Développer. Factoriser

(𝑥 + 2)(𝑥 + 𝑦) Développer 𝑥

+ 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦

Factoriser

• Méthodes de factorisation

- Révision : Mise en évidence simple - Mise en évidence double

- Différence de carrés - Trinôme carré parfait - Trinôme 𝑥^!+ 𝑏𝑥 + 𝑐 - Trinôme 𝑎𝑥^!+ 𝑏𝑥 + 𝑐

• Applications géométriques

• Les fractions rationnelles - Simplification

- Multiplication et division

• Résolution d’une équation du deuxième degré Contenu

notionnel

1. La mise en évidence simple (MS)

• Trouve le plus grand facteur commun de tous les coefficients.

• Pour chaque lettre, prendre la lettre commune affectée de l’exposant le plus petit.

• Divise chaque terme par le facteur commun.

Exemples :

1) 24𝑥^!𝑦 + 8𝑥𝑦 – 32 𝑥𝑦^! 2) 21𝑥^"𝑦^!𝑧 – 14𝑥^!𝑦^"𝑧^! + 28𝑥^!𝑦^!𝑧^!

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 12𝑎^!𝑏 + 18𝑎𝑏^" b) 9𝑥𝑦 + 27𝑥

c) 24𝑥^"𝑦^!− 16𝑥^!𝑦^"+ 28𝑥^"𝑦^# d) 3(𝑥 − 2) − 𝑥(𝑥 − 2)

e) 12𝑥 + 𝑥^!− 5𝑥^" f) 4𝑔^!ℎ^"+ 6𝑔ℎ − 8𝑔^!ℎ

2. La mise en évidence double (MD)

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Exemples :

1) 15𝑎𝑏 − 20𝑎 + 3𝑏 − 4 2) 6𝑎𝑥^!+ 8𝑎𝑦 − 3𝑥^!𝑏 − 4𝑏𝑦

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 2𝑥^!− 14𝑥 + 8𝑥 − 56 b) 10𝑥^!+ 10𝑥

c) – 3𝑦^!+ 12𝑥𝑦 − 2𝑦 + 8𝑥 d) 3𝑥^!𝑦 + 𝑥^!

e) 5𝑎^!𝑏 − 3𝑎𝑏 − 20𝑎 + 12 f) 35𝑥^!− 7𝑥𝑦 + 5𝑥 − 𝑦

g) 3𝑔ℎ + 6𝑔^!− ℎ − 2𝑔 h) 30𝑚^#𝑛 − 10𝑚^"𝑛^!+ 15𝑚^"𝑛 − 5𝑚^!𝑛^!

i) 6𝑥^!− 4𝑥𝑦 + 21𝑥 − 14𝑦 j) 9𝑥𝑦^!𝑧 + 9𝑥𝑦^!− 18𝑥^!𝑦 + 9𝑥^!𝑦𝑧

3. La différence de carrés (DC)

Formule Démonstration

Exemples :

1) 9𝑎^#𝑏^!− 25 2) (𝑥 + 3 )^!− (2𝑥 − 5)^!

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 9𝑥^!− 25𝑏^# b) 121𝑎^!− 64

c) 49𝑥^$𝑦^!− 144𝑎^! d) (𝑥 + 1)^2 − 16

e) 16𝑥^!−1

9 f) (3𝑥 + 5𝑦)^!− (2𝑥 − 3𝑦)^!

4. Le trinôme carré parfait (TP)

Formule Démonstration

Exemples :

1) 64𝑥^!− 16𝑥 + 1 2) 25𝑎^!+ 40𝑎 + 16

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 𝑥^!+ 12𝑥 + 36 b) 4𝑎^!𝑏^!− 16𝑎𝑏 + 16

c) 25𝑥^!− 10𝑥 + 1 d) 9𝑦^!− 30𝑦 + 25

e) 16𝑎^!− 24𝑎 + 9 f) 9

16𝑥^! + 𝑥 +4 9

Exercices DC et TP : Factorise les expressions suivantes.

a) 25^!𝑦^!− 49𝑧^! b) 4𝑥^!+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦^!

c) 25𝑎^#+ 30𝑎^!𝑏^"+ 9𝑏^% d) 𝑥^!− 𝑥 +

e) 𝑥^!− 14𝑥 + 49 f) 𝑧^#− 81

g) 45𝑎^! – 80 h) 25

16𝑥^!𝑦^#−4 9𝑧^%

Résumé

4 termes MD MS

3 termes TP MS

2 termes DC MS

4 1

Exercices MS, MD, DC et TP : Factorise les expressions suivantes.

