Action d'un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. I. Influence des collisions inélastiques sur la « queue » de la fonction de distribution électronique : comportement asymptotique

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Submitted on 1 Jan 1968

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Action d’un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. I. Influence des collisions inélastiques sur la “

queue ” de la fonction de distribution électronique : comportement asymptotique

Nelly Peyraud

To cite this version:

Nelly Peyraud. Action d’un champ électrique sur un gaz faiblement ionisé. I. Influence des collisions

inélastiques sur la “ queue ” de la fonction de distribution électronique : comportement asympto-

tique. Journal de Physique, 1968, 29 (2-3), pp.201-211. �10.1051/jphys:01968002902-3020100�. �jpa-

00206637�

ACTION D’UN

CHAMP

ÉLECTRIQUE

^{SUR UN}

GAZ FAIBLEMENT IONISÉ

I. INFLUENCE DES

COLLISIONS INÉLASTIQUES

SUR

LA

«

QUEUE »

DE LA FONCTION DE

DISTRIBUTION ÉLECTRONIQUE :

COMPORTEMENT

ASYMPTOTIQUE

Par NELLY

PEYRAUD,

Laboratoire de Physique ^des Plasmas, Faculté des Sciences, 9I-Orsay.

(Reçu

^{le 20}

février 1967.)

Résumé. 2014 On considère ^un

plasma homogène,

faiblement ionisé et

optiquement

^mince

pour ^toutes les transitions ; ^{on se} propose d’étudier ^la fonction de distribution

électronique qui

résulte de

l’équilibre

^{entre le}

chauffage

par ^un

champ électrique

continu et les pertes par col- lisions

élastiques

^et

inélastiques

^sur des molécules neutres

possédant n

niveaux d’excitation.

Dans ce

premier

article, ^{on donne une méthode}

analytique

d’obtention de la

partie isotrope

de la fonction de distribution

électronique

^{au-delà du}

plus

^{haut seuil} d’excitation,

lorsque

^les

sections efficaces de collisions

élastiques

^et

inélastiques

^sont

représentées

par ^un schéma

simple

dont on discutera la validité.

Dans un article ultérieur, ^on étudiera le

problème complet

^{de la fonction de} distribution

électronique

^en considérant le cas des

énergies

inférieures au

plus

haut seuil d’excitation.

Abstract. ²⁰¹⁴ A

homogeneous plasma, weakly

^{ionised and}

optically

^{thin for all} transitions, is considered ; ^we set out to

study

^{the electron} distribution function

resulting

^{from the balance}

between

heating by

^a static electric field and losses

by

elastic and inelastic collisions on neutral molecules with n excitation levels. In this first paper, ^we

give

^an

analytic

^{method for}

obtaining

^the

isotropic

distribution function for

énergies higher

^than the upper threshold, when the cross sections for elastic and inelastic collisions are described

by

^a

simple diagram,

^the

validity

^{of which is discussed.}

In a further paper, ^we propose ^to

study

^{the whole}

problem

of the electron distribution function

by considering energies

lower than the upper threshold.

Introduction. ^- En th6orie

cinétique

^des gaz ioni-

s6s,

^le

probl6me

^{de la} determination de la fonction de distribution

6lectronique

^est

important;

^{sa reso-}

lution permet ^en effet le calcul de ^{toutes les}

grandeurs macroscopiques [1]

^:

temperature 6lectronique,

conductivit6

electronique...

Ce

probl6me

^a

deja

^fait

l’objet

de nombreux tra- vaux : on a 6tudi6 la

partie isotrope

de la fonction de distribution

6lectronique

^des gaz faiblement ioni- ses

[2], [3],

^en

presence

^d’un

champ 6lectrique lorsque

les interactions des electrons avec les autres compo- santes du _gaz se r6duisent aux collisions

elastiques

electron-neutre.

En

fait,

^{une theorie}

plus approfondie [4], [5]

^montre

que dans de nombreux ^{cas les} collisions

élastiques

^sont

loin d’8tre dominantes et que 1’on doit tenir compte des collisions

in6lastiques ^{[4], [5].}

Le but de ce travail ^est de

g6n6raliser

les theories

pr6c6dentes [3]

^{au cas ou il} y ^a

superposition

des collisions

ilastiques

^et des collisions

inilastiques.

