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Exercices : Compléments sur les series numériques

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Academic year: 2022

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(1)

Exercices : Compléments sur les series numériques

Exercice 1

Soit (u

n

) ∈ R

N

. Pour tout n ∈ N , on pose

w

n

= 1 2

n

n

X

k=0

2

k

u

k

1) On suppose dans cette question la série X u

n

absolument convergente.

Montrer que la série X w

n

converge et exprimer sa somme en fonction de celle de X u

n

. 2) On suppose dans cette question que la suite (u

n

) tend vers 0. Déterminer la limite de (w

n

) 3) On suppose dans cette dernière question la série X u

n

convergente.

Montrer la convergence de X w

n

et déterminer sa somme en fonction de celle de X u

n

.

Exercice 2

Déterminer la nature des séries de terme général :

1) u

n

= x

n

n! , où x ∈ R , 2) u

n

= sin n

n

2

3) u

n

= (3n)!

α

3n

(n!)

3

, où α > 0.

1

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