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Submitted on 1 Jan 1889
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Recherches sur l’élasticité des solides [suite]
E.-H. Amagat
To cite this version:
E.-H. Amagat. Recherches sur l’élasticité des solides [suite]. J. Phys. Theor. Appl., 1889, 8 (1),
pp.359-368. �10.1051/jphystap:018890080035901�. �jpa-00238983�
L’accord entre ]a théorie et l’expérience est si évident, qu’il ne
Jaisse aucun doute sur la justesse de l’hypothèse que nous avons formée au début de ce Chapitre. La vitesse 3 est bien une con-
stante, et il en est de même du module ~.
--- --
RECHERCHES SUR L’ÉLASTICITÉ DES SOLIDES
[SUITE] (1);
PAR M. E.-H. AMAGAT.
4. Détej~j~2ir2atzo~ directe des coefficients de conzpressibilité
et secor2de vérification des forrnules ~~’Cl2L!’CGles de l’élasticité.
-
Il m’importait, pour corriger les résultats apparents de mes recherches sur la compressibilité des fluide, de savoir si, sous
de très fortes pressions, le coefficient de compressibilité du verre
varie d’une façon notable. La méthode que j’ai précédemnent dé-
crite n’était plus applicable dans ces conditions; celle à laquelle je n1e suis arrêté est très simple en principe, mais sa réalisation dans le cas des pressions extrêmement fortes présente des’difu-
cultés qui m’ont arrêté pendant longtemps. Pendant ces tentatives,
j’ai appris qu’en Angleterre lVIIfi. Buchanan et Tait avaient ap-
pliqué la même idée dans le cas des pressions modérées auxquelles
peuvent résister des cylindres de verre comprimés par l’intérieur.
Voici en quoi consiste la méthode : (1) Voir p. 199 de ce volume.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018890080035901
Un tube de la substance à étudier est comprimé de toutes parts par l’intern1édiaire d’un liquide dans lequel il est plongé, il se rac- courcit ; on mesure ce raccourcissement, en le multipliant par 3;
on a la diminution de volume et, par suite, le coefficient de coni-
pressibilité cubique.
Dans les expériences de ~1. Buchanan et de 1B1. Tait, les tubes
de verre étaient comprimés dans un cylindre métallique prolongé
par des cylindres de verre à travers lesquels on estimait directe- ment le raccourcissement au moyen de deux microscopes fixes.
Pour des pressions très fortes, les cylindres de verre ne résistant plus, j’ai du chercher une disposition expérimentale totalement t
différente.
La figure ci-contre (,fi 3) montre une coupe par Lzzz plan ver-
tical de l’appareil que ~j’ai construi t pour ces recherches.
Le tube à étudier TT a exactement un mètre de longueur (la figure est au cinquième d’exécution en restituant la partie coupée) ;
il est placé dans l’axe d’un cylindre d’aci.er LL, il est maintenu
d’un côté buté contre le boulon NN au moyen d’un ressort qui, en
même temps, applique contre l’autre extrémité un plan d’acier
rodé A. En regard de A débouche, porté par le boulon CC, un petit piston d’acier DD rendu étanche au moyen d’une chambre à inélasse (comme le piston de mon manomètre à pistons libres) : ce piston est entraîné au moyen de deux butoirs qu’il porte par une vis à pas fin à laquelle le boulon sert d’écran et qui est mue par
un cadran divisé et molleté FF; cette vils laisse passer dans son
axe évidé le prolongement libre du petit piston dont la section D’
vient déboucher en regard de la pointe d’une vis micrométrique.
Cette vis, son cadran divisé GG et son index ne sont autre chose que le dispositif ordinaire d’un sphéromètre dont on a enlevé les pieds et qu’on a rendu solidaire d’un cylindre plein d’acier PP au
moyen d’une pièce V. L’autre extrémité de ce cylindre d’acier
porte un microscope S, qu’on a dessiné à part et qu’il faut supposer vissé sur l’orifice de la pièce. Ce microscope vise un micromètre
transparent M divisé en cenLiè1>1e de millimètre, porté par une
tige 0 vissée au fond du boulon évidé l~i~T qu’elle traverse libre-
ment .
