Action d'un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. II. Influence des collisions inélastiques sur la « queue » de la fonction de distribution électronique : région du seuil d'ionisation

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Submitted on 1 Jan 1968

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Action d’un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. II. Influence des collisions inélastiques sur la “

queue ” de la fonction de distribution électronique : région du seuil d’ionisation

Nelly Peyraud

To cite this version:

Nelly Peyraud. Action d’un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. II. Influence des col- lisions inélastiques sur la “ queue ” de la fonction de distribution électronique : région du seuil d’ionisation. Journal de Physique, 1968, 29 (8-9), pp.747-758. �10.1051/jphys:01968002908-9074700�.

�jpa-00206712�

ACTION

D’UN CHAMP

ÉLECTRIQUE

SUR UN GAZ FAIBLEMENT

IONISÉ.

II. INFLUENCE

DES COLLISIONS INÉLASTIQUES

SUR LA «

QUEUE »

^{DE LA}

^FONCTION

^DE DISTRIBUTION

ÉLECTRONIQUE :

RÉGION

DU SEUIL D’IONISATION Par NELLY

PEYRAUD,

Laboratoire de Physique ^des Plasmas, Faculté des Sciences, 91-Orsay.

(Reçu

le 8 dicembye

1967.)

Résumé. 2014 Dans un

précédent

^article

[1],

^{on a}

posé

^le

problème

^{de la} détermination de la « queue ^» de la fonction de distribution

électronique

^{résultant de}

l’équilibre

entre l’effet

Joule

^et les collisions

élastiques

^et

inélastiques ;

^{on a donné une méthode de} résolution de ce

problème

^aux très hautes

énergies [1] (comportement asymptotique).

^{Dans le}

présent

^article,

on détermine la « queue ^{» de la} fonction de distribution ^au

voisinage

^{du seuil} d’excitation le

plus

^élevé,

puis

^{on discute la} validité du résultat dans le cas de

l’hydrogène atomique.

Abstract. ²⁰¹⁴ In a

previous

paper

[1],

^the

problem

^of the determination of the "tail" of the electronic distribution function

resulting

^{from the} balance between

Joule

^{effect and elastic}

and inelastic collisions has been stated ; ^a method of resolution of this

problem

for very

high énergies [1] (asymptotic behaviour)

^{has been}

given.

^In this paper, ^we détermine the "tail"

of the distribution function in the

neighbourhood

^{of the}

highest

excitation threshold and ^we discuss the

validity

^{of the} result for the case of atomic

hydrogen.

Introduction. ^- Cet article fait

partie

d’un travail d’ensemble sur la theorie

cin6tique

^des gaz faiblement ionises dont les electrons sont en

6quilibre

^{entre le}

chauffage

par ^un

champ electrique

^{continu et les}

pertes par collisions

elastiques

^et

in6lastiques

^{sur des}

molecules neutres

possedant n

^niveaux

d’excitation;

il fait suite a une

premiere publication [1]

^- que l’on

d6signera

par I ^- dans

laquelle

^{on 6tudie la}

« queue » de la fonction de distribution

electronique :

on aboutit a une

expression analytique

^du compor- tement

asymptotique

de la fonction de distribution

6lectronique;

^cette

expression

^{est valable a}

partir d’energies

suffisamment 6lev6es _pour que l’on

puisse appliquer l’approximation

^{de Born sur} les sections efficaces

d’excitation;

^en

particulier, 1’expression

^obte-

nue n’est _pas valable _pour des

energies

avoisinant le seuil d’ionisation.

Dans cette deuxi6me

partie,

^{on se} propose de

compl6ter

^{I en} reconsid6rant le

probl6me

^d’un

point

de vue

plus pratique;

^en

effet, l’int6r8t

de la fonction de distribution

6lectronique

reside dans le fait

qu’elle

permet le calcul de toutes les

grandeurs

^macrosco-

piques : temperature 6lectronique,

conductivite 6lec-

tronique...

