TS Chapitre 6 : L’équation différentielle y′ =ay+b 2011-2012
I Généralités
• a, b ∈R. L ’équation différentielley′ =ay+b sur in intervalle I est l’écriture simplifiée de f′(x) =af(x) +b pour toutxdeI. (sans précision,I=R)
• La conséquence est que dans une équation différentielle, l’inconnue est une fonction. La fonction exponentielle vérifie une équation différentielle. Quelle est-elle ?
• Résoudre une équation différentielle, c’est ...
Exemple 1 La fonction définie surRparf:x7−→e1−x est solution d’une équation différentielle. Laquelle ?
• Point de vocabulaire :
• l’équationy′ =ay+b est dite du premier ordre, linéaire, à coefficients constants. (notée (E))
• l’équationy′ =ay est l’équation sans second membre associée. (notée (E0))
II Solutions de l’équation y
′= ay (a ∈ R )
Théorème 1 : Les fonctions solutions de l’équation différentielle y′=ay (aréel donné) sont les fonctions :
f
A(x) = Ae
ax oùAest une constante arbitraire.(ce qui signifie qu’il y a autant de solutions que de valeurs deA.)
Démonstration :
• x7−→Aeax
• Si f est une solution, on pose :
EXERCICE 1 Résoudre l’équation différentielle 2y′+ 3y= 0
III Solutions de l’équation y
′= ay + b, (a, b réels donnés. a 6= 0)
Théorème 2 : Les fonctions solutions de l’équation différentielle y′=ay+b(E) sont les fonctions :
f
A( x ) = A e
ax− b
a
oùAest une constante arbitraire.(ce qui signifie qu’il y a autant de solutions que de valeurs deA.)
Démonstration :
• g:x7−→ −b a
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TS Chapitre 6 : L’équation différentielle y′ =ay+b 2011-2012
• f est une solution de (E) ⇔
EXERCICE 2 : Résoudre l’équation différentielle y′=−0.5y+ 1. Dans le repère ci-dessous, représenterf0,f1,f2, f−1 et f−2.
0 ~i
~j
Théorème 3 : Parmi l’infinité de solutions de (E), il existe une unique solution vérifiant la condition initale : fA(x0) =y0 (x0 ety0 étant donnés)
(cela revient à déterminer la valeur de la constanteA)
EXERCICE 3 : A partir de l’équation de l’exercice 2, déterminer la solution vérifiantfA(0) = 4.
IV Applications concrètes
Sciences Physiques Écriture Maths Forme E.D∗ Solutions
Décharge d’un condensateur duC
dt =−uC
RC u′C(t) =− 1
RCuC(t) y′=ay ...
Charge d’un condensateur duC
dt = E RC − uC
RC u′C(t) =− 1
RCuC(t) + E
RC y′=ay+b ...
Disparition du courant di
dt =−Ri
L ...
dans un circuit RL
Établissement du courant di dt= E
L −Ri
L ...
dans un circuit RL
Décroissance radioactive dN
dt =−λN ...
Chute verticale dvy
dt =−g ...
(action de l’air négligée)
Chute verticale dvy
dt =−g− λ
mvy ...
(faibles vitesses)
∗ E.D−→Équation Différentielle
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