^En

effet, l’équation qui

^{donne la}

partie isotrope

^{de la} distribution 6lectro-

nique [1]

^est

généralisable

du fait que les

harmoniques sph6riques

^sont fonctions propres de

l’op6rateur

^de

collisions

in6lastiques [6] (et

^de

l’op6rateur

^{de colli-}

sions

elastiques [3]).

Le

plasma

^sera

supposé faiblement

^{ionisé et soumis a}

un

champ ilectrique

^continu

Eo.

^D’autre

part,

^on suppo-

sera le

plasma optiquement

^mince

pour

^{toutes les}

raies;

^les

molecules neutres peuvent alors exister dans le niveau fondamental de

population no

^{et dans n niveaux}

excites de

population negligeable;

par

suite,

les colli- sions

superélastiques

^sont

n6gligeables (1)

^et les seules collisions

in6lastiques importantes

^{sont celles}

qui

^cor-

respondent

^{aux n} excitations

possibles

^{du niveau}

fondamental.

(1)

^Cette

approximation

^{exclut le cas d’atomes}

poss6-

dant des niveaux metastables.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002902-3020100

La

partie isotrope lJ.oo(w, t)

v6rifie donc

1’equation [1], [6] :

avec :

vl = no

Q 1 ( w)

^w;

Q,1:

section efficace totale de transfert de la

quantite

^{de mouvement} pour les collisions elas-

tiques electron-neutre;

^{T :}

temperature

^{des neutres}

supposes

^en

e q uilibre t ermo ynamlque; 2 ^{mw 8}

^:

6nergie

d’excitation du niveau fondamental note 0

vers le niveau d’excitation s ;

Qo-+ s

^est la section efficace totale

correspondante.

L’equation (1)

^{n’est autre} que la traduction math6-

matique

^{terme a terme} du bilan suivant :

Variation de _cxo, ⁼

chauffage par effet Joule

⁺

pertes

par collisions

ilastiques

ilectron-neutre +

gains par

^collisions

inilastiques

ilectron-neutre +

pertes par

collisions inilas-

tiques

electron-neutre.

On s’intéresse a la resolution de

1’6quation (1) lorsque ocoo

^{= 0 de maniere a} obtenir la

partie isotrope

de la fonction de distribution

6lectronique qui

r6sulte de

1’6quilibre

^{entre les}

^pertes

par collisions

élastiques

^et

in6lastiques

^{et le}

chauffage

par effet

Joule.

^Ce

probl6me

^a

deja

^fait

l’objet

de diverses resolutions

num6riques [4], [5],

ainsi que de conside-

rations

math6matiques [7], [8],

^sur

l’analyse

^des

equations

differentielles aux « differences finies ».

Dans cet

article,

^on expose ^une m6thode de d6ter- mination purement

analytique

^de ctoo pour des

energies superieures

^au

plus

haut seuil d’excitation en faisant

une

approximation

^sur les sections efficaces de colli- sions

élastiques

^et

in6lastiques;

^cette

approximation

est ensuite discut6e.

1.

Équation

^vérifiée par la solution stationnaire. ^- 1.1.

EQUATION

^{REDUITE. -} On obtiendra ^une

6qua-

tion sans dimension en

posant :

L’équation (1) prend

la forme réduite :

La forme

(6)

^fait

apparaitre l’importance

^relative

de 1’effet

Joule

^et des collisions

élastiques

^{dans les}

termes en a, ^et

l’importance

^{relative des collisions}

in6lastiques

^et des collisions

élastiques

^{dans les termes}

en

b8.

On

peut

^{obtenir une}

equation 6quivalente

^a

1’6qua-

tion

(6)

^en

l’int6grant

^sur l’intervalle

(u,

⁺

oo) ;

^en

tenant

compte

^{de la} convergence de

f(u)

^{vers zero}

lorsque

^{u tend vers l’infini}

(convergence plus rapide

que

n’importe quelle puissance

^de

llu),

^{on obtient :}

L’équation

diff6rentielle non locale

(6) compl6t6e

par la condition de convergence

de f est 6quivalente

a

1’6quation integro-differentielle (7).