^{Dans les cas}

d’applications pratiques

^les

plus

^courants

(champs 6lectriques moyens),

^on

peut negliger

le nombre d’61ectrons dont

1’energie d6passe

de

quelques

electron-volts celle du seuil

d’ionisation;

le calcul des

grandeurs macroscopiques

necessite donc

une bonne

approximation

^{de la} fonction de distri- bution aux basses

energies.

^{Dans cet article}

(1),

^on

donnera une m6thode

analytique

d’obtention de la

« queue » de la fonction de distribution

electronique

au

voisinage

du seuil d’excitation le

plus

^eleve

(seuil d’ionisation).

On traitera dans une troisi6me

partie

^{le cas des}

energies

inf6rieures au seuil d’ionisation.

1.

equation

^vdrifide par la ^« queue » de la fonction de distribution. ^- 1.1. RAPPEL DE

L’£QUATION

^RE-

DUITE GENERALE. ^- On

rappelle [1]

que la ^« queue »

fnoo (restriction dejfa

l’intervalle

d’energie (un,

⁺

oo)) (1)

Les notations et formules

employees

^{sont les}

memes

qu’en

I; seules les

expressions

servant de base de

depart

^{aux calculs du}

present

^{travail seront}

rappel6es.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002908-9074700

v6rifie la meme

equation g6n6rale

^que la fonction de distribution tout

entiere f (2) :

avec :

1.2. APPROXIMATIONS. ^- On se

placera

^{dans le}

cas

particulier

^suivant

qui

^{- on le verra ci-dessous}

sur

1’exemple particulier

^de

I’hydrog6ne atomique

^-

repr6sente

^{de tres}

pres

^le

phenomene

^{a etudier}

(comportement

^{au seuil}

d’ionisation) :

a(u)

^{= constante = a}

(vl

⁼

cte) (3)

et on pose :

Compte

^{tenu des}

approximations (3)

^et

(5), 1’6qua-

tion

(1) prend

^{la forme}

simplifi6e :

avec :

On ne reviendra pas ^sur

l’approximation (3) deja

discut6e en I.

L’approximation

^lin6aire

(5)

^{sur les}

coefficients b s

de collisions

in6lastiques

demeure fondee

tant que l’on ^{est au}

voisinage

^du seuil d’excitation us.

La

figure

^{1 illustre}

l’approximation (5)

^{dans le cas}

de

I’hydrogène atomique;

^elle

represente

les variations des

coefficients b1 [2], [3] (raie Lyman a)

^et

boo [4]

(ionisation) .

La

figure

^{1 montre}

qu’au-dela

^du seuil d’ionisation

l’approximation

^liniaire

(5)

^{est valable avec une très}

bonne

precision pour

^toute

énergie

^ne

dépassant pas

^une certaine

énergie

uo de l’ordre de 20 e V dans le cas de

l’hydro- gène (environ 2u,).

(2) u = - 1

₂

^{MW2 (I,}

_kT ^formule

(2)) : energie electronique

reduite par

rapport

^{au kT des molecules neutres.}

v, (u) : frequence

de collision

élastique

électron-neutre.

M

r2o

a(u) - - m

_M

2 ° 2 ^{m (I,}

^formule

^{(4)) :} importance relative V2(U)

^kT

de 1’effet

Joule

^et des collisions

élastiques.

(

^{- M}

Qo -+ s( u)

(I,

^formule

(5))

^:

importance bs u) 2m Ql(u) ^(I,

^formule

⁽⁵⁾⁾

^:

^importance

relative des collisions

inelastiques

^et

élastiques.

FIG. 1. ^- Variations de

bi(u)

^et

boo(u)

^{dans le cas de}

l’hydrogène atomique :

---- - - b1(u) ;

20132013-20132013.20132013

boo(u) ;

:

Approximations

^lin6aires.

