Analyse de la fonction de distribution électronique dans une décharge haute fréquence. (Seconde partie)

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Analyse de la fonction de distribution électronique dans une décharge haute fréquence. (Seconde partie)

P. Maroni, R. Jancel, T. Kahan

To cite this version:

P. Maroni, R. Jancel, T. Kahan. Analyse de la fonction de distribution électronique dans une décharge

haute fréquence. (Seconde partie). J. Phys. Radium, 1963, 24 (1), pp.33-42. �10.1051/jphys-

rad:0196300240103300�. �jpa-00236749�

33.

ANALYSE DE LA FONCTION DE DISTRIBUTION ÉLECTRONIQUE

DANS UNE DÉCHARGE HAUTE FRÉQUENCE (SECONDE PARTIE) (1)

Par P. MARONI, ^{R. JANCEL et T.} KAHAN,

Institut H.-Poincaré (Sorbonne), Laboratoire de Théories Physiques.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ^{ET LE RADIUM TOME} 24, ^JANVIER 19G3,

II. ÉTUDE DU CAS a).

On a l’équation :

qui s’écrit :

avec

1. Intervalle élastique :

On sépare l’intervalle [0, vx] ^{en deux} parties :

1.1) ^Solution dans l’intervalle

L’équation (8) ^{s’écrit :}

Avec les notations :

ec en faisant successivement les changements ^de

variable

on aboutit à l’équation

Cette équation généralise ^celle déjà donnée par Brown dans le cas mu

0 et vi

Constante ; ^on (1) ^{Voir la} première partie, ^J. Physique Rad., 1962, 23,

425.

retrouve d’ailleurs formellement l’équation ^de

Brown en faisant wh

0 dans les formules précé- dentes, ^{à ceci} près que uc ^est remplacé par uo;

Brown néglige ^en plus ^{le terme} (3miM) (KTIe).

On a le système fondamental de solutions :

où

et

Les fonctions (D ^sont les hypergéométriques ^con-

fluentes 1F1, ^{de Kummer.}

On vérifie tacilement que lorsque

on a :

1.2) ^{Solutions dans} l’ intervalle On a l’équation :

qui ^se transforme en une équation intégrale ^d’in- connue P :

En posant :

on obtient une équation de Volterra classique

pour p :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0196300240103300

Soit R(v, §) le résolvant de K(v, 03BE) ; la solution de (16) ^{s’écrit :}

En première approximation, ^on peut ^{écrire :}

pour v. v vl, où VI est choisi de sorte que le reste soit négligeable.

Pour v > vl, ^on peut écrire, d’après (16) :

et on prend ^{comme solution} approchée ^{dans l’in-} tervalle v1 v v2, la fonction :

On détermine ainsi la solution de proche ^en proche ^{dans tout} l’intervalle [vO, Ug].

2. Intervalle inélastique :

Et pour v > vx : q = 0.

L’équation (8) ^{devient en} posant toujours :

avec

Le point ^{à l’infini est un} point singulier irrégulier.

On met facilement en évidence des solutions s’annu- lant à l’infini et qui ^sont représentées par ^une série

asymptotique :

ou TN est ^{une fonction qui tend vers zéro lorsque}

On trouve des résultats formellement identique ^à

ceux déjà trouvés par Brown dans le cas vi

Cons- tante et mu

0. Mais on peut ^aller plus ^{loin et se}

proposer de déterminer effectivement la solution (à ^{un facteur} près) qui ^est représentée par le déve-

loppement asymptotique précédent.

En effet, ^{il est} possible d’attribuer une somme

à la série divergente

à l’aide du procédé de sommation exponentiel ^de

Borel.

