Groupes quotients et Théorèmes d’isomorphisme

Université Cadi Ayyad

Faculté poly-disciplinaire de Safi Département de Mathématiques et Informatique

Année Universitaire : 2019−2020 Filières : SMA

Semestre : 4

Module: Algèbre 6 Prof: Salah El Ouadih

Groupes quotients et Théorèmes d’isomorphisme

(Séance de cours: Jeudi 19 Mars 2020) Théorème 1. (Premier théorème d’isomorphisme.)

Soit G un groupe. Pour tout groupe G⁰ et tout morphisme de groupes f : G −→ G⁰, le groupe quotient de G par le sous-groupe normal kerf est isomorphe au sous-groupe Imf deG⁰. On note:

kerf / G et G/kerf 'Imf Preuve. cela a déjà été montré.

Théorème 2. (de factorisation)

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal dans G, et p la surjection canonique G−→G/H. Pour tout groupeG⁰ et tout morphisme de groupes f : G −→ G⁰ tel que H ⊆ kerf, il existe un unique morphisme de groupes φ :G/H −→G⁰ tel que f =φ◦p.

G ^{f //}

p

G⁰

G/H

φ

<<

Remarque 1. Avec les données et notations ci-dessus, on a:

• f surjectif =⇒ φ surjectif

• H = kerf =⇒ φ injectif Preuve. cela a déjà été montré.

Remarque 2. Dans le cas où l’on prend dans le théorème 2 ci-dessus H = kerf etG⁰ =Imf, on a φ à la fois injectif et surjectif, qui réalise donc un isomorphisme de G/kerf sur Imf, et l’on retrouve le premier théorème d’isomorphisme (Théorème 1).

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Lemme 1 (fondamental de factorisation)

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal dans G, et p la surjection canonique G −→ G/H. Soient G⁰ un groupe, H⁰ un sous-groupe normal dans G⁰, et p⁰ la surjection canonique G⁰ −→ G⁰/H⁰. Alors, pour tout mor- phisme de groupes f : G −→ G⁰ vérifiant la condition f(H) ⊆ H⁰, il existe un unique morphisme φ:G/H −→G⁰/H⁰ tel que φ◦p=p⁰◦f.

G ^{f //}

p ^g $$

G⁰

p⁰

G/H φ //G⁰/H⁰

Preuve.

Posons g = p◦f, qui est un morphisme de groupes G −→ G⁰/H⁰, comme composé de deux morphismes. Afin d’appliquer le théorème 2, montrons que H ⊆ kerg. Soit x ∈ H. On a f(x) ∈ f(H). L’hypothèse f(H) ⊆ H⁰ im- plique donc f(x) ∈ H⁰ = e⁰. d’où p⁰(f(x)) = e⁰. On déduit que g(x) = e⁰. c’est-à-dire x∈kerg.

Ainsi g : G −→ G⁰/H⁰ est un morphisme vérifiant H ⊆ kerg; le théorème 2 assure l’existence d’un unique morphisme φ : G/H −→ G⁰/H⁰ tel que φ◦p=p⁰◦f, d’où le résultat.

Remarque 3. Avec les données et notations ci-dessus, on a:

• p⁰◦f surjectif =⇒ φ surjectif

• H = ker(p⁰◦f) ⇐⇒ f⁻¹(H⁰) =H =⇒ φ injectif Théorème 3. (Deuxième théorème d’isomorphisme)

Soient G un groupe et H un sous-groupe normal dans G. Pour tout sous- groupe K de G, le sous-ensemble HK est un sous groupe de G, et l’on a:

H∩K / K, H / HK et K/(H∩K)'HK/H Preuve.

Rappelons que HK ={hk;h∈H, k ∈K}

Vérifions que HK est un sous-groupe de G. On a clairement e∈HK. Soient x, y ∈HK. Il existe h, h⁰ ∈H etk, k⁰ ∈K tels que x=hk ety=h⁰k⁰. Donc x⁻¹y = k⁻¹h⁻¹h⁰k⁰ = k⁻¹(h⁻¹h⁰)k(k⁻¹k⁰). Puisque h⁻¹h⁰ ∈ H et H / G, on a k⁻¹(h⁻¹h⁰)k ∈ H. Comme par ailleurs k⁻¹k⁰ ∈ K, on a bien x⁻¹y ∈HK.

On conclut que HK est un sous-groupe deG.

Vérifions queH∩K/K. Soienth ∈H∩Ketx∈K. On axhx⁻¹ ∈Hpuisque 2

H / K. On a aussi xhx⁻¹ ∈K puisque x et h appartiennent au sous-groupe K. On conclut que xhx⁻¹ ∈H∩K. ce qui prouve que H∩K / K. On peut donc considérer le groupe quotientK/(H∩K). Notonsp:K −→K/(H∩K) la surjection canonique.

Vérifions que H / HK. Soit l ∈ H et x = hk ∈ HK avec h ∈ H, k ∈ K.

On a xlx⁻¹ = hklk⁻¹h⁻¹. Puisque H / G et l ∈ H, on a klk⁻¹ ∈ H. Donc xlx⁻¹ = h(klk⁻¹)h⁻¹ ∈ H comme produit de trois éléments de H. Ce qui prouve que H / HK. On peut donc considérer le groupe quotient HK/H.

Notons p⁰ :HK −→HK/H la surjection canonique.

Notons j l’injection canoniqueK −→HK. Rappelons que j est le morphisme défini par j(k) =ke=k pour tout k ∈K. On a bien sûr j(H∩K)⊆H, de sorte que l’application directe du lemme 1 assure l’existence d’un morphisme de groupes φ:K/K∩H −→HK/H tel que φ◦p=p⁰◦j.

K ^{j //}

p

HK

p⁰

K/K ∩H

φ //HK/H

Montrons que φ est surjective. Soit hk un élément quelconque de HK/H, avec h∈H, k ∈K. On a hk =h k =k, on déduit que HK/H =p⁰(K) = (p⁰◦j)(K). On conclut avec Remarque 3 que φ est surjective.

Montrons queφest injective. Soitk∈K un élément quelconque deker(p⁰◦j).

On e=p⁰(j(k)) =p⁰(k) = k, c’est-à-direk ∈H. Donc k ∈K∩H, on déduit que ker(p⁰◦j)⊆ K ∩H. L’inclusion réciproque étant claire, on déduit que ker(p⁰ ◦j) = K ∩H. On conclut avec Remarque 3 que φ est injective. On conclut que φ réalise un isomorphisme de K/K∩H surHK/H.

Remarque 4. En notation additive, l’isomorphisme du théorème 3 devient K/(H∩K)'(H+K)/H

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