On

conçoit

ais6ment que la limite de validite de

1’6quation simplifi6e (6)

^est inf6rieure a uo ; ^en

effet, d’après 1’6quation (1), g(u) depend (par

^l’interm6-

diaire de la borne

d’int6gration

^{u +}

us)

du compor-

tement des

coefficients bs

^{a des}

energies

pour

lesquelles I’approximation

^lineaire

(5)

^n’est

plus

^valable

(6ner- gies sup6rieures

^a

uo).

^{On ne} pourra confondre la solution de

1’6quation (1)

^{avec celle de}

1’equation simplifi6e (6)

que si l’on ^est en mesure de r6aliser

l’in6galit6

^{suivante :}

Au

paragraphe ^3,

^on d6terminera la limite des

energies

au-dessus de

laquelle

la solution de

1’6qua-

tion

(6)

^n’est

plus

^valable.

2.

Intdgration

par la mdthode de

Laplace [1].

^-

Le

principe

de la m6thode est

expose

^{en I}

(§2);

^on

rappelle

que si G est la transform6e de

Laplace

^de g,

on a les formules dites de transformation

(formule (10))

et d’inversion

(formule (11)) :

2.1. CALCUL DE G. ^- En

multipliant

^{les deux}

membres de

1’6quation (6)

^{par e-lu du et en int6-}

grant

^{de zero a}

l’infini,

^{on obtient}

l’equation

^veri-

fi6e _par la transform6e de

Laplace G( p)

de la fonc- tion

g(u) :

On resout facilement

1’6quation

différentielle

(12) qui

^est

lin6aire,

^du

premier ^ordre,

^{a variables}

s6pa- rables ;

^{A 6tant une constante}

d’intégration,

^on

obtient :

2.2. INVERSION ^{DE LA} TRANSFORMATION DE LAPLACE.

-

a)

Recherche des

points singuliers

^de

G(p).

^{- On doit}

inverser la transform6e de

Laplace G(p)

par la for- mule d’inversion

(11) ;

il convient de rechercher les

points singuliers

de la fonction G a

gauche

^{du contour}

FIG. 2. ^{- Recherche} du

point singulier

^{de G.}

de

Bromwich [5];

^la

figure

^{2 montre} que la courbe

representative

des variations de la fonction :

coupe la seconde bissectrice ^{en un} seul

point

^d’ab-

scisse

egale

^a

- pn negative

verifiant :

On

peut

^ecrire

1’expression (13)

^de

G( p)

^{sous la forme :}

avec :

Yn

repr6sente

^{la valeur}

cp(- Pn)

^{obtenue en effectuant}

le

d6veloppement

^de

cp ( p’ )

^au

voisinage

^de

- pn.

^En posant

p’ - - pn -E-

E,

1’expression (16)

^{devient :}

Au numérateur de

1’expression (17),

^on peut ^{écrire :}

00IIII I

Au d6nominateur de

1’expression (17) :

Compte

^tenu des formules de

decomposition (18)

^et

(19)

^et de la formule

(14), 1’expression (17)

^{s’ecrit :}

La formule

(20)

^montre que l’on ^{a :}

Nota. ^- Il est intéressant de remarquer que

Yn est

3

une

uantite positive sup6rieure a 3

^{est la valeur}

prise

par yn pour as ⁼

0,

c’est-a-dire en l’absence de collisions

inelastiques) . Compte

^tenu de la for- mule

(14),

yn s’6crit :

n M ,

La

positivité

^de

y. est

^{6vidente sur la forme}

(22) ;

elle r6sulte de

l’in6galit6 e- (In + P.) us >

^1-

( pn + Po)

us.

Si on

neglige bso devant as us

^{dans la formule}

(8) . 1), la propriete Yn > 2 3

^{n’est autre} que la cons6- quence de

l’in6galit6 :

²

parfaitement

^vérifiée pour

( pn

⁺

po) us

> 0.