1.2. AUTRE FORME DE

L’PQUATION

^{REDUITE. -}

Lorsqu’il n’y

^a pas de collisions

in6lastiques (b,

⁼

0),

on retrouve la solution

classique

^de

Margenau [2] :

11 est

logique

de factoriser des maintenant le terme

fonction

inconnue g

^reli6e

a f par

la relation

(8) :

L’équation (7)

^{est donc}

6quivalente

^a

1’6quation (9) :

La forme

(9) possede l’avantage

de grouper ^tous les effets collisionnels en un seul et meme terme

(troisième terme).

1.3.

EQUATION

^{VERIFIEE PAR LA «} QUEUE >> ^{DE LA}

FONCTION DE DISTRIBUTION. ^-

L’équation (9)

^est

valable

quelle

que soit

1’energie

^{u; dans cet}

article,

on ne s’intéressera a r6soudre

1’6quation (9)

que pour ^u

appartenant

^a l’intervalle

(un,

⁺

oo) (u.

⁼

6nergie

d’excitation du

plus

^haut

niveau),

c’est-a-dire _pour les ^« hautes

energies » (2) (bs(u’)

⁼¹⁼

0) ;

^on

noterafnoo

et gnoo les restrictions

respectives de f

et g ^a l’intervalle

(u.,

+

oo) ; fnoo repr6sente

^{la «} queue » de la fonction de distribution.

1.4. APPROXIMATIONS. ^- On se

placera

^{dans le cas}

particulier

^{suivant :}

L’approximation (10)

concernant

a(u)

^{revient a dire}

(formule (4))

que la

frequence

de collision

elastique

électron-neutre _vi ^est constante;

1’experience

^montre

qu’elle

^est

pratiquement toujours

^fond6e pour les

energies superieures

^au

premier

seuil d’excitation _u,

[1],

donc

a fortiori

pour ^u > un. A titre

d’exemple,

pour

l’hydrogène atomique,

^les

graphiques

^{obtenus par}

différents auteurs

[9]

^montrent que

Qi ilu

^est

prati- quement independant

^de

l’énergie

^{et vaut}

(3) :

Au

sujet

^de

F approximation (11),

^{on a}

repr6sent6

,-

fonction de

1’6nergie

pour 1’excitation de la raie

Lyman-oc

^de

l’hydrogène [1], [9]. b 8 part

^d’une valeur finie au seuil

[10]

pour effectivement finir _par

se saturer aux tres hautes

energies

^{a une valeur}

6gale

(2)

^{L’étude de la} fonction de distribution aux « basses

energies

^»

(inférieures

^au dernier seuil

d’excitation)

^fera

l’objet

d’un article ult6rieur.

(3)

^{Ces auteurs donnent en} fait les variations de la section efficace totale

Qo ; Qo

differe de

quelques

pour cent de la section efficace

Ql ;

6tant donne

1’approgima-

tion

(10)

valable elle aussi a

quelques

pour ^cent

pr6s, il n’y

^{a aucun} inconvenient a confondre

Qo ýu et ^Ql d1

FIG. 1 - ^- Variations de

bs(u)

pour l’excitation de la ^raie

Lyman-Alpha

^de

l’hydrogene.

a 286.

L’approximation (11)

^sera donc certainement suffisante pour

representer

^le

comportement asympto-

tique defnoo

^a condition de

choisir bs 6gal

^{au maximum}

atteint par le coefficient

bg(u)

^reel

(dans

^{ce cas}

286);

au

paragraphe ^3,

^on d6terminera la limite des

energies

en dessous de

laquelle 1’approximation (11)

^n’est

plus

valable.

Compte

^{tenu des}

approximations (10)

^et

(11), 1’equation (9) prend

^{la forme}

simpli£iée :

2.

Intdgration

par la mdthode de

Laplace.

^{- On} cherchera la solution de

1’6quation (13)

^{pour u}

appartenant

^a l’intervalle

(0, oo) ;

^on note g ^sans indice cette

solution;

seule la restriction

de g

^{a l’inter-}

valle

(un, oo)

^{a une}

signification physique

^et

repre-

sente gnx-

On resout

1’equation intégro-différentielle ⁽¹³⁾

^en

employant

la transformation de

Laplace [11].

