Chapitre 4 - Calcul Diff´erentiel

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Calcul Diff´ erentiel

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, ”Analyse”, Polymaths, 2002

J-Ph Javet, ”Introduction `a la notion de d´eriv´ee”, Polycopi´e du Gymnase de Morges

J-Ph Javet, ”D´eriv´ee d’une fonction et r`egles de calculs”, Polycopi´e du Gymnase de Morges

Notes du cours donn´e par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0

m=−2.5 m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0

m=−2.5 m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0

m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

1. La notion de d´ eriv´ ee

Exemple 1.1 Tracer le plus pr´ecis´ement possible les tangentes `a la courbe aux points indiqu´es. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

x y

1

1 _(3,0)

(1.8,4.1) (1,−3) (−1.1,2.1) (−2,0)

m= 7.5

m= 0 m=−2.5

m= 0

m= 5

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞ +∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞ +∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente: Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente: Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte”

(m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

On peut sch´ematiser la fonction pr´ec´edente comme suit x

m

f(x)

−∞ −1.1 1.8 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

2.1 2.1

−4.1

−4.1

+∞

+∞

D´efinition 1.1 La d´eriv´ee d’une fonctionen un point correspond `a lapente de la tangente`a la fonction en ce point.

La d´eriv´ee nous sera utile pour

1. Tangente: Calculer l’´equation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte”

(m >0) ou ”descend” (m <0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m= 0)

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2

= 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1)

1 1

m= 1 1

= 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5

= 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2

= 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1)

1 1

m= 1 1

= 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5

= 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2

= 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1)

1 1

m= 1 1

= 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5

= 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1)

1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5 On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5 On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5 On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0.

On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

2. Calcul de la d´ eriv´ ee

Exemple 2.1 Calculer les pentes des droites suivantes :

x y

1 1 (0,0)

(2,4)

4 2

m= 4 2 = 2

x y

1 1 (0,0)

(1,1) 1 1

m= 1 1 = 1

x y

1 1 (0,0)

(0.5,0.25)

m= 0.25 0.5 = 0.5 On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m= 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

. Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

. Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

. Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a)

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

. Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

. Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm=

f(x)−f(a) x−a

.

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a) x−a .

Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

Exemple 2.2 Calculer la pente de la droite passant par les deux points donn´es.

x y

a x

f(a) f(x)

(a;f(a))

(x;f(x))

f(x)−f(a) x−a

La pente de la droite vautm= f(x)−f(a)

x−a . Plusx s’approche dea, plus la pente de la droite est proche de la tangente.

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a)

= lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) =

x→2lim x²−4

x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) =

x→2lim x²−4

x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) =

x→2lim x²−4

x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) =

x→2lim x²−4

x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2

= ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0”

=_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2)

= 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4

2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) =

x→3lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3

= ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0 0”

=_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3

= 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6

3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) =

x→Alim

x²−A² x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) = _x→A^lim x²−A²

x−A

= ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) = _x→A^lim x²−A²

x−A = ”0 0”

=_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) = _x→A^lim x²−A²

x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) = _x→A^lim x²−A²

x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A

= 2A

D´efinition 2.1 La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) en un point a, not´ee f⁰(a), est d´efinie comme la limite suivante :

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

Par extension, on d´efinit la d´eriv´ee d’une fonctioncomme sa d´eriv´ee en chaque point et on la note f⁰(x).

Exemple 2.3 Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf(x) =x² aux points donn´es.

1. a= 2⇒f⁰(2) = _x→2^lim x²−4 x−2 = ”0

0” =_x→2^lim (x−2)(x+ 2) x−2

= _x→2^lim (x+ 2) = 4 2. a= 3⇒f⁰(3) = _x→3^lim x²−9

x−3 = ”0

0” =_x→3^lim (x−3)(x+ 3) x−3

= _x→3^lim x+ 3 = 6 3. a=A⇒f⁰(A) = _x→A^lim x²−A²

x−A = ”0

0” =_x→A^lim (x−A)(x+A) x−A

= _x→A^lim A+A= 2A

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5

f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5) x−5

=_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25

x−5 =_x→5^lim 4x−20

x−5 =_x→5^lim 4(x−5) x−5 = 4

2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5 f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5)

x−5

=_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25

x−5 =_x→5^lim 4x−20

x−5 =_x→5^lim 4(x−5) x−5 = 4 2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5 f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5)

x−5 =_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25

x−5 =_x→5^lim 4x−20

x−5 =_x→5^lim 4(x−5) x−5 = 4 2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5 f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5)

x−5 =_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25 x−5

=_x→5^lim 4x−20

x−5 =_x→5^lim 4(x−5) x−5 = 4 2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5 f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5)

x−5 =_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25

x−5 =_x→5^lim 4x−20 x−5

=_x→5^lim 4(x−5) x−5 = 4 2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6

Exercice 2.1 Calculer la d´eriv´ees des fonctions suivantes aux points donn´es.

1. f(x) = 4x+ 5ena= 5 f⁰(5) = _x→5^lim = f(x)−f(5)

x−5 =_x→5^lim (4x+ 5)−(4·5 + 5) x−5

= _x→5^lim 4x+ 5−25

x−5 =_x→5^lim 4x−20

x−5 =_x→5^lim 4(x−5) x−5

= 4

2. f(x) = 2x³ ena=−1

f⁰(−1) = _x→−1^lim = f(x)−f(−1) x−(−1)

=_x→−1^lim 2x³−2(−1)³ x+ 1

= _x→−1^lim 2x³+ 2

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x³+ 1) x+ 1

= _x→−1^lim 2(x+ 1)(x²−x+ 1)

x+ 1 =_x→−1^lim 2(x²−x+ 1)

= _x→−1^lim 2((−1)²−(−1) + 1) =_x→−1^lim 2·3 = 6