La formule

(15)

^{et la}

propriete y. > 0

^montrent

que

le point p = - pn est a la fois point singulier

^essentiel

1

= 0 et

point

de branchement

(3)

^{de la}

fonction

1 -

⁼

0 et point de

branchement

(3)

^de

la fonction

G ( p.)

^/

(3)

^En

general,

Yn n’est pas entier ; ^si _yn ^etait entier, le

point p = - p,,,

^serait

pole

^{de G.}

a

intigrer

^{et on admet} que c’est le seul

point singulier physiquement important (4).

b)

Inversion de

G( p) .

^{- On se trouve dans le cas}

d’application

de la formule

(73)

^de

1’appendice 1;

on trouve :

D’apr6s

la formule

(15),

^{, on}

peut

^{ecrire :}

avec :

(4)

^On

n6ghge

^les éven tuelles valeurs

imaginaires de p

n e(p-po) Us -1

qui annulent p + 2

^as,

p - p

^{. On a vérifié ce}

s = 1 p - PO

fait a

posteriori ; 1’expression approch6e (66) (la plus

intéressante

physiquement)

^{déduite de}

1’expression (35)

pour les valeurs 6lev6es de Us est exactement

identique

A celle que ^l’on obtiendrait par resolution directe ^de

l’équation (6)

^en

remplaçant

^la bome u + u, par + ^oo.

En faisant le

changement

de variable

d’integration p

^en

- p - Pn

^{dans la}

premiere integrale

^de

1’expression (23)

^{et en tenant}

compte

^{de la formule}

(26),

^{on obtient :}

La

propriete

y. >

3/2

^et la formule

(27)

^montrent

que g

s’exprime

^{sous la} forme d’une somme de deux termes

diver gents ;

^on

peut

^{lever cette} indétermination

en effectuant des

developpements

^en serie enti6re de :

D’apr6s

la formule

(25) :

avec,

d’apres

la formule

(20) :

La formule

(29)

^montre que

cp (-

p. ^-

p’)

^n’est

d6veloppable

^en s6rie enti6re _que si l’on a

(pour p’ > 0) :

.of I . I

Or, d’après l’équivaIence

des formules

(21)

^et

(22),

pn ^{n I}

la quantité

¹

+ Pn + n Po - s = 1 Pn Cls + Po e-(Pn+Po) Us

est

Pn. +

P0 s

⁼ 1

P.

⁺

A) positive; l’in6galit6 (30)

s’6crit done :

La

figure

^{3 montre,} que

l’in6galit6 (31) (et

par suite

(30))

^{est vérifiée} pour ^toutes les valeurs

de p’

ne

depassant

pas ^une certaine valeur _{P que} l’on sait determiner.

La formule

(28)

^{montre donc} que

H(- pn - p)

^est

d6veloppable

^en s6rie enti6re

pour

p ^P.

FIG. 3. ^-

Rayon

de convergence ^de

H(- pn

^-

p) :

n - o-p’ u-,, 1

On peut donc ecrire la

premiere int6grale

^{de la}

formule

(27)

^sous la forme :

Lorsque e

^{tend vers}

^zero,

la deuxieme

integrale

^de

la formule

(27)

^{s’ecrit :}

Comme sin

(I

^{+ m -} Yn +

1) 7t == (- 1)1+m

sin 7tYn, la

comparaison

des formules

(33)

^et

(34)

^montre que les termes en e de la formule

(27) disparaissent

^{et la}

« queue »

g.. (u) (5)

peut ^{s’6crire :}

H est donne _par les formules

(28)

^et

(29),

^, Yn par la formule

(21)

^{et P en}

egalant

les deux membres de

(31) ( fig. 3).

(5)

^{Seule la} restriction de la fonction

g(u)

^{a l’inter-}

valle

(un,

+

oo)

^{a une}

signification physique

^et

repre-

sente la « queue » gnoo

(u) [1].