La fonction de la variable r6elle u, nulle pour ^u 0

et satisfaisant a des conditions restrictives ^conve- nables

[11],

^fait

correspondre

la fonction

holomorphe G(p)

de la variable

complexe p

d6finie par

l’int6grale :

Si on sait calculer

G,

^on pourra connaitre

g(u)

par la formule d’inversion

[11] :

Le contour

d’intégration

de la formule

(15)

^est

represente

par la

figure 2;

il doit laisser toutes les

singularites

^{de G a sa}

gauche.

FIG. 2. ^- Contour

d’intégration

^de l’inverse de

Laplace.

Cette m6thode

remplace

donc la resolution d’une

equation

differentielle _par deux autres

probl6mes : a)

Résolution d’une nouvelle

iquation

^{en G obtenue en}

multipliant

les deux membres de

1’equation (13)

par e-vu du et en

integrant

^{de zero a l’infini.}

b)

Calcul d’une

integrale :

^{On determine}

l’originale

de

Laplace

par la formule d’inversion

(15) qui repre-

sente une

int6grale

calculable _par la m6thode des residus

[11].

La m6thode

expos6e

^{n’a d’int6r6t} que si 1’ensemble des deux

probl6mes a)

^et

b)

^est

plus simple

que le

probleme

^initial.

n’est pas entier ^et le rapport :

est

grand

devant l’unit6

[1] ;

^{on a donc :}

2.1. CALCUL DE G. ^- On

int6gre

par

parties

^le

terme en

dg/du

^{et on tient} compte ^{de la formule de} transformation suivante :

On obtient :

On r6sout facilement

l’équation

différentielle

(17) qui

^est

linéaire,

^du

premier

^{ordre à variables}

sépara- bles ;

^{on trouve :}

G (p) = A "P [B (p) ] ⁽¹⁹⁾

A est une constante

d’intégration,

^{et :}

2.2. INVERSION DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE.

- On doit inverser la transform6e de

Laplace G(p)

par la formule d’inversion

(15);

^il convient de recher- cher les

points singuliers

^de

G( p)

^a

gauche

^{du contour}

de la

figure

2. Les formules

(19)

^et

(20)

^montrent

que

G(p)

peut ^{s’6crire :}

La formule

(21)

^{et la}

propriete (24)

^montrent que le

point p

^{= 0 est}

point

de branchement de la fonc- tion

G( p)

^et c’est le seul

point singulier ;

^on

peut

donc

appliquer

la formule

(62)

^de

1’appendice I;

on trouve :

(4)

^Si wn ⁼ 0, les calculs ne

s’appliquent

pas ^exacte- ment de la meme maniere car le

point

de branchement p ^{= 0 est} tel que

1/G(0)

^{= 0 ; dans le} calcul effectu6

en

appendice,

^il faut tenir

compte

de la contribution de

l’intégrale (60)

^{sur le}

petit

^{cercle DF, ; cette} contribution est d’ailleurs infinie mais elle compense exactement la

divergence

^{a la borne 0 de}

l’int6grale prise

^{sur CD. On}

trouve que g varie ^comme

du

^{et par suite f est la distri-}

bution de

Margenau :

En posant :

on obtient :

La formule

(26)

^montre

que f(u)

^{est le}

produit

^de

deux termes :

M

a)

^{Le terme}

classique : fMarg

^{= ue- P,, - = ue 1 + a}

(fonction

^de

Margenau [2]) qui

decrit la distribution

6lectronique

^en l’absence de collisions

in6lastiques;

ce terme ne fait intervenir que

l’importance

^relative

de 1’effet

Joule

^et des collisions

élastiques (terme a).

b) Une fonction de

^{u non} constante :

Cette fonction

repr6sente

^un

couplage

^{entre les}

impor-

tances

compar6es

^de

l’effet Joule

^{et des} collisions

élastiques

d’une

part,

^et des collisions

inilastiques

^et

élastiques

d’autre

part.

Ainsi

presentee,

^{la formule}

(26)

^ne

permet

pas d’evaluer

analytiquement

^{ce terme de}

couplage;

^on

s’int6ressera donc au

paragraphe

^{suivant a donner une}

expression analytique

^tres

approch6e

de la for- mule

(26).

2.3. EXPRESSION APPROCHEE DE

fnoo.

