La REFLEXION et la REFRACTION de la lumi`ere

La REFLEXION et la REFRACTION de la lumi `ere

Comment la lumi `ere se propage-t-elle pour que nous puissions voir toute l’ ´etendue des ph ´enom `enes que nous voyons ?

Nous pouvons voir un objet selon l’une des deux mani `eres suivantes :

1) l’objet peut ˆetre une source lumineuse, telle qu’une ampoule, une flamme ou une ´etoile, et dans ce cas nous voyons la lumi `ere directement ´emise par la source

2) plus habituellement nous voyons un objet par la lumi `ere qu’il r ´efl ´echit. Dans ce cas, la lumi `ere peut provenir du Soleil, d’appareils lumineux ou d’autres sources

On a compris seulement durant les ann ´ees 1920 la fac¸on dont les corps

´emettent de la lumi `ere. Mais on a compris beaucoup plus t ˆot comment la lumi `ere se r ´efl ´echit sur les objets.

Le mod `ele particulaire de la lumi `ere

Comment la lumi `ere se propage-t-elle ? Il existe de nombreuses preuves que la lumi `ere voyage en ligne droite dans de nombreuses circonstances. Ainsi, une source lumineuse ponctuelle, comme le Soleil, projette des ombres aux contours tr `es nets. Nous d ´eduisons la position des diff ´erents objets dans notre environnement en supposant que la lumi `ere qui provient de l’objet atteint notre œil en suivant une ligne droite.

Cette hypoth `ese raisonnable a conduit au mod `ele particulaire de la lumi `ere.

Les parcours rectilignes que la lumi `ere suit s’appellent des rayons.

Nous avons vu que la lumi `ere est une onde ´electromagn ´etique. Quoique la repr ´esentation de la lumi `ere par des rayons de particules ne tienne pas compte de cet aspect, elle a tout de m ˆeme permis de rendre compte de plusieurs aspects de la lumi `ere : la r ´eflexion, la r ´efraction, la formation d’images par des miroirs et des lentilles.

Comme ces descriptions supposent des rayons lumineux rectilignes suivant diff ´erents angles, on appelle cette mati `ere l’optique g ´eom ´etrique.

La vitesse de la lumi `ere

Galil ´ee tenta de mesurer la vitesse de la lumi `ere en essayant de mesurer le temps n ´ecessaire `a la lumi `ere pour parcourir une distance connue entre 2 sommets de colline : il put seulement conclure que la vitesse de la lumi `ere devait ˆetre tr `es grande.

L’astronome danois O. Roemer en 1676 fut le premier `a d ´emontrer que la vitesse ´etait fi- nie ; il avait remarqu ´e que la p ´eriode de l’une des lunes de Jupiter variait l ´eg `erement et que cette variation d ´ependait du mouvement rela- tif de la Terre et de Jupiter. Il attribua cette diff ´erence au fait que le temps n ´ecessaire `a la lumi `ere pour parcourir la distance Terre-Jupiter augmentait ou diminuait selon que la Terre s’ ´eloignait ou se rapprochait de Jupiter.

La vitesse de la lumi `ere

L’une des plus importantes exp ´eriences fut r ´ealis ´ee par A.A.Michelson entre 1880 et 1920.

Lorsque le miroir rotatif tourne `a une vitesse appropri ´ee, le faisceau de lumi `ere est alors r ´efl ´echi par une des faces du miroir dans un petit t ´elescope. A une vitesse de rotation diff ´erente, le faisceau est d ´evi ´e d’un c ˆot ´e de sorte que l’exp ´erimentateur ne peut pas l’apercevoir. A partir de la bonne vitesse de rotation, Michelson put calculer la vitesse de la lumi `ere en installant son miroir sur le mont Wilson et le miroir stationnaire sur le mont Baldy `a une distance de 35 km. Par la suite il mesura aussi la vitesse de la lumi `ere dans le vide.

La valeur de c, dans le vide, est :

c = 2, 99792458 × 10⁸ m/s

On utilise d’ordinaire la valeur arrondie : 3, 00 × 10⁸m/s.