La pression arrive par la pièce latérale li qu’il faut, de même
que celle d’en race Il, supposer dans un plan horizontal. La pièce H
laisse passer, en l’isolant, un fil conducteur amenan t le courant d’une pile jusdla’au plan d’acier A. Le courant traverse un galvano-
mètre et revient au piston DD par la masse de l’appareil. Le circuit
est fermé quand la pointe terminant le piston touche le plan
~’aciex~. (Le ressort est séparé en deux tronçons par un corps iso-
lant.)
-
Fig. 3.
Quand on produit la pression, le tube TT se raccourcit : on suit le déplacement du plan A, en rétablissant la fermeture du courant ;
ce cléplacement est mesure au tambour CC de la vis micrométrique
’ qui suit le déplacement de 1’eltrémité D’ du piston prolongé, an
moyen d’un second circuit électrique que la pointe de cette vis
ferme sur la section D~. En même temps on suit sur le micromètre 1~1 le déplacement de Fautre extrémité du tube qui est toujours
extrêmement petit. Il résulte évidemment de la solidarité du iiii- croscope et de la vis micrométrique (fixés au même cylindre plein E’P’) que la différence des déplacements observés est précisément
le raccourcissement du tube TT. Le cylindre LL est, du reste,
placé dans une cuve pleine d’ea~l, indiquée en traits ponctués, permettant d’obtenir une température bien constante; le c~~- lindre PP’ est protégé contre les variations de température au
moyen d’une enveloppe de caoutchouc.
La partie comprimée DD clu piston donne lieu ii une légère cor-
rection qu’on petit toujours faire avec une exactitude suffisante.
Les expériences ont été poussées régulièrement jusque 9-000a
Le Tableau qui suit donne la moyenne des résultats obtenus avec
Je cristal et trois séries sur le verre faites dans de bonnes condi- tions, afn de montrer le degré de concordance auquel on peut ar- river : ces derniers résultats sont eux-mêmes les moyennes d’ol~ser- vations faites d’abord en comprilnant, puis en décomprilnant pour revenir à la pression normale. La température moyenne a été voi- sine de 12°.
On voit que la diminution du coefficient de compressibilité est
à peine sensible; elle ne se montre nettement que dans les moyennes; elle est à peu près de l’ordre de grandeur des erreurs
dont on ne peut guère répondre; cependant; elle existe vraisembla-
bleinent : je l’ai retrouvée plus ou moins régl1Lièrenlent dans toutes
les moyennes de séries.
Les tubes de verre et de eris~al qui ont servi à ces expériences;
sont précisénent ceux qui ont servi aux recherches décrites plus
haut, et qui avaient donné pour coefficients de compressibilité :
Si l’on tient compte de la différence complète des deux méthodes
et de la difficulté de ces recherches, on trouvera l’accord aussi sa-
tisfaisant qu’il était permis de l’espérer.
L’accord entre ces résultats obtenus sans faire usage d’aucune formule et ceux qui ont été calculés au moyen des formules géné-
rales de l’élasticité peut être considéré comme une nouvelle et plus
complète vérification de l’exactitude de ces mêmes formules.
3. Élasticité des jjz~~tc«c.~. -- Pour les Inétaux travaillés en cv- lindres réguliers, la mesure de rallongement peut être faite avec
une précision suffisante pour suivre avec succès la méthode de
~-’V~ertl~eim; le point le plus difficile est la mesure de cet allonge-
ment.
J’ai également opéré en suivant la méthode indiquée au no 2;
on verra plus loin le Tableau comparatif des résultats ainsi ob-
tenus.
Les expériences de traction ont été faites avec l’appareil déjà
décrit (ftg. 2); pour les fortes charges qui ont atteint 7 00 k9 avec
le tube d’acier on avait reluplacé les rondelles de plomb par une romaine soigneusement vérifiée dont l’anneau de charge était en- gagé dans un crochet vissé dans un trou clu’on voit au centre du
socle.
Laftg. l~ montre le détail des pièces destinées aux mesnres d’al- longement : BB et 13’13’ sont les anneaux intérieurs des suspensions
à la Cardan, ils sont soudés sur le pourtour des cylindres au ni-
veau des fonds formant les bases planes, de telle sorte clue ces fonds ne subissent aucune traction; cette disposition permet de faire toutes les soudures à l’étain, ce qui est un avantage notable,
particulièrement au point de vue de la conservation de la forme et
de l’homogénéité des cylindres.