^{- A une}

constante

multiplicative pres :

(5)

^Si wn

- 3

est entier > 0, la méthode de la trans- f ormation de

Laplace

^ne donne que ^la solution banale g ⁼ 0 ; ^{elle se révèle}

impuissante

^{dans ce cas a deter-}

miner g. On admettra facilement _que la solution

(26)

tronvé.; pour ₂ wn

- 3

₂ ^{non entier est encore} valable pour

On tiendra compte de la formule de

decomposition

suivante :

La forme

(30) pr6sente I’avantage

^{de mettre en}

evidence la fonction

E1(z)

⁼

f +oo

^z

^20132013

^.y

^dy

^{dont les}

variations en fonction de z sont tabul6es

[12].

Compte

^tenu de la formule

(30), y , (x) (formule (29))

s’6crit :

La

figure

³

repr6sente

les variations de

h(z) [12]

en fonction de z.

FIG. 3. ^- Variations de

h (z) .

La

figure

^{3 montre} que, des que

po us

^{atteint une} valeur que l’on d6terminera :

- d’une

part :

- d’autre

part :

L’in6galit6 (33)

suppose :

L’approximation (34)

suppose :

et est a

fortiori

^vérifiée pour :

Or : ^o o

L’approximation (34)

^{est donc tres}

largement

^veri-

fiee si :

e-P-us Log Po us. (39)

Po Us

11 r6sulte des

in6galit6s (35)

^et

(39)

que les

approxi-

mations

(33)

^et

(34)

^{sont tres}

largement

fond6es des que

Po Us dipasse

environ trois unitis. A titre

d’exemple,

pour la raie

Lyman-oc

^de

l’hydrôgène,

us = 100 pour kT N

0,1 eV;

^les

approximations (33)

^et

(34)

sont v6rifi6es des que

po Z 3/100,

c’est-a-dire pour des valeurs courantes du

champ 6lectrique applique.

D’apres (33)

^et

(34),

^{la formule}

(31) prend

^alors

la forme

approch6e :

CPs(x)- (E1 (1)

^-

0,8) (1- e-Po Us)

- Log [ po us (x -E- 1 ) ] . (40)

Par

suite, d’apr6s (28), (40)

^et

(22),

^{on obtient :}

n

"

/ 1

Bi

^/ 1

bs n (x) r enfE,(1)-0,81

^03A8

s = 1 Po Us 11 1 bs S - 1 J ^{x + 1}

^bs

f -- e cOn[E,(I)-0.81 s =1 JY " 1 Po Us 1 bs ^{1 x + 1}

^.

⁽⁴¹⁾

En

supposant

^donc que

po us > 2,

la formule

(41)

montre que

. (x)

^varie

approximativement

^comme

D’apr6s

les formules

(75)

^et

(77)

^de

1’appendice

^{III :}

On ^{a vu aux}

paragraphes

^{1.4 et} 2.2 que wn ^est

grand

^devant

l’unit6;

par

suite,

^la

quantite :

est

grande

devant l’unité ^et le

d6veloppement asymptotique (78) (appendice III)

^est

applicable

I

lement donner de la ^« queue » de la fonction

fnoo (formule (26)) 1’expression approch6e :

JMarg(u) repr6sente

^la fonction de

Margenau (§ 2 . 2 . a) ) et (D (u)

^{est le terme du au}

couplage

^entre

les collisions

élastiques

^et

in6lastiques;

^{ce deuxième}

terme tend vers une constante

lorsque b,

^{tend vers zero.}

3. Limite de

l’approximation b,

⁼ constante. ^- Pour ^u tr6s

grand,

^{on a vu}

(fig. 1)

que

l’approximation bs

^{= cte est tout a fait}

justifi6e.

^{11 est} int6ressant maintenant de connaitre la limite des

energies

^en

dessous de

laquelle l’approximation (11)

^n’est

plus

valable

(s) ; la

^fonction

g(u)

^{calcul6e au}

paragraphe

^{2. 3}

(6)

^{Dans ce}

paragraphe, 1’approximation (10)

v, ⁼ cte est

supposee

^verifi6e

(§ 1.4).

