Master Maths et Enseignement 2019-2020 Analyse 1
Rattrapage du jeudi 18 juin (dur´ ee : 1h30)
Exercice 1 On consid`ere la suite (u
n)
n∈N∗d´efinie par u
n=
n
X
p=1
√ 1 p − 2 √ n.
1. Justifier la convergence de la s´erie X
n≥1
( − 1)
n√ n . On note S sa somme.
2. (a) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, u
n=
n
X
p=1
1
√ p + 2 p
p − 1 − 2 √ p
(b) Montrer que lorsque p tend vers + ∞ on a 1
√ p + 2 p
p − 1 − 2 √ p ∼ − 1 4p
3/2. (c) En d´eduire que la suite (u
n)
n∈N∗converge vers un nombre que l’on notera α.
3. Montrer que pour tout entier N ≥ 1,
2N
X
n=1
( − 1)
n√ n = 2
N
X
p=1
√ 1 2p −
2N
X
n=1
√ 1 n
puis calculer
2N
X
n=1
( − 1)
n√ n en exprimant le r´esultat avec u
Net u
2N. 4. En d´eduire le calcul de S en fonction de α.
Exercice 2 Fonctions absolument monotones
Soient a et b tels que −∞ ≤ a < b ≤ + ∞ et f une fonction de ]a, b[ dans R de classe C
∞sur ]a, b[. On dit que f est absolument monotone (en abr´eg´e AM) sur ]a, b[ si pour tout n dans N et tout x dans ]a, b[ on a f
(n)(x) ≥ 0.
1. (a) Donner un exemple de fonction AM sur R autre que la fonction nulle.
(b) Soient f et g deux fonctions AM d´efinies sur ]a, b[. Montrer que f + g et f g sont AM sur ]a, b[.
2. Soit f une fonction AM sur ]a, b[ avec a < 0 < b. Pour tout x dans ]a, b[ et tout n dans N on rappelle que
f (x) =
n
X
k=0
f
(k)(0) k! x
k+
Z
x0
(x − t)
nn! f
(n+1)(t) dt
En d´eduire que, pour tout x fix´e dans [0, b[, la s´erie num´erique X f
(k)(0)
k! x
kcon- verge, et que l’on a
+∞
X
k=0