a) 4𝑎2𝑏 + 8𝑎2 – 𝑎𝑏 – 2𝑎 b) 3𝑎2 – 12

c) 𝑏2 + 10𝑏 + 25 d) 36𝑥^!𝑦^!− (𝑥 + 𝑦)^!

e) 16𝑥2 – 8𝑥 f) 25𝑚3 – 50𝑚2 – 9𝑚𝑛2 + 18𝑛2

g) 81𝑥^!𝑦^!− 49𝑦^! h) (𝑥^!− 1) + (𝑥 − 1)^!

i) 15𝑎𝑏 + 24𝑎 − 10𝑏 − 16 j) 2𝑥^"+ 3𝑥^!2𝑥𝑦^!3𝑦^!

k) 18𝑥^# − 60𝑥^!+ 50 l) 9𝑔^!− 1 49

5. Le trinôme x

+ bx + c (T1)

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Exemples :

1) 𝑎^!+ 15𝑎 + 54 2) 𝑎^!+ 𝑎 − 72

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 𝑥^!+ 10𝑥 + 16 b) 𝑦^!− 𝑦 − 42

c) 𝑎^!− 21𝑎 + 108 d) 𝑥^!+ 16𝑥 + 63

e) 𝑥^!+ 2𝑥 − 8 f) 𝑏^!− 4𝑏 + 3

Résumé

4 termes MD MS

3 termes TP T1 MS

2 termes DC MS

Exercices MS, MD, DC, TP et T1 : Factorise les expressions suivantes.

a) 𝑥^!− 2𝑥 − 15 b) 𝑎^!− 8𝑎 + 16

c) 18𝑥 + 9 d) 𝑥^!− 17𝑥 − 18

e) 𝑎^!− 2𝑎 + 𝑎𝑏 − 2𝑏 f) 16𝑥^!− 49𝑦^%

g) 4𝑦^!− (𝑥 − 1)^! h) 24𝑎^#𝑏^#+ 12𝑎𝑏

i) 𝑎^!− 22𝑎 + 40 j) 4ℎ^!− 52ℎ + 169

k) 4𝑐^"− 12𝑐^!+ 9𝑐 l) 𝑥^!− 7𝑥 + 12

m) 3(𝑥 − 2)^!− 27 n) 6𝑎^!− 4𝑎 + 15𝑎 − 10

6. Le trinôme ax

+ bx + c (T2)

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Exemples :

1) 2𝑥^!+ 11𝑥 − 21 2) 8𝑥^!− 29𝑥 + 15

Exercices : Factorise les expressions suivantes.

a) 2𝑥^!+ 9𝑥 + 4 b) 8𝑥^!+ 2𝑥 − 15

c) 4𝑥^!− 5𝑥 − 21 d) 6𝑏^!− 19𝑏 + 10

e) 12𝑎^!+ 12𝑎 + 3 f) 16𝑥^!− 26𝑥 + 3

g) 6𝑥^!+ 11𝑥 − 10 h) 5𝑐^! − 32𝑐 − 21

Résumé

4 termes MD MS

3 termes TP T1 ou T2 MS

Exercices MS , MD , DC , TP , T1 et T2 : Factorise les expressions suivantes.

a) 3𝑎^!− 4𝑎 + 3𝑎𝑏 − 4𝑏 b) 49𝑥^!𝑦^#− 225𝑥2

c) 8𝑥^!− 29𝑥 + 15 d) 𝑔^!+ 14𝑔 + 48

e) 16𝑎^! − 8𝑎 + 1 f) 12𝑥^!+ 24𝑥 − 63

g) 𝑦^!+ 2𝑦 − 99 h) (𝑥 + 1)^!− 64𝑥^!

i) 𝑥^!+ 10𝑥 + 24 j) 𝑎𝑥 − 3𝑎 + 2𝑥 − 6

k) 9𝑥^!𝑦^!− 36𝑎^! l) 4𝑥^!− 12𝑥𝑦

m) 4𝑚^!𝑛^!− 4𝑚𝑛^!+ 8𝑚^!𝑛 n) 81𝑎^!𝑏^!+ 54𝑎𝑏^!+ 9𝑏^!

o) 9𝑎𝑥 − 6𝑎 + 3𝑥 − 2 p) 6𝑥^#+ 9𝑥^"+ 3𝑥^!

q) 2𝑦^!+ 8𝑥𝑦 r) 𝑥^#− 2𝑥^! + 1

Résumé

Les deux binômes Le polynôme

+ 𝑒𝑡 + 𝑎𝑥^!+ 𝑏𝑥 + 𝑐

+ 𝑒𝑡 − ou − 𝑒𝑡 + 𝑎𝑥^!− 𝑏𝑥 − 𝑐 ou 𝑎𝑥^! + 𝑏𝑥 − 𝑐

− 𝑒𝑡 − 𝑎𝑥^!− 𝑏𝑥 + 𝑐

Devoir (dans ton cahier d’exercices) :

1. À partir de l’aire des formes géométriques suivantes, trouve les polynômes qui représentent leurs côtés.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

2. Le volume de la boîte suivante est donné par le polynôme . Trouve les

expressions algébriques qui représentent les côtés de la base.