(formule approch6e (43))

v6rifie indifferemment l’une

ou 1’autre des

equations (9)

^et

(13)

^a condition que le

rapport

^{R d6fini comme} suit soit tres inferieur a l’unit6 :

La

fonction g

^{est d6finie} par les formules

(43)

^et

(78) (appendice III)

^{et est telle} que pour

D’apr6s

les formules

(42)

^et

(76), (78) (appendice III) :

Admettons tout d’abord que Ie coefficient

b, (u) peut

^6tre

repr6sent6 analytiquement

par ^une fonction du

type :

Et la

figure

^{1 montre} que dans le ^cas

particulier

de la raie

Lyman-a

^de

l’hydrogène,

^la

repr6senta-

tion

(50)

^est satisfaisante avec les valeurs suivantes des

paramètres :

Alors, compte

^{tenu des relations}

(48), (49)

^et

(50),

^{on obtient une}

majoration de Rs (7) :

(7)

^Les

approximations

^sont

justifiees

par le fait que les

quantités 8wn

⁺

2pou

^et

p, u

^{sont tres}

superieures

^{a l’unité.}

D’apr6s l’approximation (85)

^de

1’appendice IV,

^{il vient}

(compte

^{tenu de}

2Às po) (1) :

D’ou, finalement, 1’expression

^{de la}

majorante

^{de R :}

Soit encore, ^en utilisant

(50)

^et

(22),

^avec

po us >

^{2 :}

Si on consid6re _par

exemple

^{un mod6le}

atomique

reduit a deux niveaux

(bs

^-

bso ^-

^{wn. et R =}

R,), l’in6galit6 (53)

^{s’6crit :}

Conclusion. ^- Une m6thode de resolution nume-

rique

^{donnerait la forme} r6elle de la fonction de distribution _pour ^toutes les

energies [4], [5], [8].

Cependant,

^la

pr6sente

resolution

analytique (bien qu’elle

^soit

inapte

^a

représenter fnoo

^au

voisinage

^du

seuil d’excitation

u.) possede

^deux avantages :

- D’une

part,

elle pose

plus

clairement la structure

du

probl6me :

le fait de traiter un cas

particulier simple

mais bien d6fini

permet

^{une meilleure com-}

prehension

des m6thodes

d’analyse appropri6es.

- D’autre part, elle exhibe

la forme analytique

^exacte

du

comportement asymptotique

^{de la « queue »}

fnoo (for-

mules

(26)

^et

(44)) qui

^{n’est autre}

qu’un

^des aspects de

l’ approximation de

^{Born sur} les sections

Ifficaces

^de

collision

inilastique.

On ^aura donc certainement :

II en résulte que, dans le ^cas de la raie

Lyman-cx

^de

L’hydrogene,

^{la «} queue » de

la fonction

de distribution est

déjà

^bien

représentée par

^la

formule (44)

a condition _que

l’inergie dipasse

environ 100 eV

(pour

^{kT =}

0,1 eV) (8).

par

bs - bs(uo),

^{on uo = yun et y} > 1 reste a d6ter- miner. Il vient alors, ^en utilisant

1’equation (13) :

Comme _Us us + 1 entraine

I S I S + 1, on peut majorer

Ie

rapport

du deuxième membre de

l’inégalité (57)

par :

(1)

^{Voir note} page

pr6c6dente.

(8)

^Plus

généralement,

^on

peut

essayer de

majorer

^le

rapport

^{R a 1’aide de la vraie fonction}

bs(u)

^en

remplaqant bs

^-

bs(u’)

^{sous le}

signe

^au numerateur de

Rs

par ^la

(cf. equation (54)) ; comme P,

^{tend vers zero}

quand u

tend vers l’infini, ^on

peut

^estimer y pour que le

rapport

^R

soit assez

petit.

L’intérêt de cette m6thode est que

l’hypoth£se

Po

S N 2 (§ 2 . 3)

^n’est pas n6cessaire.

Remerciements. ^{- L’auteur} remercie M.

Cotsaftis,

du Commissariat ^a

l’Energie Atomique,

pour les ameliorations

importantes qu’il

^a

permis d’apporter

a cet article.

APPENDICE

I

Formule d’inversion de la transformée de

Laplace

avec un

point

de branchement. Les

singularit£s

^de

G( p)

sont rdduites a un

point

de branchement pour

p =

^{0 avec}

1

^{# 0 et G} vdrifle le lemme de

G(0)

Jordan

[11] (appendice II).

^{- La fonction}

G(p) change

de determination au

point p

⁼

0;

^on passe par continuite de l’une a 1’autre des determinations

si p

^se

d6place

^{sur un circuit entourant le}

point p

⁼

0;

ce circuit

peut

^{etre celui de la}

figure

4 par

exemple;

on a ainsi construit une fonction G

holomorphe

^dans

le domaine de la

figure

⁴

[11].

