Plan de cours — Calcul diff´erentiel

Plan de cours — Calcul diff´ erentiel

C´ egep de Saint-Laurent

D´ epartement de math´ ematiques 201-NYA — Automne 2019 Yannick Delbecque — http://prof.delbecque.org — prof@delbecque.org — Bureau C286 — 514-747-6521 poste 7289

Objectif

L’objectif principal de ce cours est de faire acqu´ erir ` a l’´ etudiant une connaissance de base des principaux concepts du calcul diff´ erentiel, afin de pouvoir les appliquer ` a l’´ etude de fonctions et ` a la r´ esolution de probl` emes.

Dans ce cours, l’´ etudiant devrait aussi consolider sa maitrise des bases de l’alg` ebre et de la g´ eom´ etrie, ainsi que de s’initier

`

a la m´ ethodologie et la rigueur math´ ematique.

Le cours de calcul diff´ erentiel est un des trois cours de math´ ematiques obligatoire des programmes de sciences au coll´ egial. Il est aussi possible de le faire dans le programme de science humaines Math´ ematiques et soci´ et´ e.

Il a comme pr´ ealable d’avoir r´ eussi les cours de math´ ematiques Technico-science ou Sciences naturelles de 5

secondaire (ou un des cours de math´ ematiques 536 ou 526 dans l’ancien programme du secondaire). La r´ eussite de ce cours est n´ ecessaire pour faire le cours de calcul int´ egral, ainsi que pour pouvoir s’inscrire aux cours de math´ ematiques op- tionnels des programmes de sciences. Les trois cours Calcul diff´ erentiel, Calcul int´ egral et Alg` ebre lin´ eaire et g´ eom´ etrie vectorielle doit ˆ etre r´ eussie pour acc´ eder ` a de nombreux pro- grammes universitaire.

Comp´ etences

Au terme de ce cours, l’´ etudiant pourra

• reconnaˆıtre et d´ ecrire les caract´ eristiques d’une fonction repr´ esent´ ee sous forme d’expression symbolique ou sous forme graphique ;

• d´ eterminer si une fonction a une limite, est continue, est d´ erivable, en un point et sur un intervalle ;

• appliquer les r` egles et les techniques de d´ erivation ;

• utiliser la d´ eriv´ ee et les notions connexes pour analyser les variations d’une fonction et tracer son graphique ;

• r´ esoudre des probl` emes d’optimisation et de taux de va- riation.

Contenu

Fonctions

• D´ etermination du domaine, des z´ eros et du graphe d’une fonction.

• Caract´ eristiques des fonction alg´ ebriques et transcen- dantes usuelles.

Limites et continuit´ e

• Notion informelle de limite.

• Calcul des limites.

• Formes ind´ etermin´ ees.

• Continuit´ e d’une fonction.

D´ eriv´ ees

• D´ efinition en terme de limite.

• Calcul de la d´ eriv´ ee ` a l’aide de limites.

• Propri´ et´ es des d´ eriv´ ees – formules de d´ erivation.

• Calcul de d´ eriv´ ees ` a l’aide des formules.

• D´ eriv´ ee des fonctions transcendantes : trigo- nom´ etriques, trigonom´ etriques inverses, exponen- tielles et logarithmiques.

• D´ erivation implicite.

Applications

• Croissance et d´ ecroissance.

• Maximums et minimums.

• Concavit´ e et points d’inflexion.

• Tableau de variation et graphes de fonctions.

• Asymptotes verticales et horizontales.

• Optimisation.

M´ ethodologie

Les rencontres consistent en cours magistraux et en p´ eriodes d’exercices.

Il n’y a aucun manuel obligatoire pour ce cours. Des exer- cices et des notes seront distribu´ es en classe. Il est n´ ecessaire de prendre des notes en classe. Quelques livres utiles figurent dans la bibliographie. Tout les documents distribu´ es en classe seront rendu disponibles sur le site du cours :

http://prof.delbecque.org/201-nya/.

On trouve aussi sur ce site un ´ ech´ eancier de la session (pou- vant ˆ etre modifi´ e pendant la session si n´ ecessaire).

La pond´ eration de ce cours est 3-2-3 ; ceci signifie que le cours comporte 3 h hebdomadaires consacr´ es ` a la th´ eorie, 2 h consacr´ es ` a des exercices ou des laboratoires et enfin que l’on doit consacrer au minimum 3 h par semaine en travail person- nel pour le r´ eussir. Un travail personnel r´ egulier est n´ ecessaire pour la r´ eussite de ce cours. La pr´ esence aux cours est indis- pensable et constitue un facteur essentiel de r´ eussite.

Disponibilit´ es

Si vous avez des questions en dehors des heures de cours,

le professeur est disponible ` a son bureau lors des heures

de disponibilit´ es. L’horaire de disponibilit´ e du professeur est

disponible sur la page du cours et ` a la porte de son bu-

reau. Vous pouvez aussi contacter le professeur par courriel

(pr´ ef´ erablement) ou au t´ el´ ephone. Pour toute situation excep-

tionnelle, prendre rendez-vous avec le professeur.

Plan de cours page 2

Centre d’aide en math´ ematiques

Si vous avez besoin d’explications suppl´ ementaires, vous pou- vez consulter le professeur lors de ses heures de disponibilit´ es (disponibles sur la page du cours) ou par courriel. Si vous avez des difficult´ es importantes, vous pouvez visiter le centre d’aide ou demander l’aide d’un tuteur attitr´ e ; toute l’infor- mation sur le site du centre d’aide :

http://mathsl.org/cam.