Soit

la fonction associée. En écrivant Pm ^sous la forme :

où _U,1, U2 sont les racines de l’équation

on voit que F ^est la série hypergéométrique ^de

Gauss :

Le rayon de convergence de ^cette série est égal

à ao. Le prolongement analytique ^{à l’aide de l’inté-} grale hypergéométrique permet de définir la fonc- tion F dans tout le plan ^{muni de la} coupure

(- oo,

ao). ^{Soit alors}

En posant 03BE/w = x, ^{on a}

où L indique ^{un chemin} rectiligne ^{issu de} l’origine

et dépendant ^{de w. On voit} facilement _{que dans}

l’angle - n/2 cp 7c/2 ^{on a :}

Or, ^la transformée de Laplace de la fonction de

Gauss s’exprime ^très simplement ^{à l’aide} de la fonc-

35 tion hypergéométrique confluente introduite _par

Tricomi et qui ^{est liée à la fonction W de Whittaker}

de la façon ^{suivante :}

on a ainsi :

De sorte que la solution de l’équation (18) ^s’annu-

lant à l’infini peut ^{s’écrire :}

avec

On vérifie que pour ^cette solution

3. Raccordement des solutions obtenues.

D’abord, ^{en vertu de} (15) ^et (20), ^{la condition} (10)

est satisfaite lorsque C2

do/A 1. D’après (14),

on a, ^au point vo :

d’où

La solution dans l’intervalle [0, vo] s’écrit ainsi :

(à ^{un facteur} près égal ^à 3( vo)) :

Au point vx, ^{on a :}

où _p est donnée par l’équation (16) et B par (19).

D’où l’expression de la solution dans l’intervalle

v > vx (qui ^contient également 3( vo) ^en facteur) :

On peut facilement expliciter P( vx) ^{en fonction}

de vo. Cette quantité ^est donnée par (17) ^avec

Or:

et

Donc:

On en déduit :

La constante 3( vo) ^doit être déterminée par ^une condition supplémentaire, de normalisation par

exemple.

III. ÉTUDE DU CAS b) : ^WH

^0.

1. Intervalle élastique :

On a l’équation :

.

1.1.) Solutions dans l’intervalle On ^a le système :

On fait l’hypothèse que w2 ^est infiniment grand

par rapport ^à r2 ; l’équation en p s’écrit, ^en sup-

posant ^en première approximation que la fonction

est constante dans l’intervalle considéré :

Posant :

il vient :

Plusieurs cas sont à envisager ^{suivant la valeur}

de a.

1.1a) ^{Pour a =1} l’équation (2) peut ^{s’écrire en} posant t

^{v3 :}

dont la solution générale ^s’écrit

Uu calcul simple ^{montre que}

1.1b) ^{Pour le cas}

^{2 a} 1, l’intégration

est moins évidente. On pose t

Ua+2, l’équation (2)

devient alors :

avec

où

On est amené à étudier une équation ^du type

Pour la commodité, ^{on se} place ^au voisinage ^de

l’infini en posant ^w

Ils ; l’équation (4) ^{devient :}

La recherche de solutions bornées de (5) ^{se fait}

très naturellement à l’aide de la méthode de Fubini, qui consiste à remplacer l’équation différentielle par ^une équation intégrales. ^{On écrit} l’équation (5)

sous la forme :

On _suppose dans la suite X > 0 et x # _{1. Un sys-} tème fondamental de

est le suivant :

On cherche alors g ^vérifiant (5’) ^{sous la forme :}

où Ci, C2 ^doivent satisfaire le système d’équations intégrales :

où

et

Par une combinaison linéaire convenable des

équations (6), ^{on aboutit à} l’équation :

où

En définitive, ^{on a à} intégrer l’équation ^sui-

vante

’

où

On peut montrer, ^à l’aide de la méthode des

approximations successives que l’équation (7) possède ^{une solution} unique ; ^{si on définit la suite :}

on a :

la série étant normalement convergente ^{dans l’in-}

tervalle ]0, ⁺ oo].

On a, lorsque X ^{1 :}

et si

où K est ^une constante dépendant ^{du noyau.}

37

Il reste à effectuer le calcul des termes de la série (8). L’égalité ^{suivante est} vraie pour n

1 :

où

Elle est vraie pour tout n si les Cnp vérifient les récurrences :

pour p - 1, 2,

^n.