Dans les calculs

qui suivent,

^{il sera}

toujours

^sous-

entendu que le rayon du contour

d’int6gration

^est

FIG. 4.

Circuit entourant le

point

^de

branchement p

^{= 0.}

infini et que le rayon du cercle de centre p ^{= 0 tend}

vers zero.

La fonction G

n’ayant

^{pas de}

poles

^a l’int6rieur du contour de la

figure 4,

^{on a :}

Comme _on ^se

place

^{dans le cas ou le} rayon du

grand

cercle est

infini,

^on a,

d’apr6s

^{le lemme}

de Jordan [11] :

La fonction

G(p)

^n’étant pas infinie

lorsque p

⁼

0,

en faisant tendre le rayon du cercle de

centre p

^{= 0}

vers

z6ro,

^{on obtient :}

Compte

^{tenu des}

6galit6s (59)

^et

(60),

^{on obtient :}

G,i(p) repr6sente

^la determination de

G(p)

pour

laquelle

^la

partie imaginaire de p

^est

positive

^et

G- i (p)

la determination _pour

laquelle

^{elle est}

negative.

^On

peut

aussi écrire :

APPENDICE II

La fonction

G( p)

v6rifie le lemme de Jordan

[11].

- On veut montrer que

G( p)

^tend

uniformiment

^vers

zero

lorsque I p I

^{tend vers}

l’infini,

c’est-a-dire :

D’apres

les formules

(21), (22)

^et

(23), G(p) peut

se mettre sous la forme :

On se propose de d6montrer la

propriete (63);

^il suffit de

pouvoir majorer I G(p) I

par ^une fonction

qui

^{tend vers zero}

lorsque lp tend

^{vers l’infini.}

Compte

^tenu de la relation

(22), G( p) peut

^{s’6crire :}

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. ^- T. 29. Nos 2-3. FEVRIER-MARS 1968.

Dans la formule

(65),

^il

figure

^une

intégrale

^du type :

p e(p, - Po) Us

f

^(D

^{(p’) dp’}

^{avec (D}

^(p’)

^{= (P’ - PO) Us *}

⁽⁶⁶⁾

J ^{(p’) dp’}

^avec

(p’) _ , (p -po) p ,.

^°

⁽⁶⁶⁾

On

peut

^{calculer cette}

int6grale

^a 1’aide de deux

int6grales,

^en posant :

Lorsque 1)

^{tend vers +}

oo,1’integrale (72)

^{tend vers}

un nombre

fini; l’int6grale (73) (qui

^{est une}

int6grale

dans un domaine de ^mesure finie

(0, §)

^dont

1’integrant

tend vers zero

quel

que soit

§’)

^{tend vers zero.}

Il en r6sulte que :

IP I

^{tendant vers}

l’infini,

^{ou M est un} nombre fini.

APPENDICE

III Transformations de

Laplace [13] :

On a donc

decompose l’int6grale (67)

^{en deux}

int6grales

^dans

lesquelles

les elements differentiels

(d§’

^et

d1J’)

^{sont reels. On}

peut

^donc

majorer

chacune de ces

int6grales

^a 1’aide des

in6galit6s

suivantes :

Si on tient

compte

^de

l’in6galit6 :

D est la fonction de Whittaker

[12]

que l’on ^note

souvent

4Y ;

^{D et U sont reli6es} par la relation

[12] :

Ddveloppement asymptotique

^{de Darwin}

[12].

^-

Lorsque z2 ⁺

^{4oc est}

grand

devant l’unit6 :

APPENDICE IV Calcul

approché

^de

l’intégrale :

On

peut

effectuer la s6rie de transformations suivante :

On est ramen6 au calcul d’une

int6grale

^du

type :

Pour les valeurs de u consid6r6es au

paragraphe

³

(formule (56))

^{et une valeur courante du}

champ

^elec-

trique (po N 1/10),

^{on trouve e-0.12}

^e-y2 1,

^soit

e-v N 1,

^{et :}

On peut ^{en outre verifier} que :

Compte

^{tenu des}

in6galit6s (83)

^et

(84)

^{et de la}

formule

(82),

^{on obtient :}

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