Indice de r ´efraction

Lorsque la lumi `ere rencontre la mati `ere, elle ne peut plus se propager `a la vitesse c ∼ 300.000km.s<sup>−1</sup> : elle est ralentie. L’indice de r ´efraction, n, mesure ce ralentissement : c’est le rapport de la vitesse de la lumi `ere dans le vide `a la vitesse de la lumi `ere, v, dans un milieu mat ´eriel, soit :

n = c v

Ainsi dans l’eau, la lumi `ere voyage `a ∼ ³₄c et dans l’air, sa vitesse est tr `es l ´eg `erement moindre que dans le vide.

Ce tableau donne les valeurs de l’indice de r ´efraction pour la lumi `ere jaune (λ = 589nm). Comme nous le verrons plus tard (page 23-19), n varie un peu avec la longueur d’onde de la lumi `ere –sauf dans le vide– c’est pourquoi on sp ´ecifie souvent λ.

Milieu Indice Milieu Indice

Vide exactement 1 Chlorure de sodium (sel) 1,54

Air (CNTP) 1,00029 Glace 1,31

Eau (20^◦) 1,333 Alcool 1,36

Quartz 1,4584 Benz `ene 1,501

Verre 1,52 Polystyr `ene 1,59

Diamant 2,417 Phosphure de Gallium 3,5

Les lois de la r ´eflexion

Quand la lumi `ere frappe la surface d’un objet, une partie est r ´efl ´echie. Le reste est absorb ´e par l’objet ou, si l’objet est transparent comme le verre ou l’eau, une partie est transmise au travers de l’objet. Dans le cas d’un objet tr `es brillant, comme un miroir argent ´e, la lumi `ere est r ´efl ´echie `a plus de 95%.

On d ´efinit l’angle d’incidence, θ_i, comme l’angle que fait le rayon incident avec la normale `a la surface ; de m ˆeme, on d ´efinit l’angle de r ´eflexion, θ_r, comme l’angle entre le rayon r ´efl ´echi et la normale au plan incident.

Tous les angles sont mesur ´es `a partir de la normale `a la surface.

θ_i = θ_r Loi de la r ´eflexion L’angle d’incidence est ´egal `a l’angle de r ´eflexion.

Les lois de la r ´eflexion

La lumi `ere qui rencontre une surface rugueuse, m ˆeme microscopiquement ru- gueuse comme la page d’un livre, est r ´efl ´echie dans toutes les directions. C’est une r ´eflexion diffuse. La loi de la r ´eflexion demeure cependant valide, dans un tel cas, pour chaque micro-parcelle de la surface. A cause de la r ´eflexion diffuse, dans toutes les directions, on peut voir un objet ordinaire de plusieurs angles.

Par contre, lorsqu’un faisceau ´etroit de lumi `ere se r ´efl ´echit sur un miroir, notre œil ne peut le voir que s’il se trouve exactement dans l’angle de r ´eflexion du faisceau.

R ´eflexion sur un miroir plan

Une personne se regarde dans un miroir : la lumi `ere d’un atome (S) de son visage tombe sur le miroir, se r ´efl ´echit de fac¸on que θ<sub>i</sub> = θ<sub>r</sub> et une partie de la lumi `ere r ´efl ´echie est rec¸ue par l’œil. L’œil voit la lumi `ere comme si elle venait en ligne droite de P, image de S derri `ere le miroir. Les rayons rec¸us par l’observateur divergent de chaque point image et pour cela, l’image est virtuelle ; elle semble ˆetre derri `ere le miroir et ne peut ˆetre projet ´ee sur un

´ecran.

L’angle ext ´erieur du triangle SAP est ´egal `a θ<sub>i</sub> + θ<sub>r</sub> et il est aussi ´egal `a la somme des angles int ´erieurs non adjacents de ce triangle, soit V SA^d + V P A. Comme^d V SA^d = θ_i = θ_r, on a alors V SA^d = V P A^d et les triangles V AS et V AP sont ´egaux et V S = V P.

