Vecteurs

I.

Translation

.

Soient A et B deux points du plan.

La translation de vecteur ⃗_AB est la transformation du plan qui a tout point M associe un nouveau point M ' tel que les segments [ AM ' ] et [ BM ] aient le même milieu (autrement dit, ABM ' M est un parallélogramme, éventuellement aplati).

t⃗_AB(M)=M' ⇔ [AM ' ] et [ BM ] ont le même milieu ⇔ ABM ' M est un parallélogramme

Le vecteur ⃗_AB est défini par deux points ordonnés : A est l'origine du vecteur et B l'extrémité.

Exemple : Dans les deux figures, construire le quadrilatère A ' B ' C ' D ' , image du quadrilatère

ABCD par la translation de vecteur ⃗_{EF .}

2 . Coordonnées d'un vecteur dans un repère cartésien .

Dans l'exemple « avec repère » ci-dessus, le vecteur ⃗_OI représente un déplacement d'une unité parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens positif (pour simplifier : une unité vers la droite) ; le vecteur ⃗OJ représente un déplacement d'une unité parallèlement à l'axe des ordonnées, dans le sens positif (pour simplifier : une unité vers le haut).

On note : ⃗_OI=⃗i et ⃗_OJ=⃗j.

Désormais, au lieu de définir un repère par 3 points (O; I , J) , on pourra le définir par un point (l'origine) et deux vecteurs unitaires ⃗i et ⃗j . On note ce repère (O; ⃗i , ⃗j) .

On peut décomposer la translation de vecteur ⃗_EF en une succession de petites translations utilisant les vecteurs unitaires : 3 fois la translation de vecteur −⃗i et 1 fois la translation de vecteur ⃗j (pour simplifier : 3 unités vers la gauche et 1 unité vers le haut). On note : ⃗_{EF=−3 ⃗i +⃗j}

On note aussi ⃗EF

(

1

)

Dans le plan muni d'un repère (O; ⃗i , ⃗j) , on définit les coordonnées du vecteur ⃗_AB par

{

(

)

-Vecteurs

I I.

Égalité de vecteurs

.

Effet d'une translation sur les coordonnées d'un point .

Propriété : Dans le plan muni d'un repère (O; ⃗i , ⃗j) , si M ' (x ' ; y ') est l'image de M( x; y) par la

translation de vecteur ⃗_AB, alors on a :

{

y '= y + y⃗_AB 2 . Vecteurs égaux .

Définition : ⃗_AB=⃗CD ⇔ ⃗_AB et ⃗_CD caractérisent la même translation.

Théorème : Soit A, B, C et D quatre points du plan

⃗_AB=⃗CD ⇔ ⃗_AB et ⃗_{CD ont les mêmes coordonnées dans une base (⃗i , ⃗j)} ⇔ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)

3 . Caractéristiques d'un vecteur .

Les caractéristiques d'un vecteur ⃗_AB sont : - sa direction (celle de la droite (AB) ) ; - son sens (de A vers B) ;

- sa norme

∥

∥

Deux vecteurs ⃗_AB et ⃗_CD sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.

Rappel : dans un repère orthonormé,

∥

_∥

_√

2

+(y_B−y_A)2 4 . Bilan intermédiaire et généralisation de la notion de vecteur .

Un vecteur ⃗u est un objet nouveau (ce n'est ni un nombre, ni un ensemble de nombres, ni un point,

ni un ensemble de points, ni une fonction... ni rien d'autre de ce que l'on a étudié jusqu'à présent.)

Il caractérise une translation. Il a une infinité de représentants.

t_⃗u(A)=B ⇔ ⃗_AB=⃗u ⃗

u

(

β

)

Dans un repère (O; ⃗i , ⃗j) , ⃗u=⃗AB ⇔

{

y_⃗u=y_B−y_A

I I I.

Opérations sur les

vecteurs

.

Enchaînement de translations et somme de vecteurs .

Propriété : Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs. La transformation obtenue en faisant subir successivement à un point M une translation de vecteur ⃗u , puis au résultat un translation de vecteur ⃗v , est encore une translation. On note ⃗u+⃗v le vecteur associé.

Propriétés :

- Dans le plan muni d'un repère, les coordonnées de ⃗u+⃗v sont obtenues en ajoutant les coordonnées de ⃗u aux coordonnées de ⃗v .

- Pour construire la somme ⃗u+⃗v de deux vecteurs, on choisit A, B et C tels que ⃗_AB=⃗u et ⃗_BC=⃗v

On a alors ⃗u+⃗v=⃗AC (relation de Chasles : ⃗AB+⃗BC=⃗AC ).

-2 . Multiplication d'un vecteur par un scalaire (un nombre) .

Définition et propriété :

Soit A et B deux points distincts et k un réel.

- si k >0 , k ⃗AB a la même direction et le même sens que ⃗AB . Sa norme est k AB ;

- si k =0 , 0⃗AB=⃗0 ;

- si k <0 , k ⃗AB a la même direction que ⃗AB , est de sesn opposé, et sa norme est −k AB (c'est un nombre positif !).

Remarques :

* Dans le plan muni d'un repère, on obtient les coordonnées de k ⃗u en multipliant par k les coordonnées de ⃗u .

* −⃗AB=⃗BA (car ⃗_{BA +⃗AB=⃗BB=⃗0})

I V

. Applications à la géométrie

.

1.

Colinéarité et parallélisme .

Définition et propriété :

⃗_AB et ⃗_CD sont colinéaires ⇔ ils ont la même direction (ou l'un des deux est nul) ⇔ il existe un réel k tel que ⃗_{CD=k ⃗AB}

⇔ le déterminant x⃗_ABy⃗CD−y⃗ABy⃗CD est nul (coordonnées proportionnelles) ⇔ (AB)//(CD)

2 . Colinéarité et alignement .

Montrer que A, B et C sont alignés équivaut à montrer ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires. 3 . Milieu .

I est le milieu de [AB] ⇔ ⃗_{AB=2 ⃗AI} ⇔ ⃗_AI=⃗IB ⇔ ⃗_{AI +⃗IB=⃗0}

⇔pour tout point M du plan, 2 ⃗MI=⃗MA +⃗MB