Corrig´es de la s´eances 18 Chapitres 27: Optique ondulatoire

Corrig´es de la s´eances 18 Chapitres 27: Optique ondulatoire

Questions pour r´efl´echir :

chap.27 Q4Une onde de lumi`ere naturelle tombe sur une vitre plate sous un angle de 45<sup>o</sup>. D´ecrivez l’´etat de polarisation du faisceau r ´efl´echi et du faisceau transmis. Comment cela changerait-il, si la lumi `ere tombait selon l’angle de polarisation ?

L’angle de polarisation θ_p pour la transmission de la lumi`ere depuis l’air dans le verre est donn´ee partanθ<sub>p</sub> = nverre/nair et on trouve θ<sub>p</sub> ≈ 56<sup>◦</sup>. L’onde in- cidente est donc d´ecompos´ee en une onde r´efl´echie et une onde transmise : la premi`ere partiellement polaris´ee perpendiculairement au plan d’incidence et la secondepartiellementpolaris´ee parall`element au plan d’incidence. Si la lumi`ere tombait selon l’angle de polarisationθp, la lumi`ere r´efl´echie serait alors totalement polaris´ee perpendiculairement au plan d’incidence tandis que la lumi`ere transmise serait partiellement polaris´ee dans le plan d’incidence.

chap.27 Q7Une couche antireflet sur une vitre a une ´epaisseur qui corres- pond `a un quart de longueur d’onde de la lumi `ere rouge dans le milieu dont est constitu´e la couche. On a choisi l’indice de r ´efraction de cette couche inf´erieur `a celui du verre. Quelle couleur est r ´efl´echie et quelle couleur est transmise lorsque de la lumi `ere blanche tombe perpendiculairement sur cette couche ?

Pour avoir l’effet antireflet, il faut que l’indice de r´efractionncde la couche antire- flet soit sup´erieur `a celui de l’air. On a doncnair< n_c< nverre. Les r´eflexions sur les deux interfaces sont alors externes et les d´ephasages de π de chacune d’elles se compensent. La diff´erence de chemin optique, exprim´e en nombre de longueurs d’ondem, entre les deux ondes r´efl´echies est alors simplement donn´ee en fonction

de l’´epaisseurede la couche par : m= 2e

λc

= 2enc

λ0

o`uλ0etλcsont respectivement les longueur d’onde de la lumi`ere incidente dans l’air et dans la couche.L’interf´erence des deux ondes r´efl´echies sera constructive simest un nombre entier. En ajoutant le fait quee = λ_r/4avec λ_r la longueur d’onde du rougedans la couche(la longueur d’onde du rouge dans l’air est donc donn´ee parλrair=ncλr), on trouve que

λ0 = ncλr

2m = λrair

2m ; m= 1,2, . . .

d’o`u on obtient queλ0 ≤λ_rair/2< λ_rair. L’intensit´e r´efl´echie est donc maximum dans l’infrarouge. Pour la transmission, l’une des ondes ne subit pas de r´eflexion alors que l’autre en subit deux : une interne et une externe. Ceci induit un d´ephasage suppl´ementaire deπ entre les deux ondes. La diff´erence de nombre de longueur d’onde est donc dans ce cas donn´ee par :

m= 2en_c λ0

−1 2 On en d´eduit que

λ0= n_cλ_r

2m+ 1 ; m= 0,1,2, . . .

L’ordrem = 0nous donne alorsλ0 = λ_rairet donc la lumi`ere visible est trans- mise.

Exercices :

Polarisation

chap.27 6.[I]Plusieurs substances telles que les solutions de sucre ou d’in- suline sont dites optiquement actives, c’est-a-dire qu’elles font tourner le plan de polarisation de la lumi `ere qui les traverse d’un angle proportionnel

`a la distance parcourue et `a la concentration de la solution. On place un r´ecipient de verre entre deux polariseurs lin ´eaires crois´es. On trouve que 50% de l’intensit´e de la lumi`ere naturelle incidente sur le premier polariseur est transmise par le deuxi`eme. De quel angle la solution a-t-elle fait tourner la polarisation de la lumi`ere filtr´ee par le premier ? Ce dispositif peut ˆetre utilis´e par exemple pour doser le sucre dans l’urine.

La lumi`ere naturelle ´etant non polaris´ee, le premier polariseur a pour effet d’ab- sorber la moiti´e de l’´energie. Apr`es le premier polariseur, il ne reste donc plus que 50% de l’intensit´e initiale, ce qui signifie que le second polariseur n’en absorbe pas davantage. Le plan de polarisation de la lumi`ere doit donc tourner pour s’aligner sur le second polariseur, ce qui signifie qu’il a tourn´e de90^◦.

chap.27 9.[I] La lumi`ere du ciel r´efl´echie sur la surface d’un bassin d’eau (n = 1,33) a une intensite nulle si elle est observ ´ee au travers d’un filtre polaro¨ıd. Sous quel angle la surface est-elle examin ´ee ?