Evaluation ´

Les ´ evaluations consistent en un test pr´ eparatoire court et un devoir, comptant chacun pour 4 % (donc 8 % de la note finale pour les deux), et de quatre examens (dont un examen final de type synth` ese) d’une dur´ ee de 2h20, comptant respectivement pour 20 %, 22 %, 24 % et 26 % de la note finale. On trouve les moments pr´ evus des examens dans l’´ ech´ eancier sur le site du cours. Comme l’´ ech´ eancier pourrait ˆ etre modifi´ e en cours de session pour des raisons p´ edagogiques ou autre, les dates et le contenu des examens seront toujours confirm´ es en classe au moins une semaine ` a l’avance. Chaque examen peut compor- ter une section de questions r´ ecapitulatives ` a r´ eponses br` eves pouvant constituer jusqu’` a 15 % de la note de l’examen.

La moment pr´ evu pour les examens est sp´ ecifi´ ee dans l’´ ech´ eancier indicatif de la planification du cours (voir page web du cours). Cependant, cet ´ ech´ eancier peut ˆ etre sujet ` a changement si n´ ecessaire et, par cons´ equent, les dates offi- cielles des ´ epreuves seront confirm´ ees en classe au moins une semaine ` a l’avance.

L’utilisation de notes de cours, de formulaires et de calcula- teurs ´ electroniques sont interdites lors des examens.

La note de passage ` a ce cours est de 60 %. On doit aussi avoir obtenu une moyenne 60 % aux examens et au test pr´ eparatoire (sans compter le devoir) pour r´ eussir ce cours, sans quoi la note finale ne peut d´ epasser 56 %.

Crit` eres d’´ evaluation

Dans un examen, une r´ eponse sans justification, mˆ eme exacte, ne donne aucun point, ` a moins de mention contraire. Les exa- mens et les devoirs sont ´ evalu´ es selon les crit` eres suivants :

• la qualit´ e du d´ eploiement d’un raisonnement math´ ematique,

• l’expression claire d’une d´ emarche,

• le respect de la syntaxe de l’´ ecriture math´ ematique,

• la rigueur dans la justification des ´ etapes,

• l’exactitude des calculs.

Jusqu’` a 10 % des points pourront ˆ etre enlev´ es pour les er- reurs de syntaxe math´ ematique. Pour un travail ´ ecrit, 10 % de la note est attribu´ ee ` a la qualit´ e du fran¸ cais et 5 % ` a la pr´ esentation mat´ erielle.

Politique d’´ evaluation

Toute forme de plagiat ou de participation ` a un plagiat lors d’un examen ou d’un travail entraˆıne la note z´ ero ` a cet exa- men ou travail.

Toute absence non motiv´ ee ` a un examen entraˆıne automati- quement la note z´ ero. Si on arrive en retard ` a un examen, il est toujours possible de le faire pour le reste de la dur´ ee pr´ evue, mais uniquement si aucun autre ´ etudiant n’a termin´ e son exa- men. D` es qu’un premier ´ etudiant ou une premi` ere ´ etudiante a termin´ e son examen, tout retard est consid´ er´ e comme une absence non motiv´ ee.

Si votre absence ou votre retard est motiv´ ee (maladie ou si- tuation exceptionnelle hors de votre volont´ e), vous avez deux jours pour en aviser le professeur par courriel, en sp´ ecifiant la raison de votre absence et ` a quel moment vous voulez faire l’examen ` a un des moments pr´ evus pour les reprises (in- diqu´ es sur la page du cours). Si le professeur accepte votre motivation, pour pourrez faire l’examen au moment que vous avez choisis. Toute absence lors d’une reprise sera consid´ er´ ee comme une absence non motiv´ ee et entraˆıne automatique- ment la note z´ ero. Les reprises d’examen pour absence mo- tiv´ ee doivent avoir lieu dans la semaine suivant l’examen et n´ ecessairement dans une des plages horaires pr´ evues pour les reprises ; apr` es ce d´ elai, les reprises ont lieu ` a la fin de la session lors de la semaine d’examens ` a un moment qui sera convenu avec le professeur

Aucun travail en retard n’est accept´ e. Si une situation ex- ceptionnelle empˆ eche un ´ etudiant de remettre un travail au moment pr´ evu, le professeur peut permettre ` a l’´ etudiant de remettre son travail plus tard ou proposer une autre mesure

´

equitable visant ` a ´ eviter que l’´ etudiant soit p´ enalis´ e par la situation.

Les politiques d´ epartementales et institutionnelles compl` etes concertants les ´ evaluations, r´ evisions de note, etc,s sont d´ ecrites dans la politique institutionnelle d’´ evaluation des ap- prentissages (pour tout le c´ egep) et politique d´ epartementale d’´ evaluation des apprentissages (r` egles sp´ ecifiques au d´ epartement de math´ ematiques).

R´ ef´ erences

[1] Leonhard Euler : Foundations of Differential Calculus.

Springer, 2000.

[2] James Stewart : Calcul Diff´ erentiel. Modulo ´ edition, 2013.

[3] Gilles Ouellet : Calcul 1, Introduction Au Calul Diff´ erentiel. Le Griffon d’argile, 1999.

[4] N. S. Piskunov , G. Der-Megreditchian et E. Glou- khian : Calcul diff´ erentiel et int´ egral. Tome II. Editions Mir, 1993.

[5] N. S Piskunov , G Der-Megreditchian et E Glou- khian : Calcul diff´ erentiel et int´ egral. Tome I. Editions Mir, 1993.

[6] Ernst Hairer et Gerhard Wanner : L’analyse Au Fil de l’histoire. Springer, 2001.

[7] Hiroyuki Kojima : The Manga Guide to Calculus. No Starch Press, 2009.

[8] Larry Gonick : The Cartoon Guide to Calculus. Harper- Collins, 2011.

Calcul diff´ erentiel – 201-NYA – Automne 2019