite
On partage [a,b] en n intervalles de longueur h = b-a n . On calcule la ième intégrale :
⌡ ⌠
a+ih a+(i+1)h
f(t)dt = 7h
90 [f(a+ih) + f(a+(i+1)h)] + 16h
45 [ f(a+ih+ h
4 ) + f(a+ih + 3h 4 )] + 4
15 f(a+ih+ h 2 ) Puis on somme sur i :
⌡ ⌠
a b
f(t)dt = 7h
90 [f(a)+ f(b)] + 7 45 ∑−
= 1
1 n
i
f(a+ih) + 16h 45 ∑−
= 1
0 n
i
[ f(a+ih+ h
4 )+f(a+ih + 3h 4 )]+ 2h
15 ∑−
= 1
0 n
i
(a+ih+ h 2 ) Méthode de Gauss
Le principe de la méthode reste le même, mais il faut prendre les points de façon symétrique à 0 et dans ]-1 1[.
Exemple 1
Prenons deux points x
1, x
2, ayant des poids respectifs w
1, w
2et un polynôme d'ordre 1 I = ⌡ ⌠
-1 1
(ax+b)dx = 2b = w
1
f( x
1
) + w
2
f (x
2
) = w
1
( a x
1
+ b) + w
2
( a x
2
+ b) En identifiant, on trouve w
1
+ w
2
= 2 w
1
x
1
+ w
2
x
2
= 0 avec x
1
= - x
2
à cause de la symétrie ce qui donne w
1
+ w
2
= 2 ( w
1
- w
2
) x
1
= 0 On a donc 2 types de solutions : w
1= w
2
=1 ou w
1
= 2 x
1= - x
2
x
1
= - x
2
= 0
Donc avec un seul point il est possible de déterminer l'intégration exacte d'un polynôme d'ordre 1.
⌡ ⌠
a b
f(t)dt # b-a
2 × 2 f( b+a
2 ) ou ⌡ ⌠
a b
f(t)dt # ( b-a) × f( b+a
2 ) , on retrouve la méthode des rectangles L’autre solution donne : ⌡ ⌠
a b
f(t)dt # b-a
2 ( f(- b-a 2 x
1 + b+a
2 ) + f( b-a 2 x
1
+ b+a
2 ) ) Exemple 2
Prenons maintenant un polynôme d'ordre 3 et deux points : I = ⌡ ⌠
-1 1
(ax
3+bx
2+ cx +d)dx = 2
3 b + 2d = w
1
f(
-x
1
) + w
2
f (x )
En identifiant
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3
w
1
+ w
2
= 2 (w
1
- w
2
) x
1
= 0 w
1
= w
2
= 1 (w
1
+ w
2
) x
1 2
= 2
3 ⇒ x
1 =
1 3 (w
1
- w
2
) x
1 3
= 0
D’où ⌡ ⌠
a b
f(t)dt # b-a
2 ×( f( - b-a
2 3 + b+a
2 ) + f( b-a
2 3 + b+a 2 )) TP Matlab
1) On programme la fonction d’Airy : A(x) = 1
π
⌡
⌠
0 +∞
cos( t
33 + xt)dt ; on prend pour la borne infinie : 50 et n =20000.
Il faut créer deux fichiers fonctions
function y =f(t,x) function I =Simps(a,b,x) y=cos(t^3/3+x*t) ; n =20000 ;
h= (b-a)/n;
A= h
6 (f(a)+f(b)) ;S1=;S2=0;
for i=1 :n
S1=S1+f(a+i*h,x);
end for i=0:n
S2= S2 + f(a+i*h +h/2,x);
end
I =A + h/3*S1+2*h/3*S2;
Programme principal : a=0;b=50;
x =-12:0.1:2;
n=length (x);
T=zeros(2,n);%tableau où seront stockés les résultats for i=1:n
T(2,i)= Simps(a,b,x(i));T(1,i)= x(i);
end
plot( [T(1,:)],[T(2,:)]) % pour tracer la courbe de A(x) grid on
2) On programme la formule d’intégration
⌡ ⌠
a b
f(t)dt = 7h
90 [f(a)+ f(b)] + 7h 45 ∑−
= 1
1 n
i
f(a+ih) + 16h 45 ∑−
= 1
0 n
i
[ f(a+ih+ h
4 )+f(a+ih + 3h 4 )]+ 2h
15 ∑−
= 1
0 n
i
f(a+ih+ h 2 )
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