On ^note x(A, [U., v ; cc ; w) la solution de (4) ^ainsi

mise en évidence. On _a, en vertu de (8) :

où

Lorsque 0 À 2, À = 1, on obtient facile- ment une solution linéairement indépendante ^{de ,} (10) ^{sous la forme :}

Lorsque 03BB> 2, ^on trouve, ^en posant

où

qui ^{conserve un sens même} lorsque ^{X devient un} entier ; ^en fait, ^{on a :}

m étant un entier positif ^{ou nul.}

Compte ^tenu des résultats précédents, ^l’inté- grale générale ^de l’équation (2) ^{s’écrit pour}

Dans ce cas y(0) = - SC2.

Pour - 2 a -1, ^{on a :}

Ici

1.1c) ^{Dans le cas où 6} = - 2, l’équation (2)

devient :

En posant

on aboutit à l’équation :

avec

On aboutit facilement à la solution générale

suivante :

La condition lim |Y(v)) I + ^oo lorsque ^{v - 0} impose C2

0 ; ^{dans ces conditions}

1.1d) ^{Cas ou}

3 ^{a - 2.}

L’équation (2) possède ^une singularité irrégulière à l’origine.

Le changement ^de variable t

lp+2 impose

cette fois de chercher des solutions de (3) ^{au voisi-}

nage de l’infini.

où

En posant

et

on trouve :

où

Soit la fonction :

On sait alors que si :

ce‘ qui ^{est réalisé ici,} il existe des intégrales ^ten-

dant vers zéro à l’infini, ^telles que (à ^{un facteur} près) :

Il reste à déterminer les premiers ^{termes d’un} développement asymptotique ^de o(1).

On _{pose :}

.I1 vient pour ^Z l’équation :

où

On écrit l’équation ^{sous la forme :}

dans le but de la transformer en une équation intégrale à l’aide de la méthode de Fubini déjà employée. On aboutit à l’équation :

On suppose d’abord cr = 2013 3, c’est-à-dire ’t’ -:ft 0.

En écrivant :

et en négligeant ^{les termes d’ordre} supérieur ^à quatre, ^on obtient la forme suivante pour le noyau :

où

On procède par itérations ^en prenant Zo

^1.

On a successivement :

où

où

où

En définitive :

Cas où a

3.

Le noyau prend ^{la forme :}

en négligeant ^{les termes} d’ordre 18.

39

On trouve facilement après ^{une seule} itération :

L’expression des solutions peut ainsi s’écrire :

où Z(v)est ^donnée par(14) ^ou par (15). ^{On en déduit:}

1.1e) Lorsque ^{m est tout à fait} quelconque,

mais dans le cas

2 J fi 1, ^le système (1’) ^se

met ^sous la forme :

où

et

On construit les deux suites Po, B1’

3n ... ; y 1, ... yn,

à l’aide du système d’équations

récurrentes

On obtient facilement :

Il suffit _que

pour que la suite p, soit convergente. La condition

précédente peut ^{être réalisée en} imposant ^{à U d’être}

assez petit, ^{donc en} choisissant A’2 0 ^assez grand. ^Si

on restreint ^a à l’intervalle ^{- 1 03C3} 1, ^on peut

utiliser l’approximation ^{1 + U(U) pour} l’expo-

nentielle eu(v), ^{car la fonction U est} petite ; ^en fait,

elle est proportionnelle ^à m m a-m +" 2 m 1 ^{Si 30}

⁰

elle est proportionnelle à -M ^a~ m/1+6/2 Si B0 = B(0)

on a alors pour B1 après ^une intégration ^par parties :

c’est-à-dire :

Calcul de U(v) :

En supposant ^{d’abord 0 a} 1, ^{on a :}

où

Ensuite :

Et introduisant ^la fonction hypergéométrique ^à

deux variables :

on obtient la forme :

1.2) ^{Solutions dans} l’intervalle On a le système :

qui ^se transforme facilement en une équation ^inté- grale pour g :

La solution _pourra être calculée à l’aide de la série de Neumann ^ou à l’aide des méthodes numériques

habituelles.