La lumi`ere r´efl´echie est n´ecessairement polaris´ee lin´eairement, avec son champ

´electrique parall`ele `a la surface de l’eau. En effet, si l’onde n’´etait que partiel- lement polaris´ee, il serait impossible qu’un polariseur l’absorbe enti`erement. En cons´equence, l’angle d’incidence de la lumi`ere sur l’eau devait correspondre `a l’angle de Brewster, soit θp = arctan<sup>1</sup><sub>1</sub><sup>,</sup><sub>,</sub><sup>33</sup><sub>00</sub> = 53,1<sup>◦</sup>. L’angle sous lequel nous examinons la surface correspond `a l’angle de r´eflexion, qui est ´egal `a l’angle d’in- cidence de53,1^◦, en vertu de la loi de la r´eflexion.

Interf´erence

chap.27 25.[I] Une bulle de savon d’indice 1,35 paraˆıt jaune (λ= 580 nm) lorsqu’elle est observ´ee verticalement d’en haut. Quelles sont les valeurs possibles de son ´epaisseur ?

La r´eflexion `a l’interface air-eau savonneuse (l’interface ext´erieure de la bulle) est

externe alors que celle `a l’interface eau savonneuse-air (l’interface int´erieure de la bulle) est interne. Par cons´equent, la diff´erence de marche entre les deux ondes r´efl´echies ne se limite pas `a la diff´erence de distance due `a l’aller-retour dans la couche d’eau savonneuse d’´epaisseurd, mais doit aussi tenir compte de l’inversion de phase de l’onde `a l’interface int´erieure. La diff´erence de chemin optique est donc de2d+ ^λ₂. Comme la bulle paraˆıt jaune, on en d´eduit que l’interf´erence est constructive pour cette longueur d’onde, ce qui signifie que la diff´erence de marche correspond `a mλo`u λest la longueur d’onde du jaune mesur´ee dans la couche d’eau savonneuse. Les ´epaisseurs possibles de la bulle de savon sont donc celles qui satisfont l’´equation2d+ ^λ₂ =mλ, o`uλ= ₁⁵⁸⁰_,35 = 440nm. Pourm= 1, cette

´epaisseur estd = 107nm ; pourm = 2, elle est de 322nm ; etc. . . La possibilit´e m= 0a ´et´e ´ecart´ee, en effet, la diff´erence de marche ne peut ˆetre inf´erieure `aλ/2, la valeur due `a l’inversion caus´ee par les r´eflexions de types diff´erents.

chap.27 28.[II] Un film photographique est imprim ´e avec deux raies lumi- neuses parall`eles et horizontales. Une fois la pellicule d ´evelopp´ee, ces raies sont distantes de 0,50 mm du centre au centre. Chacune a une lon- gueur de 1,0 cm et une largeur de 0,10 mm. On les ´eclaire avec la lumi`ere du soleil et on observe l’interf ´erence sur un ´ecran situ´e `a 3 m. Toutes les franges sont alors color´ees sauf la frange centrale. La frange violette du premier ordre apparaˆıt `a une distance de 2,40 mm de l’axe. Quelle est sa longeur d’onde ?

Une frange de couleur correspond toujours `a une interf´erence constructive, ce qui signifie que la position de la frange violette d’ordre1correspond `a une diff´erence de marche de1λ. Or cette diff´erence de marche peut ˆetre exprim´ee comme

r2−r1=asinθ≈ay

o`u la distance des fentes est icia= 0,50mm,y = 2,d 40mm est la distance de la frange `a l’axe etd = 3m est la distance du film `a l’´ecran. On obtient donc pour le violet une longueur d’onde de400 nm. On peut remarquer que les fentes sont suffisament petites pour que le ph´enom`ene de diffraction ne g`ene pas l’exp´erience, le premier minimum d’intensit´e ´etant situ´e `a l’angle

θm⁰ = arcsin

λ

D

il se trouve `a une distancey≈dsinθm<sup>0</sup> =dλ/Dc’est-`a-dire `a 1,2 cm de l’axe.

chap.27 37.[III]On place une boˆıte rectangulaire en verre de longueur in- terne 10,0 cm dans l’un des bras d’un interf ´erom`etre de Michelson, ´eclair´e avec une lumi`ere de 600 nm. Si l’indice de r ´efraction de l’air est 1,00029 et que tout l’air est progressivement pomp ´e de la boˆıte, combien de paires de franges, brillantes et sombres, passent devant le r ´eticule du d´etecteur pendant le pompage?

FIG. 1 – Sch´ema de l’exp´erience de Young.