L’image de l’objet se trouve derri `ere le miroir

`a la m ˆeme distance normale que l’objet : s_i = s_o

R ´eflexion sur un miroir plan

L’image d’une main gauche est une main droite de m ˆeme grandeur. Cette image peut ˆetre facilement trac ´ee en utilisant des rayons ´emis par elle et perpendiculaires au miroir (θ_i = θ_r = 0).

Ainsi la r ´eflexion sur un miroir (qui est une sym ´etrie par rapport au plan du miroir) transforme un syst `eme de r ´ef ´erence droit en un syst `eme de r ´ef ´erence gauche et vice versa.

On a une image non d ´eform ´ee, non renvers ´ee, de m ˆeme grandeur et situ ´ee derri `ere le miroir `a la m ˆeme distance que l’objet. On parle ici d’une image vir- tuelle pour la distinguer d’une image r ´eelle que la lumi `ere traverse vraiment et qui apparait sur un ´ecran mis `a la position de l’image. Nous verrons plus loin que les miroirs courbes et les lentilles peuvent former des images r ´eelles (chapitre 24).

R ´eflexion sur un miroir plan : exemple

Quel est le plus petit miroir vertical dans lequel vous pouvez voir l’image de tout votre corps et comment doit-il ˆetre plac ´e ?

SOLUTION : L’image virtuelle et l’objet sont

`a ´egale distance du miroir. Un rayon de l’or- teil se r ´efl ´echit en H vers l’œil de fac¸on que DHCd = BHC^d . Les triangles CHD et CHB sont ´egaux, alors GH = HI = ¹₂ BD.

Pour voir le sommet de la t ˆete, de m ˆeme on doit avoir EF = F G = ¹₂ AB. La longueur du miroir ad ´equat est donc :

F H = F G + GH = 1

2AB + 1

2BD = 1

2AD

Il suffit d’avoir un miroir de hauteur ´egale `a la moiti ´e de sa taille avec son bord sup ´erieur `a mi-hauteur entre l’œil et le sommet de la t ˆete.

Ce r ´esultat d ´epend-il de la distance de la personne au miroir ?

Loi de la r ´efraction : Loi de Snell-Descartes

Quand la lumi `ere passe d’un milieu `a un autre, une partie de la lumi `ere inci- dente est r ´efl ´echie `a la fronti `ere. Le reste passe dans le nouveau milieu. Un rayon lumineux qui rencontre la fronti `ere `a un certain angle (autre que per- pendiculaire) est d ´efl ´echi en entrant dans le nouveau milieu. Cette d ´eflexion s’appelle r ´efraction.

Les rayons incident, r ´efl ´echi et r ´efract ´e sont dans le plan d’inci- dence.

On mesure les angles d’incidence, θ_i, et de r ´efraction, θ_t, par rapport `a la normale `a la surface.

n_i et n_t sont les indices de r ´efraction dans les milieux mat ´eriels respectifs.

Exp ´erimentalement, Descartes et Snell trouv `erent ind ´ependamment la relation entre θ_i et θ_t en 1621, soit

n_i sin θ_i = n_t sinθ_t Loi de la r ´efraction

Loi de la r ´efraction : Loi de Snell-Descartes

n_i sin θ_i = n_t sinθ_t Loi de la r ´efraction

Le trajet de la lumi `ere est r ´eversible ; la lumi `ere suit le m ˆeme trajet en allant dans un sens ou dans l’autre ; le sens des fl `eches indique le sens de propa- gation de la lumi `ere.

(a) Quand un faisceau de lumi `ere passe d’un mi- lieu `a un autre milieu plus r ´efringent, c’est- `a-dire d’in- dice de r ´efraction plus grand (n_i < n_t), il d ´evie en s’appro- chant de la normale.

(b) Quand un faisceau passe d’un milieu `a un autre milieu moins r ´efringent (n_i > n_t), il d ´evie en s’ ´eloignant de la normale.

Loi de la r ´efraction : Loi de Snell-Descartes

La r ´efraction est cause de nombreuses illusions d’optique courantes.