15 28 5

2x³+ x²- x- 2

7 30x² - x-

Aire = 18

2 +9x+ x

Aire=

49 42 9x²+ x+

Aire = 1 6x²+x-

7. La complétion du carré (𝒂𝒙

+ 𝒃𝒙 + 𝒄)

Méthode Exemple 1 : x² + 4x – 96 Mettre la variable

a

des parenthèses ( ).

Ajouter et soustraire

(

𝟐

)

Factoriser la première partie par TP.

Effectuer la deuxième partie.

Factoriser par DC.

Éliminer les parenthèses ( ) et simplifier les expressions.

Méthode Exemple 2 : 2x² – 6x – 80 Mettre la variable

a

des parenthèses ( ).

Ajouter et soustraire

(

𝟐

)

Factoriser la première partie par TP.

Effectuer la deuxième partie.

Factoriser par DC.

Éliminer les parenthèses ( ) et simplifier les expressions.

Exercices : Dans ton cahier d’exercices, factorise les expressions suivantes par la méthode de la complétion du carré.

a) 𝑥^!+ 8𝑥 − 84 d) 3𝑥^!+ 9𝑥 − 30 b) 2𝑥^!+ 12𝑥 − 80 e) 𝑥^!− 34𝑥 + 264

8. Simplification de fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est une expression algébrique de la forme ^&(()_*(() où 𝑞(𝑥) ¹ 0.

Exemple : Simplifie les expressions suivantes.

1) ^(!₍^+(+!_!+#

𝑥^!− 𝑥 − 2 𝑥^!− 4

--- 2) _!(^!(_!^!_,-(,"^+(+%

2𝑥^! – 𝑥 – 6 2𝑥^! + 5𝑥 + 3

Devoir : Dans le cahier d’exercices, simplifie les expressions ci-dessous.

a) 4𝑎 + 12

𝑎𝑥 + 3𝑥 d) 𝑥^! − 9

𝑥^!+ 7𝑥 + 12 g) 10𝑎𝑏 + 14𝑎 − 15𝑏 − 21 25𝑏^! + 70𝑏 + 49 b) 4𝑥 − 20

4𝑥^!− 12𝑥 − 40 e) 𝑎^!− 36

𝑎^!− 10𝑎 + 24 h) 3𝑥^!− 18𝑥 + 27 9𝑥 − 27 c) 3𝑎𝑏 − 6𝑎 + 5𝑏 − 10

9𝑎^! + 30𝑎 + 25 f) 𝑥^!− 24𝑥 + 144

𝑥^!− 13𝑥 + 12 i) 24𝑥^! − 4𝑥 − 4 25𝑥^!− (𝑥 + 2)^!

9. Multiplication et division de fractions rationnelles

Exemple : Effectue les opérations suivantes.

2𝑥 − 4

𝑥 − 3 ∙ 𝑥^!− 9 𝑥^! − 𝑥 − 2

2x – 4 x² – x – 2

x² – 9

--- 𝑥^!− 4

𝑥^! + 7𝑥 + 10÷ 𝑥^! − 6𝑥 + 9 𝑥^! + 2𝑥 − 15

x² – 4 x² + 7x + 10

x² – 6x + 9 x² + 2x – 15

Devoir : Dans le cahier d’exercices, effectue les opérations suivantes.

a) 3𝑥 − 15

2𝑥 + 10∙4𝑥 + 20

6𝑥 − 30 d) 𝑥^!− 𝑥 − 2

𝑥^!− 𝑥 − 6÷𝑥 + 1

𝑥 + 2 g) 2𝑥 + 3

𝑥 − 1 ∙𝑥^!+ 2𝑥 − 3 2𝑥^!− 𝑥 − 6 b) 𝑥^!− 1

∙ 𝑥 − 1

e) 𝑥^#− 1

∙ 𝑥^!− 1

h) 2𝑥^!+ 6𝑥

∙𝑥^!+ 8𝑥 + 16