La lumi`ere a une longueur d’onde de 600 nm mesur´ee dans le vide. Dans l’air, cette longueur d’onde devient 1,00029<sup>600</sup> = 599,826 nm. Par cons´equent, lorsqu’elle contient de l’air, la longueur de la boˆıte (10,0 cm) correspond `a166715,0 lon- gueurs d’onde, alors que, une fois qu’on y a fait le vide, elle correspond `a166666,7 longueurs d’onde, soit48,33 longueurs d’onde de moins. Comme le rayon lumi- neux effectue un aller-retour au travers de cette boˆıte, la diff´erence de marche entre ce rayon et celui qui parcourt l’autre bras change de96,67λ. Pendant le pompage, on voit donc d´efiler96,67paires de franges devant le r´eticule du d´etecteur.

chap.27 38.[III]Consid´erez l’exp´erience de Young. Etablissez l’expression du d´eplacement vertical de la frange brillante de l’ordrem, si l’on place une lame mince `a faces parall`eles d’´epaisseureen verre d’indicendirectement devant l’une des fentes. Pr´ecisez vos hypoth`eses.

Si on suppose que la distance fentes-´ecrandest beaucoup plus grande que la dis- tance entre les fentes a, alors les angles du probl`eme sont de petits angles et on peut exprimer la diff´erence de chemin optique entre les deux ondes comme

r2−r1=asinθ≈ay d.

La frange brillante d’ordremapparaˆıt `a la position pour laquelle cette diff´erence de marche correspond `amλ, c’est-`a-dire ym = <sup>mλd</sup><sub>a</sub> . Quelle que soit la fente devant laquelle on place une lame de verre, cette derni`ere a pour effet de raccourcir la longueur d’onde par un facteurn. Comme les angles sont petits, la lumi`ere traverse cette lame de fac¸on quasi normale, ce qui permet de calculer combien de longueurs d’onde suppl´ementaires repr´esente le trajet dans la lame : l`a o`u il y avait e/λ, il y en a maintenant en/λ. Le trajet fente-´ecran augemente donc, pour le rayon qui traverse la lame, de (n−1)<sub>λ</sub><sup>e</sup> longueurs d’onde, ce qui est ´equivalent `a un changement de diff´erence de marche de(n−1)em`etres. On peut donc exprimer la nouvelle diff´erence de marche commea<sup>y</sup><sub>d</sub> + (n−1)e. La frange brillante d’ordre mapparaˆıt toujours `a la position pour laquelle cette diff´erence de marche vautmλ, ce qui se produit maintenant `a la positiony⁰_m= _a^d[mλ+ (n−1)e]. Le changement de position est donc∆y =y_m⁰ −ym = ^d_a(n−1)e. Selon qu’on a mis la lame de verre devant l’une fente ou l’autre, on observera un∆ypositif ou n´egatif.

Diffraction

chap.27 49.[I]Un r´eseau de diffraction produit un maximum de second ordre en lumi`ere jaune (λ = 550 nm) `a 25^o. D´eterminez la distance entre les lignes.

Les maximums principaux du r´eseau sont situ´es aux positions qui respectent l’´equation asinθ=mλ. Celui d’ordrem= 2 ´etant situ´e `a25^◦, on obtienta= 2,6µm.

chap.27 51, 52 et 53.[I] Le t´el´escope du mont Palomar a pour objectif un miroir de 508 cm de diam`etre. D´eterminez sa limite angulaire de r ´esolution pour une longueur d’onde de 550 nm. Quelle est la distance minimale entre deux points visibles `a la surface de la Lune pour qu’ils puissent ˆetre distingu´es (distance Terre-Lune = 3,844 ×10⁸ m) ? Et pour l’oeil dont le diam`etre de la pupille est de 4,00 mm ?

La limite angulaire de r´esolution est donn´ee parθa≈1,220_D^λ o`uDest le diam`etre du t´el´escope. On a donc deθ_a ≈1,321×10⁻⁷ rad, ce qui correspond `a0,02724 secondes d’arc. Pour que deux objets sur la surface de la Lune puissent ˆetre dis- tingu´es grˆace au t´el´escope, il faut que leur distance angulaire soit sup´erieur `a la limite de r´esolution θa. Sachant la distanced de la Lune, les objets devront donc ˆetre s´epar´es par une distanceLtelle que L/d > θ_a, ce qui impose Lmin = 50,8 m. Pour l’oeil, le diam`etreDp de la pupille ´etant de4mm, la limite de r´esolution, donn´ee parθ_aoeil ≈1,220_D^λ

p, est0,1678mrad. La conditionL/d > θ_aoeilimpose donc une distance minimaleLmin = 64,5km.

chap.27 60.[II] On ´eclaire en lumi`ere solaire un r´eseau de diffraction par transmission de 5000 lignes/cm. Le spectre du troisi `eme ordre recouvre-t-il le spectre du deuxi`eme ordre ? On prendra le rouge `a 780 nm et le violet `a 390 nm.

Les maximums principaux du r´eseau sont situ´es aux positions qui respectent l’´equation asinθ=mλ. Les positions angulaires des pics rouge et violet d’ordre 2, obtenues par substitution directe dans l’´equation, sont repectivement 51,3^◦ et 22,9^◦. Le spectre du deuxi`eme ordre est donc compris dans l’intervalle angulaire[22,9^◦; 51,3^◦].

La position angulaire du pic violet d’ordre 3 est35,80^◦. Par cons´equent, le spectre d’ordre deux chevauche celui d’ordre trois (situ´e `a des positions sup´erieures `a 35,80^◦).