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Submitted on 1 Jan 1959
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Étude théorique de la distribution électronique dans un plasma lorentzien hétérogène et anisotrope
Raymond Jancel, Théo Kahan
To cite this version:
Raymond Jancel, Théo Kahan. Étude théorique de la distribution électronique dans un plasma
lorentzien hétérogène et anisotrope. J. Phys. Radium, 1959, 20 (1), pp.35-42. �10.1051/jphys-
rad:0195900200103500�. �jpa-00235986�
ÉTUDE THÉORIQUE DE LA DISTRIBUTION ÉLECTRONIQUE
DANS UN PLASMA LORENTZIEN HÉTÉROGÈNE ET ANISOTROPE
Par RAYMOND JANCEL et THÉO KAHAN,
Institut Henri-Poincaré, C. N. R. S., Paris.
Résumé.
2014Les auteurs étudient un développement général de la fonction de distribution
électronique en fonctions sphériques, en vue d’établir une solution de l’équation de transfert rela- tive à un plasma faiblement ionisé, hétérogène (existence d’un gradient de densité) et anisotrope (présence de champs électromagnétiques). On établit ainsi un système d’équations permettant de
calculer les deux premières approximations de cette fonction de distribution.
Abstract. 2014 The authors use a general expansion in spherical harmonics for the electronic distribution function to obtain a solution of the transport equation for a weakly ionized inhomo- geneous (existence of density gradient) and anisotropic plasma (in the presence of electric and
magnetic fields). This solution gives rise to a system of differential equations, and the solution
of this system of equations gives the first two approximations to the distribution function.
LE JOITRNAL PHYSIQUE 20. 1959,
On sait que le développement de Chapman-Enskog appliqué à un plasma faiblement ionisé soumis à l’action d’un champ électrique cesse d’être valable
dès que le champ électronique devient relativement
intense ; en effet, les électrons sont fortement accé- lérés par le champ durant leur libre parcours alors que l’énergie perdue lors d’un choc contre une parti-
cule lourde sera de l’ordre de 2 fois le rapport des
masses, c’est-à-dire de l’ordre de 10-3. Les élec- trons libres gagnent donc plus d’énergie qu’ils n"en perdent au cours des chocs ; il en résulte un accrois-
sement ’sensible de la tempérai Ul e électronique et
la fonction de distribution dès vitesses électroni- ques s’écartera notablement de la répartition max-
wellienne. Le calcul de cette fonction de distribu- tion électronique ne relèvera donc plus de la théo-
rie de Chapman-Enskog qui n’est valable que pour
un système s’écartant faiblement de l’équilibre thermique et qui consiste à développer la fonc-
tion de distribution en fonction d’un paramètre À:
2. Développement en fonctions sphériques.
-Pour un champ électrique d’intensité quelconque appliqué à un plasma, la symétrie sphérique du problème suggère de faire appel à un développe-
ment de la fonction de distribution électronique f,
en harmoniques sphériques dans l’espace des vites-
ses sous la forme :
où 0 et cp sont les angles de v en coordonnées sphé- riques dans l’espace des vitesses. Ce développement
tout en permettant de mettre en évidence les
anisotropies liées à la présence des champs élec- trique et magnétique, ne préjuge en rien du carac-
tère maxwellien ou non maxwellien de la partie isotrope aô(r, V, 1) de la fonction de distribution
électronique. Nous utiliserons pour Yi les fonctions sphériques sous la forme :
avec la relation
’
Les conditions de réalité exigent :
Supposons maintenant que notre plasma soit
soumis à un champ magnétique extérieur cons-
tant B qu’on prendra pour débuter parallèle à Oz,
ce qui n’amènera aucune perte de généralité. Les
électrons sont alors soumis à une force spécifique :
en posant
on a :
Si
est l’accélération subie par l’électron du fait du
champ électrique E(r, t), l’équation de Boltzmann
prendra la forme
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195900200103500