Deux tringles d’acier symétriquement placées LL sont rendues
solidaires de la partie inférieure du cylindre au moyen d’un col- lier C~C~ évidé intérieurement en biseau, de manière à rétrécir au- tant que possible la largeur du cercle de serrage ; à la partie supé- rieure, un collier semblable CC porte les écrous ~;; E de deux vis micrométriques V, V munies de tambours divisés T, T et d’in-
dex I, I. En faisant mouvoir ces vis au moyen des têtes molletées M, M, on amène leurs pointes à toucher les sections droites des extré- mités des tringles guidées librement par des pièces d’ivoire D, D
solidaires des écrous E, E. On ferme par ce contact le circuit d’une pile muni d’un galvanomètre, absolument comme dans l’ap- pareil décrit au numéro précédent. Quand le cylindre s’allonge
sous l’eiort de la traction, le circuit est rompu; on mesure l’allon- gement par la rotation des vis nécessaire pour rétablir le contact.
L’exactitude des mesures dépend de la régularité de l’allongement
et du déplacement des colliers, qui doit se faire bien parallèlement
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à l’axe du cylindre; la plus petite déviation du plan des colliers fait varier en sens contraire la valeur des mesures fournies par les
vis placées dans des azimuts opposés; on prend la moyenne des deux mesures qui ne dînèrent jamais que de très peu, quand tout
fonctionne bien.
Fig. i.
La mesure de la variation de volume intérieur se fait, comme d’habitude, au moyen du tube gradué et calibré qui termine l’ap- pareil.
On a alors, pour déter miner les valeurs de x et de pv, ,les deux
relations
’
et t
On a ensuite déterminé la variation de voluine intérieur des mêmes cylindres comprimés par l’extérieur, et l’on a eu les don-
nées nécessaires pour appliquer la première méthode au moyen des relations (i) et (2~ du n, 2.
La relation (i), qui est commune aux deux méthodes, fournit en
bloc, ainsi que je l’ai déjà fait remarquer, la valeur (l (T 2 y.) dui, multipliée par 3, donne le coefficient de compressibilité cu- bique ; c’est pour cela que, dans le Tableau comparatif des ré- sultats, ce côeflicient n’est inscrit qu une fois.
Tous les cylindres métalliques, sauf celui de plomb, ont été percés et travaillés au tour de manière à obtenir des cylindres aussi parfaits que possible; les barreaux d’acier, de cuivre et de laiton,
dans lesquels ils ont été faits, avaient été préparés et recuits spé-
cialement dans ce but. Pour le plomb, le travail du tour ne pou-
vant être exécuté, j’ai dû me contenter d’un tuyau aussi régulier
que possible, qu’on a redressé avec soin au inon en d’un mandrin d’acier.
La concordance entre les résultats obtenus par les deux mé- tliodes esi satisfaisante si l’on tient compte des nombreuses diffi- cultés de ce genre de recherches et, en particulier avec les métaux
ruons, de la difficulté d’éviter les déformations permanentes, qui, forçant de restreindre la limite des déformations temporaires, di-
minue d’autant la sensibilité des méthodes. La plus grande diffé-
rence porte précisément sur le coefficient d’élasticité du plomb,
mais elle peut être attribuée en grande partie à ce que le tube de
plomb était moins régulièrement cylindrique.
Somme toute, raccord entre les résultats fournis par les deux méthodes peut encore être considéré comme une vérification des formules.
61 Exanlen des valeurs dit coe~e~er2t de Poisson. 11 se-
rait trop long d’examiner et même d’énumérer ici les nombreuses recherches analytiques et expérimentales auxquelles cette ques- tion a donné lieu ; je rappellerai seulement du’il s’agit de savoir
si la valeur de u. est la même pour tous les solides isotropes, ou si, dans ce cas, elle est égale à o,~5 ou à o,33. Diaprés de Saint- Venant, on doit avoir uL==o~5 pour tout vrai solide isotrope;
c’est le résultat auquel est arrivé NI. Cornu en appliquant à la glace
de Saint-Gobain une méthode optique très délicate ; M. Cantone
a trouvé récemment, avec quatre tubes .de verre, les nombres
Sa méthode consiste à combiner une expérience par pression exté- rieure, avec une expérience par pression extérieure, dans laquelle
il mesure l’allongement du tube par la méthode de 1B1. Fizeau.
Enfin la moyenne de mes expériences est o,2~W 1 pour le verre et
0,2499 pour le cristal.