Nota. ^- Si

y. est

^entier

(cas exceptionnel),

^on

retrouve

1’expression

donnee par le calcul des r6- sidus

[5] :

3. Limite de validitd de la fonction

g(u).

^-

D’après

le

paragraphe 1,

la fonction

repr6sent6e

par la for- mule

(35)

n’est valable que si

l’in6galit6 (9)

^{est vérifiée.}

Le coefficient

po bs(u’)

^6tant

toujours compris

^{entre 0}

et as u’ ^-

ocs, l’in6galit6 (9)

^{est a}

fortiori

vérifiée si :

8

c’est-a-dire :

soit

(en

confondant

ocs

^avec as

U,) :

Des considerations d’ordre

physique

^vont

permettre

de

majorer

^le

premier

^{membre de}

l’in6galit6 (40)

par

une

expression

calculable

analytiquement.

On notera

go(u)

la fonction que l’on obtiendrait si le coefficient

bs (u)

^etait

6gal

^{a sa} valeur r6elle

( fig. 1)

pour ^u u. ^et constant et

egal

^a

b, (it,,)

pour

u > un; la

figure

^{1 montre} que, pour ^u + Mg > u’

> u > u., ^{on a}

bs (u’)

>

bs (un) ;

il r6sulte ^-

compte

tenu de la formule

(6)

^- que l’on a pour u > u. :

En

particulier, l’inégalité (41)

^sera réalisée dans le

cas ou l’on a simultanément pour ^u > Un :

I , - / , /..11"’"

La

r6ciproque

n’est pas

toujours vraie; l’in6ga-

lit6

(41)

n’entraine pas

obligatoirement

les deux in6-

FIG. 4. ^-

Importance

des collisions

in6lastiques

sur la chute de la fonction f.

FiG. 5. ^-

Importance

des collisions

inelastiques

sur la chute de la

fonction 9 -B/U’

galites (42)

^et

(43). Cependant,

^de nombreuses etudes

numeriques [6], [7], [8], [9], [10],

^ont montre que la fonction de distribution chute au-dela du

premier

^seuil

d’excitation u1 ^et ceci d’autant

plus

slvirement _que les colli- sions

inelastiques

^sont

plus importantes ;

^les

figures

^{4 et 5}

sch6matisent

respectivement

^pour

f

^et

glilu

^{ce fait}

deja

^{bien connu : la}

fonction f (ou 9!/Vu)

^{etant nor-}

malis6e,

^il

correspond

^{un fort}

depeuplement

^{des hautes}

energies (u

>

ul)

^au

profit

des basses

energies (u ul).

Or,

il r6sulte de la d6finition

de go

^que les coeffi-

cients b,,

^{relatifs a} go ^{sont pour toutes} les

energies

^inf6-

(6 )

^La seule restriction est que ^la

quantite 2po

^{u +} 8wn - ⁶ soit tr6s

sup6rieure

^{a l’unite}

[1] ;

6tant donne la valeur 6lev6e

(fig. 1) prise

par

bl(un),

^{on est}

toujours

^{dans ce}

cas pour les valeurs

classiques

^du

champ electrique (c’est-a-dire

po pas

trop

faible,

propriete impos6e

par

l’in6galit6 (44)

^et v6rifiable a

posteriori

^sur

l’inégalité (54) ) .

rieurs ou

egaux

^aux

coefficients bs

^relatifs a g ; par

suite,

^la

figure

^{5 montre que les}

in6galit6s (42)

^et

(43)

sont v6rifi6es pour ^u > un ^et

l’in6galit6 (40)

^{est a}

fortiori

vérifiée si :

On montre en I que le

rapport qui figure

^au

premier

membre de

l’in6galit6 (44) peut

^etre

major6

par

1’expression (6) :

avec :

Pour u uo,

1’expression (45)

^est

majoree

par

1’expression :