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et où ÉD /Of, test l’opération boltzmannien :
où J est l’opérateur de choc de Boltzmann. Si le gaz est lorentzien, J( f ) ne comporte pas les chocs
élastiques électron-électron. Il ne comprendra que les chocs élastiques électron-particules lourdes ;
dans ce cas c’est un opérateur qui s’écrit :
où /e et f p sont les fonctions de distribution pour les électrons et les particules lourdes (ions, molécules) respectivement. En nous référant aux propriétés
des systèmes d’équations de Boltzmann couplées
il est possible de décrire un gaz lorentzien avec la seule équation (2.9) relative à la composante électronique, la composante lourde ayant une distribution maxwellienne :
Si le gaz est considéré comme parfaitement lorentzien, c’est-à-diré si me Imp = 0, le terme de
chocs (2.11) se simplifie en remarquant que f p = f p ;
on peut donc décomposer les intégrales en écri-
vant pour l’opérateur JL parfaitement lorentzien :
avec
Comme me /mp = 0, on pourra remplacer gep
par Ve ; d’où pour (2.13)
,Nous voici ramenés alors à un opérateur J indé- pendant de f p et agissant sur la fonction J, ; il est
manifestement linéaire ses fonctions propres sont
précisément les fonctions sphériques Yl qui ser-
vent de base à notré développement. Si l’on dés-
igne par vl(v) la valeur propre associée aux fonc- tions propres Ym, on a les relations (voir appen- dice)
où les v, sont définis par les relations :
La quantité v1 s’interprète comme la fréquence
de collision électron-particule lourde pour les élec-
trons de vitesse v. Elle dépend essentiellement, par
l’intermédiaire de la déviation x, de la loi d’inter- action électron-particule lourde.
Dans ce cas particulier, la valeur propre corres-
pondant à 1 = 0 est
Dans le cas où m, lm, est petit mais différent de zéro, ce qui est le cas physique, les résultats précé-
dents ne sont qu’approchés. En portant le dévelop-
.
pement se décompose de f e en : dans (2.11), l’opérateur de choc - J( f e)
Dans le développement effectif, nous ferons l’hypothèse explicite que le premier terme J(aô Yô)
se rapporte à un plasma imparfaitement lorentzien ( I. L.) et que les termes avec 1 > 0 décrivent un
plasma parfaitement lorentzien (L). D’après ce qui précède, l’opérateur J pour 1 > 0 peut donc être représenté par le JL de (2.15) qui, appliqué aux YÎ donne les résultats (2.16). On aura donc :
et par conséquent (2.18) s’écrira :
Reste à définir ce que nous entendons par le terme « imparfaitement lorentzien » JI,L : on le
calcule à partir de la formule exacte (2.11) en se bornant aux termes du 1 er ordre en me /mp ; ceci
revient à tenir compte d’une distributi.on des vitesses vp des particules lourdes et des échanges d’énergie cinétique entre les électrons et ces parti-
cules lourdes au cours des collisions (en effet, si
on ne tenait. pas compte du terme du 1 er ordre
en me /mp, le terme de choc donnerait une contri-
’ bution nulle pour le 1 er terme dû développement).
Dans cette manière de procéder les termes
avec 1 > 0 mettraient en jeu des puissances
de me /mp plus grandes que l’unité, si l’on apportait
à TL la correction que l’on fait dans JI.L.
On effectue ce calcul en tenant compte sépa-
rément du recul de la particule lourde et du chan- gement de f e du fait de l’existence d’une distribution des vitesses pour la particule lourde. Pour évaluer
ces deux contributions, partons de la formule reliant les vitesses initiales et finales des 2 parti-
cules au cours d’une collision, qui peut se mettre
sous la forme suivante
On a pour le terme en J1.L de f é, d’après des résul-
tats classiques [1], [2] :
D’après (2.11) et (2.20), on peut donc écrire le terme de collision sous la forme
3. Application de l’opérateur (1) /(]Jt sur le déve- loppement.
-Le développement du terme de
collision étant ainsi achevé, il nous reste à calculer
l’effet de l’opérateur D /Dt sur le développement (2.1).