Quand la lumi `ere ´emerge de l’eau dans l’air (n_eau > n_air), les rayons s’ ´eloignent de la normale. L’œil ou le cerveau suppose que les rayons ont suivi une ligne droite. Ainsi tout ce qui est dans l’eau paraˆıt plus proche de la surface qu’il ne l’est r ´eellement, ce qui rend la p ˆeche au lancer plus difficile qu’il n’y parait.

Un poisson nageant `a une profondeur r ´eelle d<sub>R</sub> est vu par un observateur `a une profondeur apparente plus faible d_A. Comme les angles θ_i et θ_t sont petits, on peut faire les approxi- mations suivantes

sin θ_i ∼ tan θ_i = x

d_R et sin θ_t ∼ tan θ_t = x d_A D’apr `es la loi de Descartes

n_i x

d_R = n_t x

d_A et n_i

n_t = d_R d_A

Un crayon partiellement immerg ´e semble ˆetre cass ´e car la partie immerg ´ee semble ˆetre plus haute que le prolongement de la partie qui est dans l’air.

Loi de Snell-Descartes : exemple

Soit un pinceau de lumi `ere incident sur une plaque de verre (n<sub>g</sub> = 1, 5) sous un angle d’incidence de 60<sup>◦</sup>. (a) A quel angle est-il transmis dans la lame ? (b) Montrer que le pinceau ´emerge de la seconde face parall `element `a sa direction initiale (on suppose que la lame est dans l’air, n_a = 1).

SOLUTION : (a) La loi de Snell-Descartes `a la 1ere interface : n_a sin θ_i1 = n_g sin θ_i2. Alors :

sin θ_i2 = (n_a/n_g) sin θ_i1 = (1, 0/1, 5) sin 60^◦ = 0,577 Donc : θ_i2 = 35, 3^◦.

(b) La loi de Snell-Descartes `a la 2eme interface : n_g sin θ_i2 = n_a sin θ. Alors :

sin θ = (n_g/n_a) sin θ_i2 = (1, 5/1, 0) sin 35,3^◦ = 0, 867

Donc θ = 60^◦, ce qui veut dire que la lumi `ere ´emerge parall `element `a sa direction initiale.

R ´eflexion totale

Quand la lumi `ere passe d’un milieu mat ´eriel `a un autre d’indice de r ´efraction plus petit (par exemple de l’eau `a l’air), la lumi `ere d ´evie dans la direc- tion oppos ´ee `a la normale. A un angle d’incidence particulier (angle cri- tique), l’angle de r ´efraction sera 90^◦ et le rayon r ´efract ´e rase la surface.

D’apr `es la loi de Snell-Descartes sinθ_c = n_t

n_i sin 90^o = n_t n_i

Pour les angles d’incidence sup ´erieurs `a θ<sub>c</sub>, toute la lumi `ere est r ´efl ´echie. On appelle ce ph ´enom `ene, la r ´eflexion totale interne.

R ´eflexion totale : exemple

Un faisceau de lumi `ere se propage dans un bloc de verre d’indice n<sub>i</sub> = 1, 56 et tombe sur l’interface verre-air. Quel est l’angle d’incidence minimum au-del `a duquel la totalit ´e de la lumi `ere est renvoy ´ee `a l’int ´erieur du verre ?

SOLUTION : sin θ_c = ⁿ_n^t

i = ^1,00_1,56 = 0, 641 et θ_c = 39, 9^◦.

Le fait que l’angle limite pour l’inter- face air-verre varie entre 36^◦ et 43^◦ (selon le type de verre) est utilis ´e dans les prismes r ´eflecteurs (prismes avec angles `a 45<sup>◦</sup>), tr `es commodes pour r ´eorienter un faisceau lumineux.

Ils sont employ ´es dans les jumelles, t ´elescopes etc....

Les fibres optiques

Les fibres optiques constituent l’application la plus importante de la r ´eflexion totale. On peut maintenant transmettre tr `es efficacement la lumi `ere et le proche infrarouge (1300 nm) le long de fibres minces d’un di ´electrique trans- parent. A cause du petit diam `etre de la fibre (50µm), la plupart de la lumi `ere entrant `a une extr ´emit ´e tombe sur la surface cylindrique lat ´erale sous un grand angle d’incidence ; elle subit alors une r ´eflexion totale et cela peut se r ´ep ´eter des centaines de fois par centim `etre.