Enfin,

^en

majorant

^u’ par ^u + _us dans

l’int6grale

^et

en

remplaqant

as

par po as (formule (7)),

^{on arrive au}

fait _que

l’in6galit6 (44)

^{est a}

fortiori

vérifiée si on a :

On montre en I que :

lorsque :

et :

L’int6grale figurant

^{dans le}

premier

^{membre de}

l’in6galit6 (48)

^{se ram6ne au}

type (49)

^en

posant :

-

L’in6galit6

^a verifier s’6crit donc :

on

approchera w n- 1

^et

co, - 3

^{p ar wn.}

^{(8) .}

On

approchera

wn

4

^{et wn}

4

^{par wn}

(8)

pour ^u uo,

l’in6galit6 (52)

^{est a}

fortiori

^vérifiée

pour :

n

Les calculs bases sur

l’approximation (5)

^n’auront

un ’sens que s’ils ^{sont au} moins

capables

^de

repr6senter

la

fonction g

exactement au

seuil,

c’est-a-dire _pour

u ⁼ un; il faudra donc que le

champ electrique

^v6rifie

(7 )

^Les

inegalites (50)

^et

(51)

^sont

parfaitement

verifLees avec les valeurs de _wn

employees,

pour des valeurs

de Po

^{tout a fait}

classiques.

(8)

^On

peut

facilement v6rifier que :

- par l’intermédiaire de

po

^-

l’in6galit6 (53)

^dans

laquelle

^{on a fait u}

6gal

^{a u..}

L’6quation (6)

^est alors certainement valable au

seuil u. a moins de 10

% pres

^si

po

^{v6rifie :}

,- ,--

Par

exemple,

si l’on considère un

plasma d’hydrogène

dont les neutres sont a la

température

^{T et}

représentés par

^un modèle

atomique

^{réduit aux} trois seuls

niveaux, fondamental,

2P et ionisation

(a1 N

¹⁸

eV-1;

an N 10 eV-1

d’après

^la

figure 1), po

^{ne devra}

pas

^{descendre en} dessous de

0, 32 k Tev.

On

rappelle

que l’on ^a

[1] :

1

1 en r6sulte que la

fonction reprisentie par

^la

for-

mule

(35)

^sera

acceptable

^a moins de 10

% pres

^{au seuil} Un a condition _que

EoJno

^ne

dipasse pas

^{environ 2 X 10-20}

VJm. ^{m3 ;} ainsi,

^{si les neutres} sont

a

^la

pression atmosphérique (no -

¹⁰²⁵

m-3),

^on devra limiter le

champ ilectrique

^{a des}

valeurs

infirieures

^{a 2 X 105}

VIM.

11 est maintenant intéressant de connaitre la limite de validité de

1’expression (35)

pour

po quelconque

mais

supérieur

^à la valeur déterminée _par

l’inéga-

lit6

(54). L’inégalité (54)

^montre que

l’expression (35)

est valable a moins de 10

% pres

^{si l’on a :}

On

peut

^montrer que, dans le ^cas

numerique

^envi-

sage precedemment,

la limite u varie entre les valeurs de

13,6

^{eY et}

18,2

^eV

lorsque po

^{varie entre}

^0,16

^{et 1}

(pour

^{kT =}

0,5 e V).

4.

Expression approchde

^de gnoo. ^- il resulte de

1’inegalite (54)

que ^{e?0uS est en}

general

^{tres inferieur}

a 1’unite et que 1’on peut

a fortiori negliger

^e-(Pn+P)us

dans

1’expression (14) ;

^{on trouve :}

On va montrer que

l’in6galit6 (54)

entraine que, pour

p’

>

0, 1’expression (29)

^{est tres bien}

approch6e

par la formule :

On devra donc montrer que les deux

expressions :

et : o o

sont tres inferieures a 1’unite

pour p’ a

⁰

quelconque.