A la suite d’expériences devenues classiques, Wertheim avait
conclu quoi doit avoir v = 0,33 pour le verre, les métaux et même le caoutchouc.
Mon intention n’est pas d’examiner ici les causes d’erreur déjà signalées, du reste, qui ont pu fausser les résultats de Wertheim,
mais je n’hésite pas à considérer sa conclusion comme absolument
inacceptable. Pour le caoutchouc, ainsi que je l’ai déjà montré,
le seul fait qu’une sphère de cette matière comprimée par l’inté- rieur et l’extérieur ne subit qu’une déformation inférieure de l’ordre de grandeur de celle des métaux implique nécessairement pour UL (étant donné le coefficient d’allongeinent du caoutchouc)
une valeur extrêmement rapprochée de o,5.
Dans un travail important sur ce sujet, M. Rôntgen était arrivé à la même conclusion en mesurant directement par une méthode
simple et ingénieuse le rapport de l’allongement à la contraction
de la section transversale. Le fait, du reste, avait été déjà conjec-
turé par Sir ~~V. Thomson.
Si l’on considère l’ensemble des résultats consignés au Tableau
et si l’on tient compte de la concordance des résultats obtenus par deux méthodes différentes, il parait difficile d’attribuer com-
plètement au défaut d’isotropie des différences aussi considérables que celles présentées par les valeurs de p relatives aux différents
corps. En résulte-t-il qu’il soit inexact de dire qu’on doit avoir u. = 0,25 pour tous les vrais solides isotropes? La question est de
savoir ce qu’on entend par un vrai solide. Peut-on dire que le
plomb soit réellement un corps solide? i~ ce point de vue, n’est-
il pas probable que la valeur théorique o,a5 soit une limite impli-
quant pour le corps qui doit la posséder non seulement la condi- tion d’isotropie, mais encore une autre condition relative à la solidité qu’on peut se proposer de chercher.
Les nombres consignés au Tableau, dans lequel les corps sont
rangés dans l’ordre des valeurs de u croissantes, montrent que, pour les métaux étudiés, cet ordre est aussi celui des valeurs crois-
santes du coefficient de compressibilité; que cet ordre est aussi sensiblement celui dans lequel les corps deviennent plus 1110tlS;
que cet ordre enfin est aussi (sauf pour le métal Delta) l’ordre
dans lequel les corps, depuis le verre j usqu’au plomb, deviennent t
plus susceptibles de subir des déformations permanentes. J’ai à
peine besoin (Rajouter que, même quand il s’agit des corps les
plus déformables, on ne considère que des résultats obtenus dans des conditions oû il ne s’est pas produit de déformations perma-
nentes sensibles.
On peut se demander si même les solides, facilement défor- lnables comme le plomb, ne se rapprocheraient pas des solides difficilement déformables dans des limites de pression ou de trac-
tion suffisamnent restreintes; si, pour ces corps, la valeur de p-
ne tendrait pas vers o,2~ en même temps que la déformation tem-
poraire correspondante tendrait vers une limite d’autant plus 1>oi- sine de zéro que le corps est t plus facilement déformable. Celte
hypothèse me paraît peu probable, car elle conduirait à penser que
la valeur de u. ne devient notablement supérieure à o,25 qu’à par-
tir du moment où les déformations permanentes deviennent elles-
mêmes notables. Or tous les coefficients inscrits au Tableau ré-
sultent d’expériences dans lesquelles les déformations perma-
nentes qui peuvent s’ètre produites étaient de l’ordre de grandeur
tles erreurs dont on ne peut répondre.
Il me paraît résulter de l’ensemble de ces considérations que la valeur de tJ., théoriquement égale à o,5 pour les liquides, décroît
d’un corps à l’autre au fur et à mesure que ceux-ci, passant par
tous les intermédiaires, se rapprochent de l’état solide parfait polir
lequel on aurait u ._-_ o,a5, cet état étant caractérisé par le fait d’être absolument réfractaire aux déformations permanentes, c’est-à-dire rigoureusement élastique. Il est probable qu’aucun
corps de la nature ne possède strictement cette propriété ; pour le
verre et le cristal qui, parmi les corps étudiés, s’en rapprochent
le plus, le coefficient a sensiblement atteint la valeur limite;
l’acier viendrait ensuite, le caoutchouc serait à l’autre extrémité de l’échelle.
’