Si la fibre est courb ´ee, θ_i, peut de- venir inf ´erieur `a l’angle limite θ<sub>c</sub> et une certaine quantit ´e de lumi `ere peut s’ ´echapper par la surface lat ´erale. De m ˆeme si, `a l’extr ´emit ´e de la fibre, un rayon entre sous un grand angle, il s’ ´echappe.

Il est fr ´equent aujourd’hui d’utiliser des fibres optiques pour observer des en- droits inaccessibles, comme l’int ´erieur d’un r ´eacteur nucl ´eaire, l’estomac et d’autres organes `a l’int ´erieur du corps.

R ´eflexion totale : exemple

D ´ecrivez ce que voit un poisson regardant le monde de dessous la surface parfaitement lisse d’un lac.

SOLUTION : Dans le cas d’une fronti `ere air-eau, l’angle critique est donn ´e par :

sin θ_c = n_t

n_i = 1,00

1,33 = 0, 75 Par cons ´equent, θ_c = 49^◦.

Le poisson voit donc le monde ext ´erieur comprim ´e dans un c ˆone dont le bord ferait un angle de 49^◦ avec la verticale. Au-del `a de cet angle, il voit les r ´eflexions des c ˆot ´es et du fond du lac.

Dispersion chromatique

L’indice de r ´efraction de n’importe quel milieu, except ´e le vide, d ´epend de la longueur d’onde de la lumi `ere. La variation de la vitesse de propagation avec la fr ´equence de la radiation est appel ´ee dispersion.

Ceci a pour cons ´equence que des longueurs d’onde diff ´erentes sont r ´efract ´ees `a des angles diff ´erents par une surface. Ainsi la lumi `ere blanche comme celle qui est produite par les ampoules `a incandescence est form ´ee d’un m ´elange de longueurs d’onde s’ ´etendant au moins sur tout le spectre visible. Ces com- posantes se s ´eparent lorsqu’elles franchissent une jonction air-verre sous une incidence non- nulle.

La composante bleue est plus d ´evi ´ee que la composante rouge : a) passant de l’air au verre, la composante bleue a le plus petit angle de r ´efraction, b) passant du verre `a l’air, la compo- sante bleue a le plus grand angle de r ´efraction.

Dispersion chromatique

Variation de l’indice de r ´efraction en fonction de la longueur d’onde.

Un faisceau de lumi `ere de petite longueur d’onde, pour lequel l’indice de r ´efraction est plus ´elev ´e, est davantage d ´evi ´e en entrant ou en sor- tant du quartz qu’un rayon de lumi `ere ayant une grande longueur d’onde, l’autre milieu

´etant l’air.

Pour amplifier la s ´eparation des cou- leurs, on utilise un prisme triangulaire : la dispersion `a la 1ere surface est am- plifi ´ee `a la 2eme. Le prisme transforme un rayon de lumi `ere blanche en un faisceau divergent dont l’impact sur un

´ecran produit une figure vivement co- lor ´ee.

Arc-en-Ciel

L’exemple le plus magnifique est l’arc-en-ciel.

Quand la lumi `ere du soleil est inter- cept ´ee par une goutte de pluie ayant un diam `etre de l’ordre du mm, une partie de la lumi `ere est r ´efract ´ee `a l’int ´erieur de la goutte, puis r ´efl ´echie sur la face int ´erieure de la goutte, puis

`a nouveau r ´efract ´ee `a la sortie de la goutte.

L’arc-en-ciel que l’on voit est produit par la lumi `ere r ´efract ´ee par des milliers de gouttes : le rouge provient de gouttes orient ´ees vers le haut du ciel, le bleu de gouttes plus basses. Toutes les gouttes qui vous envoient les diff ´erentes couleurs forment un angle ∼ 42<sup>◦</sup> par rapport `a une droite passant par vous et le Soleil. Votre arc-en-ciel est personnel car un autre observateur intercceptera la lumi `ere venant d’autres gouttes.