1 ^- e-P’us

Comme 1-

e-p’ us

^{1 et} _{, Us, il} suffit

de montrer :

fi

Le

premier

^{membre de}

l’inégalité (61)

^est

toujours

inférieur à

E ^poasun e-{Pn +Po> Ul;

^en

remplaçant Pn

ip. + Po

par ^sa valeur

approchée (59), l’in6galit6 (61)

^sera

a fortiori

v6rifi6e si :

ou bien encore,

puisque :

Dans le cas

numerique envisage precedemment (p, Z 0,32 kTev), la quantite v p, a, n s=1

u, ^est

sup6-

rieure a

24,5

^{et la}

proposition (61)

^{se trouve tres lar-}

gement ^demontree.

En

reportant 1’expression approchee (60)

^{dans la}

formule

(28),

^{on obtient :}

Les deux formules

(60)

^et

(64)

^montrent que le rayon de convergence ^P de la fonction

H(- pn - p’)

est tres voisin de

2p.

+

po;

^en

posant :

La fonction _gnoo

(formule (35)) prend

^{la forme}

(en

faisant le

changemetit

de variable

d’int6gration P = (2Pn

⁺

po) t) :

D’après

^{la formule}

(82)

^de

l’appendice 3,

^{la for-}

mule

(66) s’exprime

^A I’aide de la fonction de Kum-

mer

[11] ;

^on

distingue

^{Ie cas ou 1 -} ₁

p . + -

^{4 est}

négatif

^{et Ie cas ou l-} p.

+ 4 est ^{positif (1) (la}

(9)

^On

rappelle

que Pn est

supérieur A 3 ^(§

^2.2

^a)).

formule

(83)

^de

1’appendice

^{3 montre} que dans ^ce dernier cas on connait une

representation integrale

de

M);

^{1 en notant}

E -1

^la

^partie

entière de 1

4

Pn ^-

4,

^{on obtient une ecriture}

equivalente

^{de la}

formule

(66) :

En intervertissant les

signes E et du ^quatrieme

^{terme de}

^(67),

^{on obtient}

^{(10) :}

Ainsi 6crite

(formule (68)),

la derni6re forme de _gnoo

pr6sente 1’avantage

^{de ne}

plus

contenir de series à sommer, mais

simplement

^des

integrales

d6finies de fonctions

simples

^{et une somme} finie de fonctions de Kummer

[11].

Nota. ^- Si _Yn est

entier,

gnoo ^est donn6e _par la formule

(37) qui

^{devient :}

(10)

^{La forme}

(68)

^montre que ^Ie

quatrième

^{terme ne}

pose pas de

probl6me

de convergence pour ^la borne 0;

en effet,

lorsque t

^{tend vers 0,}

l’équivalent

^{du terme à}

int6grer

^est

proportionnel

^{A t}

E (pn + ) - 4B

^{( Pn +}

4/

Conclusion. ^- On a

remplacé

la résoIution d’une

equation

^non locale dans

1’espace

^des

energies (for-

mule

(1))

par ^un

probl6me

^{de calcul}

numerique :

calcul de sommes finies et

d’integrales

^définies

(for-

mule

(68)).

Avant de donner des résuItats

num6riques,

^{on devra}

r6soudre

completement

^le

probl6me

de la determina- tion

de f;

^un

prochain

article consacr6 a 1’etude

de f

aux basses

energies (u

^C

un)

fera suite a cette etude.

APPENDICE

1

Formule

d’inversion

de la transformée de

Laplace

avec un

point

de branchement. Les

singularit£s

^de

G( p)

sont rdduites a un

point

de branchement

pour p = - pn

avec

1 =

^{0 et G} vdrifle le lemme de Jordan

[5]

( pn) (appendice 2).

La fonction

G(p) change

^de determination au

point p = - pn;

^on passe par continuite de l’une a 1’autre des determinations si

p

^se

d6place

^{sur un circuit}

entourant le

point p = - pn;

^{ce circuit}

peut

^etre celui de la

figure

6 par

exemple [1], [5].