On a sucessivement :
puisque Yl est indépendant de r.
et en fin
On voit, d’après les expressions précédentes, que l’on est amené à calculer d’abord l’expression Ve Yr
en fonction des Yi .
3-1. CALCUL DES Ve Yin.
-On a, en utilisant les notations et formules de l’appendice
soit, d’après la définition des Yr
On obtient, de la même manière
et
3-2. CALCUL DE Vve Yi . pour évaluer les expres- sions (3:2)-(3.4) nous avons également besoin de
calculer Vv,, Yl en fonction des Yin. En nous reportant toujours à l’appendice, on a succes-
sivement
Ces expressions se calculent en utilisant les for-
mules de l’appendice ; il vient ainsi :
En utilisant les formules de définition des A(l, m), B(l, m), etc... l’expréssion précédente se simplifie et
1-’on a :
,1
Par un calcul en tous points analogue, on trouve
également :
38
En portant (3.13) et (3.14) dans (3.9), il vient :
On trouve de même :
3-3. CALCUL DE Ve.Vr f e.
-On a, par définition
et, en vertu de (3.6) et (3.7), il vient : :
En changeant les indices de sommation, on a enfin :
3-4. CALCUL DE r . V Ve f e. - On a, par définition :
Comme, d’après le développement, xi est fonc-
tion de Ve seulement, on a :
d’où pour (3.20) :
avec
En tenant compte des formules (3.6), (3.7) et (3.8), on trouve pour W1 :
..et, en regroupant les indices de sommation, il
vient finalement :
.Il reste à calculer W2 ; on utilise à cet effet les
formules (3.15), (3.16) et (3.17) qui, portées
dans W2, donnent après des transformations du même genre que précédemment
3-5. CALCUL DE (WB!B Ve). V Ve fe.
-Nous
ferons ce calcul en deux étapes ; nous commen- cerons par supposer que le champ magnétique B
est parallèle à l’axe des z. Nous obtiendrons ainsi des formules de validité restreinte qui permettent
néanmoins d’obtenir au premier ordre des résultats
valables pour 11ne orientation quelconque du champ
magnétique ; nous confirmerons par la suite la validité au premier ordre de ces formules en faisant
le calcul pour une orientation quelconque du champ magnétique.
D’après (3.21), le premier terme de cette expres- sion est nul et l’on a :
D’après (3.15), (3.16) et (3.17), on a (en posant
CÜB == 1 CÙB 1) :
d’où l’on tire, en raison de (3.6) et (3.7) :
3-5.2. Cas général : orientation de B quelconque.
-
Comme précédemment, on doit calculer l’expres-
sion (3.29) qui s’écrit maintenant
En vertu des formules (3.15), (3.16) et (3.17), (3.32) s’écrit encore :
En vertu des formules (3.6) et (3.7), (3.33) s’écrit
encore :
soit en regroupant les indices de sommation
40
Il nous faut maintenant évaluer les six coef- ficients en A(l, m), etc... dans les parenthèses ;
il vient, en utilisant les définitions données dans
l’appendice :
Avec ces résultats (3.36) s’écrit alors :
4. Équations générales pour les ai. - Ayant
ainsi effectué le développement de chaque terme de l’équation de Boltzmann en fonction des Yr, la
fonction f e(r, Ve, t) sera connue si l’on peut calculer
les divers coefficients aF(r, Ve, t) de son dévelop- pement. Les équations auxquelles doivent obéir
les ai sont obtenues en identifiant terme à terme les coefficients des Yr. On obtient les équations
générales en utilisant les résultats de (2.41), (3.1), (3,19), (3.26), (3.27) et (3.31) (dans le cas où B est parallèle à Oz ou (3.38) (pour B quelconque).