2) Intervalle inélastique : q

0, ^v >, vx.

De plus, ^{les termes} de diffusion sont négligeables

par rapport ^aux effets de choc. L’équation (1) ^se

réduit à :

Le terme vx + ^{vi donné} par l’expérience ^{est très}

mal ^connu actuellement ; ^{il est} possible ^d’utiliser

des expressions analogues à celle donnée par Brown dans le cas "1

constante. Mais, ici, ^nous

ferons simplement l’hypothèse que :

à l’infini

Diverses formes de v2( vg +- VI)

F(v) ^seront

données plus ^loin. On pose v == 1 It ; l’équation (16)

devient :

En première approximation ^{on écrira}

avec

d’où si u = t2

2.1) ^On suppose que F ^a la forme :

L’équation (17) ^{s’écrit :}

Les solutions s’expriment ^{à l’aide des fonctions} hypergéométriques ^de Gauss. Si ’t" 1, ’t" 2 et pi, P2 sont les racines des équations :

On obtient facilement un système fondamental de solutions :

où Y est la branche principale ^{de la fonction} hyper-

géométrique holomorphe ^à l’origine ^{et dans tout le} plan ^{muni de la} coupure [+ 1, + 00]

L’équation (17) ^{devient :}

En posant ^{on trouve :}

L’équation indicielle à l’origine ^{s’écrit :}

Soient _r1, ’r2 les ^{deux racines de cette} équation.

Si B

^W’rl B1, ^{on a} pour Pl :

avec

C’est une équation ^{à trois} singularités ^corres- pondant ^{au schéma :}

Les solutions holomorphes ^à l’origine ^{associées à} l’exposant zéro sont :

où les polynômes ^de degré n ^{en x} Gn(x) vérifient la récurrence :

valable pour n > ^1.

Le rayon de convergence de la série est évidem- ment égal ^{à un. Les solutions associées à} l’expo-

sant _{’t" 2}

_{’t 1} s’exprimant ^à l’aide de la fonction _{cp :}

sous réserve _{que T2}

_{’t’ 1} ne soit pas ^un entier

41

négatif ^{ou nul. On aboutit ainsi au} système ^fonda-

mental de solution de l’équation (18).

La condition y(+ 00) + ^oo impose ^de rejeter

la solution correspondant ^à l’exposant négatif (T2

par exemple). ^L’autre solution, d’ailleurs, ^{ne vérifie}

pas automatiquement ^cette condition. On voit que

y( + oo)

0 pour

sous réserve que

où

En posant p(v)

(Sv2)-112 N(V), ^{on a pour} l’équation :

où

Compte ^{tenu de}

on trouve :

avec

Trois cas se présentent

lorsque

lorsque

ou

ou

avec

lorsque ^{ce’ A et oc’} > 2oc.

On est amené aussi à étudier une équation ^du type :

où

On utilise ^encore ici la méthode de Fubini.

L’équation ^se transforme en

où

et

On remplace l’équation (20) par l’équation ^inté- grale

Soient yi > 1 et tL2 1 les deux racines de (21).

Lorsque U = U1, ^{on a} à résoudre l’équation :

avec

Lorsque y = U2, ^on pose ^v1-U2 Z(V) - Z*(v) ^et

on a l’équation ^{pour Z* :}

Les deux équations intégrales précédentes pos- sèdent respectivement ^{une solution} unique ^dans

tout intervalle [v1, + oo], vl > 0 et chacune d’elles est bornée en module _par

avec

On obtient ainsi le système fondamental pour

l’équation (18) :

c’est-à-dire pour l’équation ^de départ :

La condition y(+ oo) dépend essentiellement de h ; ^{sans entrer dans les} détails, ^{il est facile de}

voir que si 03BC2 - 6, les solutions

entraînant

Le raccordement des différentes solutions obte-

nues se fait de la même manière que dans le cas v 1

constante.

Manuscrit _reçu le 14 novembre 1961,

modifié le 10 juillet ^1962.