I

FIG. 6. ^- Circuit entourant le

point

^de branchement

Dans les calculs

qui suivent,

^{il sera}

toujours

^sous-

entendu que le rayon du contour

d’integration

^est

infini;

^le rayon du cercle de

centre p = -p.

^{a une} valeur e: _que l’on devra faire tendre vers zero.

La fonction G

n’ayant

pas de

poles

^a l’int6rieur du contour de la

figure 6,

^{on a :}

Comme on se

place

^{dans le cas ou le} rayon du

grand

cercle ^est

infini,

^{on a}

d’apr6s

le lemme de

Jordan [5] :

Compte

^{tenu des}

6galit6s (71),

^{on obtient :}

G+i(p) repr6sente

^la determination de

G(p)

pour

laquelle

^la

partie imaginaire de p

^est

positive

^et

G-i(p)

la determination _pour

laquelle

^{elle est}

negative.

^On

peut

^{aussi ecrire :}

APPENDICE 2

La fonctions

G(p)

^{vdrifle le} lemme de Jordan

[5].

- On veut montrer que

G(p)

^tend uniformément

vers zero

lorsque lpl I

^{tend vers}

l’infini,

c’est-a-dire :

D’apr6s

la formule

(13), G(p) peut

^{s’6crire :}

avec :

L’int6grale figurant

dans la formule

(75) peut

^8tre calcul6e a 1’aide de deux

integrales

dont les elements diff6rentiels sont reels en

posant :

On obtient :

On 6value un

6quivalent

^de

l’intégraIe (77) lorsque I p tend

^{vers l’infini en faisant}

tendre n

^{vers ± oo et}

en

laissant § fixe;

^{on obtient :}

APPENDICE 3

Fonction de Kummer

[11].

^{- La} fonction de Kummer

[11]

^est definie par :

On en deduit _pour oc different d’un entier

negatif : Lorsque

^{oc est}

positif, 1’expression (82)

^{admet la}

representation integrale

^suivante

[11] :

BIBLIOGRAPHIF,

[1]

^PEYRAUD

(N.), J. Physique,

^{1968, 29, 201.}

[2]

^BURKE

(P. G.),

^TAYLOR

(A. J.),

^ORMONDE

(S.)

^et

WHITAKER

(W.),

Vth International Conference on

the

physics

of electronic and atomic collisions,

Leningrad,

USSR,

July

17-23, ¹⁹⁶⁷

(abstracts

of

papers),

p. 368.

[3]

^OMIDVAR

(K.),

^Vth International Conference on

the

physics

of electronic and atomic collisions,

Leningrad,

^USSR,

July

17-23, ¹⁹⁶⁷

(abstracts

of

papers),

p. 440.

[4]

^DELCROIX

(J. L.), Physique

^des

plasmas,

^{tome 2,}

Dunod

(1966).

[5]

^PISOT

(C.),

^{Cours de}

Mathématiques,

Paris, ^1961.

[6]

^HOLSTEIN

(T.), Phys.

^Rev., 1946, 70, 367.

[7]

^DREICER

(H.), Phys.

Rev., 1960, 117, 343.

[8]

ENGELHARDT

(A. G.)

^{et PHELPS}

(A. V.),

Phys. Rev., 1964, 133, ^A 375.

[9]

^SÉGUR

(P.),

^{Calcul de fonctions de} distribution en

énergie

^des électrons dans les _gaz faiblement ionisés, Thèse, Toulouse, ^1966.

[10]

^CÉSARI

(C.),

Distribution des

énergies électroniques

dans un

plasma

faiblement ionisé.

Rapport

CEA,

R 3165, ^1967.

[11]

ABRAMOWITZ

(M.)

^{et STEGUN}

(I. A.),

^Handbook

of mathematical functions.