4-1. ÉQUATION RELATIVE AUX alm DANS LE CAS
bu B EST PARALLÈLE A Oz. -.Il Tient alors en
utilisant (3.31)
Il y a. lieu de faire deux remarques concernant cette équation : Pour 1 = 0, il faut remplacer le
terme de choc vi r1.r par l’expression donnée
en (2.22) qui tient compte de l’effet de recul de la composante lourde maxwelliennement distribuée
sur la fonction électronique. D’autre part, pour une valeur de 1 donnée, on a autant d’équations qu’il y a
de valeurs possibles pour m. Toutefois lorsque
l’indice supérieure de alm’ est plus grand en valeur
absolue que l (c’est-à-dire lorsque Im’I > l’), le
coefficient oc"’ est identiquement nul d’après la
définition même du développement en fonctions sphériques.
4-2. ÉQUATION GÉNÉRALE DES COEFFICIENTS alm.
-
(Orientation de B quelconque.) On l’obtient
immédiatement à partir de (4.1) : il suffit de rem-
placer dans (4.1) le terme’ dû au champ magné- tique im Ma alm, par l’expression (3.38).
5. Développement de f, sous forme tensorielle
(irréductible). Considérons à nouveau le dévelop- pement général :
,et remarquons que les Yf’ constituent, pour -un 1
donné, un tenseur sphérique irréductible de rang l,
dont les 21 + 1 composantes se transforment sous une représentation à 21 + 1 dimensions du groupe de rotation R selon la formule :
où l’opérateur R défini par : :
est l’opérateur de rotation, L l’opérateur moment cinétique et n le vecteur autour duquel s’effectue
la rotation d’amplitude 0,
Comme le premier membre de (5.1) est un sca- laire, il en est de même du second membre, donc
de la somme Les ai" constituent donc à leur
tour un tenseur sphérique de rang 1 en vertu de la
loi du quotient (1). En désignant ces tenseurs par
une lettre majuscule ronde (5.1) peut s’écrire sous
la forme :
le syrnbole : désignant le produit contracté des
deux tenseurs défini par :
On peut écrire ce développement en termes de
tenseurs réels, en prenant des combinaisons linéaires des Yi qui s’expriment d’ailleurs sous la forme de polynômes homogènes de degré 1 (véri-
fiant l’équation de Laplace) en Yex, V,,, Vez. Nous désignerons donc le tenseur, sphérique de rang 1 exprimé sous cette forme par V(l) et le dévelop- pement s’écrira dès lors :
où tF1> a pour composantes des combinaisons linéaires des rxi. Dans le cas 1 = 0, "’J(O) et F(0) sont
,
des scalaires ;- pour 1 =1, °J1> et tF1> sont des vecteurs ; on’ a d’ailleurs ’"V,1) = Ve. Dans le
(1) Cf., par exemple: A. LICHNEROWICZ, Calcul tensoriel
(Armand Colin).
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cas 1 = 2, ’?’ 2) est une dyade : V(2) - (0) (V@ Ve)
~~
sans divergence et de même .pour F(2) = ° f (2) (le symbole---> indiquent un tenseur et l’indice (0) en haut à gauche désignant un vecteur de divergence
nulle (vecteur solénoïdal).
Il nous faut donc exprimer le terme général du développement (5.6) en fonction du terme général
de (5.4) et (5.1), en tenant compte des relations entre fonctions sphériques. Ce terme général s’écrit
à partir de (5.1) :
,En utilisant la définition des Yi, la somme du
second membre s’écrit :
Comme par ailleurs on a :
(5.8) peut s’écrire encore :
En vertu de (2,3) et de (2.4), les deux premières parenthèses de l’accolade sont réelles, et le deu- xième terme est réel pour les mêmes raisons. En
rapprochant (5.9) et (5.7) on voit que les tenseurs
sphériques réels ’1)(l) et 9(l) ont pour composantes :
,
Considérons maintenant le développement (5.6)
’
